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1、优秀学习资料欢迎下载经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C、E 是圆上的两点，CDAB，EFAB ，EGCO求证： CDGF （初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点， PAD PDA 150求证： PBC 是正三角形 （初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、 D2分别是 AA1、BB1、CC1、DD1的中点求证：四边形A2B2C2D2是正方形（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中， AD BC，M、N 分别是 AB 、CD 的中点， AD 、BC的延长线交MN 于 E、F求证： DEN FA P C D B A F G
2、 C E B O D D2 C2 B2 A2 D1 C1 B1 C B D A A1 A N F E C D M B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载P C G F B Q A D E 经典难题（二）1、已知： ABC 中， H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OMBC 于 M（ 1）求证： AH 2OM；（ 2）若 BAC 600，求证： AH AO （初二）2、设 MN 是圆 O 外一直线，过O 作 OA MN 于 A，自 A 引圆的两条直线，交圆于B、C及 D、E，直线 EB 及
3、 CD 分别交 MN 于 P、Q求证： APAQ （初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设 MN 是圆 O 的弦，过MN 的中点 A 任作两弦BC、DE，设 CD、EB 分别交 MN于 P、Q求证： APAQ （初二）4、如图，分别以ABC 的 AC 和 BC 为一边，在 ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点 P 是 EF 的中点求证：点P 到边 AB 的距离等于AB 的一半（初二）A D H E M C B O G A O D B E C Q P N M O Q P B D E C N M A 精选学习资料 - - - - - - - - -
4、 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载经典难题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形， DEAC ，AEAC ，AE 与 CD 相交于 F求证： CECF （初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形， DEAC ，且 CECA，直线 EC 交 DA 延长线于F求证： AEAF （初二）3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点， PFAP，CF 平分 DCE求证： PAPF （初二）4、如图， PC 切圆 O 于 C，AC 为圆的直径， PEF 为圆的割线， AE 、AF 与直线 PO 相交于B、D求证： AB DC，BC AD （
5、初三）D A F D E C B E D A C B F F E P C B A O D B F A E C P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载经典难题（四）1、已知： ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA3，PB4，PC5求： APB 的度数（初二）2、设 P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且PBA PDA 求证： PAB PCB （初二）3、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证：ABCDAD BC ACBD （初三）4、平行四边形ABCD 中，设 E、F 分别是 BC、AB
6、上的一点， AE 与 CF 相交于 P，且AECF求证： DPA DPC （初二）A P C B P A D C B C B D A F P D E C B A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载经典难题（五）1、设 P 是边长为 1 的正 ABC 内任一点， LPAPBPC，求证：L22、已知： P 是边长为1 的正方形ABCD 内的一点，求PAPBPC 的最小值3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PAa，PB2a，PC3a，求正方形的边长4、如图， ABC 中， ABC ACB 800，
7、D、E 分别是 AB、AC 上的点， DCA 300，EBA 200，求 BED 的度数APCBACBPDEDCBAACBPD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载经典难题（一）1.如下图做GHAB,连接 EO。由于 GOFE 四点共圆，所以GFH OEG, 即 GHF OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又 CO=EO，所以 CD=GF 得证。2. 如下图做 DGC 使与 ADP 全等，可得 PDG 为等边，从而可得DGC APD CGP,得出 PC=AD=DC, 和 DCG=PCG150
8、所以 DCP=300 ，从而得出 PBC 是正三角形3.如下图连接 BC1和 AB1分别找其中点 F,E. 连接 C2F与 A2E并延长相交于 Q点，连接 EB2并延长交 C2Q于 H点，连接 FB2并延长交 A2Q于 G点，由 A2E=12A1B1=12B1C1= FB2 ，EB2=12AB=12BC=FC1 ，又GFQ+Q=900和 GEB2+Q=900,所以 GEB2=GFQ 又 B2FC2= A2EB2，可得 B2FC2 A2EB2，所以 A2B2=B2C2，又 GFQ+HB2F=900和 GFQ=EB2A2 , 从而可得 A2B2 C2=900 ，同理可得其他边垂直且相等，从而得出四
