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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第一章 任意角的三角函数一、任意角 1.角的概念 ：平面内一条射线围着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形；按逆时针方向旋转所形成的角 叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角；射 线的起始位置称为始边,终止位置称为终边；2.象限角的概念 ：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角；假如角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限；例. 如 是第四象限角,就 是（）A 第一象限 B.其次象限 C. 第三象限
2、期 D.第四象限3.终边相同的角的表示 ：全部与角 终边相同的角 , 连同角 在内 , 可构成一个集合S | k 360 , k Z 留意 ：相等的角的终边肯定相同,终边相同的角不肯定相等 . 即任一与角 终边相同的角 , 都可以表示成角 与整数个周角的和 . 总结一：见下表终边位置集合表示0 360,kZ终边为 x 的非负半轴k终边为 x 的负半轴终边为 x 轴k0 180,kZkZk0 3600 90,终边为 y 轴非负半轴终边为 y 轴负正半轴：终边为 y 轴：k0 180k0 90,kZ）终边为坐标轴：k900,Z之间的关系是（例. 在直角坐标系中,如角与终边互为反向延长线,与AB2k
3、kZCD2 k1kZ4.用角的集合表示平面区域总结二：见下表名师归纳总结 终边位置集合表示第 1 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第一象限k0 360学习必备欢迎下载0,kZk0 36090其次象限第三象限k360 0180 0k360 0270 0,kZ或第四象限或k360 0900k360 0,kZ例如图,分别写出适合以下条件的角的集合：（1）终边落在射线 OB 上；（2）终边落在直线 OA 上；（3）终边落在阴影区域内（含边界） 5.已知是第几象限角,确定nn*所在象限的方法：先把各象限均分n等份,再从 x 轴的正半轴的上方起,
4、依次将各区域标上一、二、三、四,就原先是第几象限对应的标号即为n终边所落在的区域例. 如是其次象限的角,就2 是第象限的角；二、弧度制1角度制规定：将一个圆周分成360 份,每一份叫做1 度,故一周等于 360 度,平角等于 180 度,直角等于 90 度等等 . 2. 弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 省略不写 . 3. 角度和弧度的转化：1_ _ _r a d,1 rad_度1 弧度角,记作 1 rad ,或 1 弧度,或 1单位可以4半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ,就角的弧度数的肯定值是l第 2 页,共 19 页r5扇形中的几个重要公式：名师归纳总结 - -
5、- - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1 l R; 2 S 1 lR ; 3 S 1 R . 22 2其中 R 是半径 ,l 是弧长 , 0 2 为圆心角 , S 是扇形的面积 . 例. 圆内一条弦的长等于半径,这条弦所对的圆心角是（）A等于 1 弧度 B大于 1 弧度 C小于 1 弧度 D无法判定三、 任意角的三角函数的定义 : 1. 设任意角的顶点在原点 O,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点P）（x,y）,就siny,cosx,tanyx0 x2. 设是一个任意角,它的终边上一点p（x,y）异于原点 , r=x2y2就正弦 s
6、in=y余弦 cos=x正切 tan=yrrx例. 角 的终边上有一点 Pa,a,aR,且 a 0,就 sin 的值是 A2B-2C2D1 222例. 是其次象限角,其终边上一点P（x,5 ）,且 cos2 x,就 sin 的值为（4106210A 4B4C4D43 各象限的符号：y + x y x y + tan+ cos2sinO + + O O + sincos例. 设角 是其次象限角,且 |cos2 |cos 2 ,就角2 是（）第 3 页,共 19 页A 第一象限角B其次象限角C第三象限角D第四象限角例. 函数y1sin2x1cos2x的值域是（）cosxsinxA0,2B2,0C
