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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载经典难题（一）1、已知：如图,O 是半圆的圆心,C、E 是圆上的两点,CD AB ,EFAB ,EGCO求证： CD GF（初二）C E G A D O F D B 2、已知：如图,P 是正方形 ABCD 内点, PAD PDA 150求证：PBC 是正三角形 （初二）A P B C 3、如图,已知四边形 ABCD 、A 1B 1C1D1都是正方形, A2、B2、C2、 D2分别是 AA1、BB1、CC1、DD1的中点A A 2 A 1 D2 D 求证：四边形A 2B 2C2D2 是正方形（初二）D1 B 1 C1 B B
2、2 C2 C 4、已知：如图,在四边形ABCD 中, AD BC,M 、N 分别是 AB 、CD 的中点, AD 、BC的延长线交MN 于 E、FF 求证： DEN FE N C D 名师归纳总结 A M B 第 1 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 经优秀学习资料欢迎下载典难题（二）1、已知：ABC 中, H 为垂心（各边高线的交点）,O 为外心,且OM BC 于 M E C B、C（ 1）求证： AH 2OM ；A （ 2）如 BAC 600,求证： AH AO （初二）O H B M D 2、设 MN 是圆 O 外始终线,过O 作
3、 OA MN 于 A,自 A 引圆的两条直线,交圆于及 D、E,直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P、QC B G D E Q N 求证： APAQ （初二）O 3、假如上题把直线MN 由圆外平移至圆内,就由此可得以下命题：M P A 设 MN 是圆 O 的弦,过 MN 的中点 A 任作两弦 BC、DE,设 CD 、EB 分别交 MN于 P、QM C E Q N 求证： APAQ （初二）A P O B D 4、如图,分别以ABC 的 AC 和 BC 为一边,在ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ,点 P 是 EF 的中点AB 的一半（初二）D 求证：点 P 到边 AB 的
4、距离等于G 名师归纳总结 E A C B F 第 2 页,共 15 页P Q - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 经优秀学习资料欢迎下载典难题（三）1、如图,四边形ABCD 为正方形, DE AC ,AEAC ,AE 与 CD 相交于 FF D E 求证： CECF（初二）A B C 2、如图,四边形ABCD 为正方形, DE AC ,且 CECA,直线 EC 交 DA 延长线于F求证： AE AF （初二）F A D B C E 3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点, PFAP ,CF 平分 DCE求证： PAPF（初二）A D F
5、B P C E 4、如图, PC 切圆 O 于 C,AC 为圆的直径, PEF 为圆的割线, AE 、AF 与直线 PO 相交于B、D求证： AB DC ,BC AD （初三）P B O A D E F C 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 经优秀学习资料欢迎下载典难题（四）1、已知：ABC 是正三角形, P 是三角形内一点,PA3,PB4,PC5A 求： APB 的度数（初二）P B C 2、设 P 是平行四边形ABCD 内部的一点,且PBA PDA 求证： PAB PCB（初二）A D P 3、设 ABCD 为
6、圆内接凸四边形,求证：AB CD AD B BD （初三）A C BC ACD B C 4、平行四边形 ABCD 中,设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点, AE 与 CF 相交于 P,且AE CF求证： DPA DPC （初二）A D F 名师归纳总结 B P E C 第 4 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 经优秀学习资料欢迎下载典难题（五）1、设 P 是边长为 1 的正 ABC 内任一点, LPAPBPC,求证：L2APB C2、已知： P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点,求 PAPBPC 的最小值APB3、P 为
7、正方形 ABCD 内的一点,并且 PAa,PB2a,PC3a,求正方形的边长DCA DPB C4、如图,ABC 中, ABC ACB 80 0,D、E 分别是 AB 、AC 上的点, DCA 300,EBA 20 0,求 BED 的度数ADEB C名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 经优秀学习资料欢迎下载典难题（一）1.如下图做 GH AB, 连接 EO；由于 GOFE 四点共圆,所以GFH OEG, 即 GHF OGE,可得EO =GO =CO ,又 CO=EO,所以 CD=GF 得证；GF GH CD2. 如下图
8、做DGC 使与 ADP 全等,可得PDG 为等边 ,从而可得 DGC APD CGP,得出 PC=AD=DC, 和 DCG= PCG15 0 所以 DCP=30 0 ,从而得出PBC 是正三角形3.如下图连接 BC1 和 AB1分别找其中点 F,E. 连接 C2F 与 A2E 并延长相交于 Q点,连接 EB2并延长交 C2Q于 H点,连接 FB2 并延长交 A2Q于 G点,由 A2E=1 2A1B1= 1 2B1C1= FB2 ,EB2= 1 2AB=2BC=F C1 ,又 GFQ+ Q=900 和 GEB2+Q=900,所以 GEB2=GFQ 又 B2FC2= A2EB2 ,可得B2FC2