9、边形A2B2C2D2是正方形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载4.如下图连接 AC并取其中点 Q ，连接 QN和 QM ，所以可得QMF= F， QNM= DEN 和 QMN= QNM ，从而得出DEN F。经典难题（二）1.(1) 延长 AD到 F连 BF，做 OGAF, 又 F=ACB= BHD ，可得 BH=BF, 从而可得HD=DF ，又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2) 连接 OB ，OC,既得BOC=1200，从而可得 BOM=600, 所以
10、可得OB=2OM=AH=AO, 得证。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载3. 作 OFCD ，OGBE，连接 OP，OA，OF，AF， OG，AG ，OQ。由于22ADACCDFDFDABAEBEBGBG=，由此可得 ADF ABG ，从而可得AFC= AGE 。又因为 PFOA 与 QGOA 四点共圆，可得AFC= AOP 和 AGE= AOQ， AOP= AOQ，从而可得AP=AQ 。4. 过 E,C,F 点分别作 AB所在直线的高 EG ，CI，FH 。可得 PQ=2EGFH+。由 EGA
11、 AIC ，可得 EG=AI ，由 BFH CBI，可得 FH=BI 。从而可得PQ=2AIBI+= 2AB，从而得证。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载经典难题（三）1. 顺时针旋转ADE ，到 ABG ，连接 CG. 由于ABG= ADE=900+450=1350从而可得B，G，D 在一条直线上，可得AGB CGB 。推出 AE=AG=AC=GC ，可得 AGC 为等边三角形。 AGB=300，既得 EAC=300，从而可得A EC=750。又 EFC= DFA=450+300=750. 可
12、证： CE=CF。2. 连接 BD作 CHDE，可得四边形CGDH 是正方形。由 AC=CE=2GC=2CH ，可得 CEH=300，所以 CAE= CEA= AED=150，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载又 FAE=900+450+150=1500，从而可知道F=150，从而得出AE=AF 。3. 作 FGCD ，FEBE，可以得出GFEC 为正方形。令 AB=Y ， BP=X ,CE=Z , 可得 PC=Y-X 。tanBAP=tan EPF=XY=ZYXZ-+，可得 YZ=XY-X2+
13、XZ ，即 Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得 X=Z ，得出 ABP PEF ，得到 PA PF ，得证。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载经典难题（四）1. 顺时针旋转ABP 600，连接 PQ ，则 PBQ 是正三角形。可得PQC 是直角三角形。所以 APB=1500。2. 作过 P点平行于 AD的直线，并选一点E，使 AE DC ，BE PC. 可以得出 ABP= ADP= AEP，可得：AEBP 共圆（一边所对两角相等）。可得 BAP= BEP=BCP，得证。3. 在 BD取一点 E
14、，使 BCE= ACD ，既得 BEC ADC ，可得：BEBC=ADAC，即 AD ?BC=BE ?AC ，又 ACB= DCE，可得 ABC DEC ，既得ABAC=DEDC，即 AB?CD=DE ?AC ，由 +可得 : AB?CD+AD ?BC=AC(BE+DE)= ACBD ，得证。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载4. 过 D作 AQAE ， AGCF ，由ADES=2ABCDS=DFCS，可得：2A E P Q=2AE PQ，由 AE=FC 。可得 DQ=DG ，可得 DPA D
15、PC（角平分线逆定理） 。经典难题（五）1. （1）顺时针旋转 BPC 600，可得 PBE 为等边三角形。既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要AP，PE，EF 在一条直线上，即如下图：可得最小L=；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载（2）过 P点作 BC的平行线交 AB,AC与点 D，F。由于APD ATP=ADP，推出 ADAP 又 BP+DPBP 和 PF+FC PC 又 DF=AF 由可得：最大L 2 ；由（ 1）和（ 2）既得：L 2 。2. 顺时针旋转BPC 60
16、0，可得 PBE 为等边三角形。既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要AP， PE，EF 在一条直线上，即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载既得 AF=213(1)42+= 23+= 42 32+= 2( 31)2+= 2(31)2+= 622+。3. 顺时针旋转ABP 900，可得如下图：既得正方形边长L = 2222(2)()22a+= 52 2 a+。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载4. 在 AB上找一点 F，使BCF=600，连接 EF， DG，既得 BGC 为等边三角形，可得 DCF=100 , FCE=200 ,推出 ABE ACF ，得到 BE=CF ， FG=GE 。推出： FGE 为等边三角形，可得 AFE=800，既得： DFG=400又 BD=BC=BG ，既得 BGD=800，既得 DGF=400推得： DF=DG ,得到： DFE DGE ，从而推得：FED=BED=300。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页