7、2,0,2D2,2名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载4.三角函数线过 P作 x 轴的垂线, 垂足为 M ；过点A 1,0作单位圆的切线, 它与角的终边或其反向延长线交与点 T . 由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时,有向线段OMx MPy ,于是有 sinyyyMP,cosxxxOM,r1r1tanyMPATATxOMOA我们就分别称有向线段MP OM,AT 为正弦线、余弦线、正切线；例. 如 a=sin46 0,b=cos46 0,c=tan46 0,就 a、b、c 的大小关系是 A c a bB. a b c C
8、. a c bD. b c a四.同角三角函数的基本关系式：名师归纳总结 1. 平方关系：sin2cos213.熟识公式的变形形式；第 4 页,共 19 页2 商数关系：tansincos2.同角才可使用；留意： 1.角的任意性；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例. 已知sincos学习必备欢迎下载sin4cos454,就sincos等于 （）9997A4B16C32D32例. 化简12sin4cos4的结果是（）B、sin4cos 4C、cos 4sin4D、A、sin4cos4例. 如sin3cos0,就cos2sin的值为. 2cos3sin五
9、诱导公式1 sin 2ksin, cos 2kcoscos, tan 2 ktank2 sinsin, coscos, tantan3 sinsin, cos, tantan4 sinsin, coscos, tantan5 sin2cos, cos2sin6 sin2cos,cos2sin三角函数诱导公式： “ （k 2）” 记忆口诀 : “奇变偶不变,符号看象限 ”典型例题例 1 求以下三角函数值：（ 1）cos210o；2sin5 4例 2求以下各式的值：（1）sin4；2cos60osin210o 3例 3 化简sin1440cos1080cos180sin180名师归纳总结 - -
10、- - - - -第 5 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 4 已知 cos + =1 ,23学习必备欢迎下载）0 或向右0平移个单位长度横坐标伸长01得ysinx的图象到原先的1纵坐标不变纵坐标伸长A1 或缩短0A1y得yAsinx的图象为原先的A倍横坐标不变向上k0或向下k0Asinxk 的图象得平移k个单位长度先伸缩后平移y sin x的图象纵坐标伸长 A 1 或缩短 0 A 1为原先的 A 倍 横坐标不变 得 y A sin x 的图象横坐标伸长 0 1 或缩短 1到原先的 1 纵坐标不变 得 y A sin x 的图象向左 0 或向右 0平移 个单
11、位 得 y A sin x 的图象向上 k 0 或向下 k 0平移 k 个单位长度 得 y A sin x k 的图象例试述如何由 y= 1 sin（2x+ ）的图象得到 y=sinx 的图象；3 3名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载课后练习1、y 3sin2 x 的最小正周期是、对称轴是、单调递增区间4是、单调递减区间是；振幅是、相位是、初相是；用五点法作出该函数的图象；并说明该函数怎样由y sin x 变化而来；2、求 y 3sin2 x , x , 的单调递减区间；4 2 23、比较大小 c
12、os ,sin 6,sin；tan1,tan 2, tan38 7 64、求y3sin2x3,x, 6 6的最大值、最小值及对应的x 的取值范畴；5、为了得到y3sin2x6的图象,只须将y3sin2x3的图象向平移个单位；6、如yAsinxB A0,0,2,在其一个周期内的图象上有一个最高点12,3和一个最低点7, 5,求这个函数的解析式；127（2022.柳州一模）如函数 y=tanx（N*）的一个对称中心是（,0）,就 的最小值为（）A2 B3 C6 D9 y=2 所得线段长为,8（2022.石家庄一模）函数f（x）=tanx（0）的图象的相邻两支截直线就 f（）的值是（）第 9 页,共
13、 19 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载）ABC1 D）,就以下说法错误选项（9（2022.浙江模拟）已知函数f（x）=tan（2xA函数 f（x）的周期为B函数 f（x）的值域为 R C点（,0）是函数 f（x）的图象一个对称中心）,就Df（）f（）10（2022.福建模拟）以下函数中,在其定义域内既是奇函数,又是减函数的是（A y= x3 By=sinx Cy=tanx Dy=（ ）x11（2022 春.恩施州期末） 函数 f（x）=tanx（0）的图象的相邻两个零点的距离为的值是（）CD1 AB12（2022.绵