9、A 2EB 2 ,所以 A 2B2=B2C2 ,又 GFQ+HB 2F=90 0 和 GFQ=EB 2A 2 , 从而可得 A 2B2 C2=900 ,同理可得其他边垂直且相等,名师归纳总结 从而得出四边形A 2B 2C2D2 是正方形；第 6 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载4. 如下图 连接 AC并取其中点 Q,连接 QN和 QM,所以可得 QMF= F, QNM= DEN 和 QMN= QNM ,从而得出 DEN F；经典难题（二）1.1 延长 AD到 F 连 BF,做 OGAF, 又 F=ACB= BHD
10、 ,可得 BH=BF, 从而可得 HD=DF ,又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2GH+HD=2OM2 连接 OB,OC,既得 BOC=1200,从而可得 BOM=600, 所以可得 OB=2OM=AH=AO, 得证；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载3. 作 OFCD,OGBE,连接 OP,OA ,OF,AF, OG,AG ,OQ；由于AD AB=AC=CD=2FD=FD,AEBE2BGBG由此可得ADF ABG ,从而可得 AFC= AGE ；又由于 PFOA 与 QGOA
11、四点共圆,可得 AOP= AOQ ,从而可得 AP=AQ ；AFC= AOP 和 AGE= AOQ ,4. 过 E,C,F 点分别作 AB所在直线的高 EG,CI,FH；可得 PQ= EG+FH；2由 EGA AIC ,可得 EG=AI ,由BFH CBI ,可得 FH=BI ；名师归纳总结 从而可得 PQ=AI+BI= AB ,从而得证；2第 8 页,共 15 页2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 经优秀学习资料欢迎下载典难题（三）1. 顺时针旋转 ADE ,到 ABG ,连接 CG. 由于ABG= ADE=90 0+45 0=135 0从而可得 B
12、,G,D 在一条直线上,可得AGB CGB ；推出 AE=AG=AC=GC ,可得AGC 为等边三角形； AGB=30 0,既得 EAC=30 0,从而可得 A EC=75 0；又 EFC= DFA=45 0+30 0=75 0. 可证： CE=CF ；2. 连接 BD作 CHDE,可得四边形 CGDH 是正方形；由 AC=CE=2GC=2CH ,名师归纳总结 可得 CEH=300,所以 CAE= CEA= AED=150,第 9 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又 FAE=900+450+150=1500,优秀学习资料欢迎下载从而可
13、知道 F=150,从而得出AE=AF ；3. 作 FGCD,FEBE,可以得出 GFEC 为正方形；令 AB=Y , BP=X ,CE=Z , 可得 PC=Y-X ；名师归纳总结 tanBAP=tan EPF=X Y=Y-Z+Z,可得 YZ=XY-X2+XZ ,第 10 页,共 15 页X即 ZY-X=XY-X ,既得 X=Z ,得出ABP PEF ,得到 PA PF ,得证；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 经优秀学习资料欢迎下载典难题（四）1. 顺时针旋转 ABP 600 ,连接 PQ ,就 PBQ 是正三角形；可得 PQC 是直角三角形；所以 A
14、PB=150 0 ；2. 作过 P点平行于 AD的直线,并选一点 可以得出 ABP= ADP= AEP,可得：AEBP 共圆（一边所对两角相等）；可得 BAP= BEP=BCP,得证；E,使 AE DC,BE PC. 名师归纳总结 3. 在 BD取一点 E,使 BCE= ACD ,既得BEC ADC ,可得：第 11 页,共 15 页BE=AD AC,即 AD .BC=BE .AC,BC又 ACB= DCE,可得ABC DEC ,既得AB=DE DC,即 AB .CD=DE .AC ,AC由 +可得 : AB .CD+AD .BC=ACBE+DE= ACBD ,得证；- - - - - - -
15、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料S欢迎下载DFC,可得：4. 过 D作 AQAE , AG CF ,由SADE=ABCD=S2A E P Q =2AE PQ ,由 AE=FC ；2可得 DQ=DG ,可得 DPA DPC（角平分线逆定理） ；经典难题（五）1. （1）顺时针旋转 BPC 600 ,可得PBE 为等边三角形；既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要即如下图：可得最小L=；AP,PE,EF 在一条直线上,名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下
16、载（2）过 P点作 BC的平行线交 AB,AC与点 D,F；由于 APD ATP=ADP,推出 ADAP 又 BP+DPBP 和 PF+FCPC 又 DF=AF 由可得：最大 L 2 ；由（ 1）和（ 2）既得：L 2 ；2. 顺时针旋转 BPC 60 0 ,可得PBE 为等边三角形；既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 即如下图：可得最小 PA+PB+PC=AF ；AP, PE,EF 在一条直线上,名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 既得 AF=1+3+2 1= 优秀学习资料欢迎下载2+3= 4
17、+2 3422= 3 + 1 2= 2 3 + 12 26 + 2= ；23. 顺时针旋转 ABP 90 0 ,可得如下图：既得正方形边长L = 2+22+22a= 5+2 2 a；22名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载4. 在 AB上找一点 F,使 BCF=60 0 ,连接 EF, DG,既得BGC 为等边三角形, 可得 DCF=100 , FCE=200 ,推出 ABE ACF ,得到 BE=CF , FG=GE ；,可得 AFE=800 ,推出： FGE 为等边三角形既得： DFG=400又 BD=BC=BG ,既得 BGD=800,既得 DGF=400推得： DF=DG ,得到： DFE DGE ,名师归纳总结 从而推得： FED=BED=300；第 15 页,共 15 页- - - - - - -