14、阳模拟）为了得到函数的图象,只需把函数A横坐标伸长到原先的的图象上全部的点的（）第 10 页,共 19 页2 倍,纵坐标不变B横坐标缩短到原先的倍,纵坐标不变C纵坐标伸长到原先的2 倍,横坐标不变D纵坐标缩短到原先的倍,横坐标不变名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第三讲 三角函数两角和公式两角和公式sinA+B = sinAcosB+cosAsinB sinA-B = sinAcosB-cosAsinB cosA+B = cosAcosB-sinAsinB cosA-B = cosAcosB+sinAsinB tanA+
15、B =tanAtanBtanA-B =tanAtanB1-tanAtanB1tanAtanBcotA+B =cotAcotB-1cotA-B =cotAcotB1cotBcotAcotBcotA倍角公式2tanAtan2A = 21 tan Acos2A = Cos 2A-SinSin2A=2SinA.CosA 第 11 页,共 19 页2A=2Cos2A-1=1-2sin2A 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载三倍角公式3 cos3A = 4cosA 3-3cosA sin3A = 3sinA-4sinAtan3a =
16、tana tan3+a tan3-a 半角公式sinA = 211cosAcosA = 21cosAtanA = 21cosA=1sinAA22tanA = 2cotA = 2cosA1cosA1cos A1cos AsinAcos万能公式sina=12tana22cos 10cosa= 1;tan tana 2 a 22cos 75.tana=2tana22 a2 a2tan11tan22例 1. 求值：（ 1）sin202 sin sin75sin7075cos 75例 2. 已知 3sinsin（2 ）且 tan1,求 tan（ ）.例 3. 已知方程 x2 4ax3a 10（a1）的两
17、根分别为tan,tan 且 ,（2,2,求 sin 2（ ） sin（）cos（ ） 2cos2（的值 . 第 12 页,共 19 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 4. 1化简sin2AB2cosAB;学习必备欢迎下载cos的值.sinA已知、1,求42, cos, tan为锐角53例 5. （1）假如方程x2bxc0c1的两根为 tan 、tan ,求sin2bsincosccos2的值；（2）在非直角 ABC 中,求证： tanAtanBtanCtanA tanBtanC例 6.化简1sin7cos 15sin8.22sin5
18、0sin8013tan10.sin7sin15sin812sin50cos50名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 7.已知sinsin1,coscos学习必备欢迎下载tan（ ）的值1,、 都是锐角,求32课后练习1挑选题1sin7cos37sin83sin37的值为,23D3D233A3B1C1 222221tan275的值为就xCDtan75A23B2333的值是如sin2xsin3xcos2xcos3xC54A10B62填空题4如cos1,3, 2,就sin3_.5253tan15_._.13tan156
19、sinsincoscos3解答题名师归纳总结 7化简tantan603tantan60.第 14 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 8已知cos1,coscos11,且学习必备,欢迎下载2,求cos的值.0,27149如sinsinsincoscos0 ,求cos的值.第四讲 三角函数复习一、 学问点整理与归纳 :1、角的概念的推广、角的集合的表示、角的度量制与换算换算关系 :： 180弧度,弧长公式 : lr,扇形面积公式:S1lr1r2y222、三角函数的定义熟记三角函数在各象限的符号：siny,cosx, tanrrx3、三角函数
20、线及简洁应用（判定正负、比较大小,解方程或不等式等）4、正弦函数ysinx 、余弦函数ycosx、正切函数ytanx 的图像和性质：5、函数yAsinx的图像和性质：作图经常用两种方法：x五点法：yAxx0 20 322sin0 A -A 0 图象变换法：ysinxy1 ysinxysinxyA sinxAB,最小值是BA,2ysinxysixx6、结合函数AsinxfB（其中A0,0）的简图可知： 该函数的最大值是2,频率是周期是Tx2,相位是,初相是；7、几组重要公式 一）同角三角函数的基本关系式：1）平方关系：sin2cos21；1tan21cos2112第 15 页,共 19 页cos
21、2tan名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2）商式关系：sintan；sin =tan 学习必备欢迎下载cos cos二）诱导公式：“ 奇变偶不变,符号看象限”；三）和角公式和差角公式：S ：sinsincoscossin；S ：sinsincoscossinC ：coscoscossinsinC ：coscoscossinsinT ：tantantan,T ：tantantan1tantan1tantan四）二倍角公式：sin22sincos,cos2cos2sin2,tan 212tan2tan五）合一变形公式：asin bcosa2
22、b2sin（ ）a2b2cos（）六）降次公式：cos21cos2,sin21cos2, sin cos 21 sin2 ,22七）正弦定理：aAbBcC2R及其变形公式有：sinsinsin（1）a2RsinA ,b2 RsinB,c2RsinC；（2）sinAa,sinBb,sinCc2R2R2R（3） sinA:sinB:sinCa b c等八）余弦定理：a2b2c22bccosA及其变形：cosAb2c2a2等；2 bc九）三角形面积公式：SABC1ah1bcsinA1absinC1acsinB 22228、利用正弦定理、余弦定理和三角形内角和定理,可以解决以下四类解斜三角形问题：（1
23、）已知两角和任一边,求其它两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而进一步求其它的边和角,（3）已知三边求三内角；（4）已知两边和它们的夹角,求第三边和其它两个内角；9、解斜三角形的应用题的解题步骤：（1）分析属于哪种类型的问题（如：测量距离、高度、角度等）；（2）依题意画出示意图,并把已知量标在示意图中；（3）最终确定用哪个定理转化、哪个定理求解,并进行求解；（4）检验并作答 . 典型例题：例 1、定义在区间0,2上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交点为P,过点 P 作 PP1x 轴于点 P1,直线第 16 页,共 19 页PP1与 y=sin
24、x 的图像交于点P2,就线段 P1P2 的长为 _；名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2、已知43,04,cos4学习必备3欢迎下载5,求 sin + 的值；,sin345413I 300例 3、已知电流I 与时间 t 的关系式为IAsin2t；t图象,依据图中（）右图是IAsint（ 0, |）在一个周期内的-1o1900180数据求IAsint的解析式；I-300 的最小正整数（）假如t 在任意一段1秒的时间内,电流Asint都能取得最大值和最小值,那么150值是多少？例 5、已知函数f x =23sinxcosx2cos2x1x
25、R ；1求函数f x 的最小正周期及在区间0,2上的最大值和最小值：2如f x 06,x04,2,求cos2x 的值；5课后作业1、设 是其次象限角,Px,5为其终边上一点,且cos2 4 x,就 sin 的值. . 第 17 页,共 19 页2、已知是锐角,且 10与的终边相同,就角的大小为名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载. . 3、满意 sin2 2,且0, 的角的集合是 _4、已知 tan2 23,就 sin2sincos24cos的值为5、已知 cos3 23 5,且是第四象限角,就cos 3的值为6、函数 yt
26、anxsinx|tanxsinx|在区间 2,3 2 内的图象大致是 . 7、已知 sin、 cos是方程 3x 22xa 0 的两根,就实数a 的值为38、函数 y 2tan 3 x 的单调递减区间是42 2 49、如 sinsin 1,就 coscos 的值为 . 10、已知 fx2sin x00,|2 的图象向左平移 4个单位长度, 就得到偶函数图象,求满意题意的 的全部可能的值第 18 页,共 19 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 15、已知函数fxx sin3A sin x学习必备欢迎下载k 的取值范畴cosx3 cos 2 x .3B 的形式,（2）求其图象对称中心；3（1）将 fx写成16、（1）已知关于x 的方程2sin x 4k 在0 , 上有两解,求实数名师归纳总结 （2）设关于 x 的方程 sin 2x 6k1在 0, 2内有两个不同根、,求 的值及 k 的取值范畴第 19 页,共 19 页- - - - - - -