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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点与讲义二次根式的运算学问点及经典试题学问点一：二次根式的乘法法就：abab（a0,b0）,即两个二次根式相乘,根指数不变,只把被开方数相乘. 要点诠释：（1）在运用二次根式的乘法法就进行运算时,肯定要留意：公式中 a、b 都必 须是非负数；（2）该法就可以推广到多个二次根式相乘的运算：（3）如二次根式相乘的结果能化简必需化简,如164. 学问点二、积的算术平方根的性质：abab（a0,b0）,即积的算术平方根等. 于积中各因式的算术平方根的积要点诠释：（1）在这个性质中, a、b 可以是数, 也可以是代数式, 无论是数, 仍是代数式,都必
2、需满意a0,b0才能用此式进行运算或化简,假如不满意这个条件,等式右边就没有意义,等式也就不能成立了；（2） 二次根式的化简关键是将被开方数分解因数,把含有a 形式的 a 移到根号外面. （3）作用：积的算术平方根的性质对二次根式化简（4）步骤：对被开方数分解因数或分解因式,结果写成平方因式乘以非平方因式即：2利用积的算术平方根的性质abab（a0,b0）；利用a2aa a0 （一个数的平方的算术平方根等于这个数0 a a的肯定值）即被开方数中的一些因式移到根号外；（5）被开方数是整数或整式可用积的算术平方根的性质对二次根式化简 学问点三、二次根式的除法法就：aa（a0,b0）,即两个二次根式
3、相除,根指数bb不变,把被开方数相除 . 要点诠释：（1）在进行二次根式的除法运算时,对于公式中被开方数 a、b 的取值范畴应 特殊留意,其中 a 0,b 0,由于 b 在分母上,故 b 不能为 0. 名师归纳总结 第 1 页,共 20 页 1 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点与讲义2 运用二次根式的除法法就,可将分母中的根号去掉,二次根式的运算结果要 尽量化简,最终结果中分母不能带根号 . 学问点四、商的算术平方根的性质aa（a0,b0）,即商的算术平方根等于被除bb式的算术平方根除以除式的算术平方根. 要点诠释：（ 1）利用：运用次性质也可
4、以进行二次根式的化简,运用时仍要留意符号问题 . 对于公式中被开方数a、b 的取值范畴应特殊留意, 其中a0,b0,由于 b 在分母上,故 b 不能为 0. （2）步骤：（a0）利用商的算术平方根的性质：aa（a0,b0）2abb 分别对a,b 利用积的算术平方根的性质化简分母不能有根号, 假如分母有根号要分母有理化, 即a（3） 被开方数是分数或分式可用商的算术平方根的性质对二次 根式化简 学问点五：最简二次根式 1. 定义：当二次根式满意以下两条：1 被开方数不含分母； 2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 . 把符合这两个条件的二次根式,叫做最简二次根式后的结果必需化为最简二次根式或
5、有理式 . 要点诠释： 1 最简二次根式中被开方数不含分母；. 在二次根式的运算中,最2 最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数 2,即每个 因数或因式从次数只能为 1 次. 2. 把二次根式化成最简二次根式的一般步骤：1 把根号下的带分数或肯定值大于1 的数化成假分数,把肯定值小于1 的小数化成分数；2 被开方数是多项式的要进行因式分解； 3使被开方数不含分母；4 将被开方数中能开得尽方的因数或因式,用它们的算术平方根代替后移到根 号外； 3.5 化去分母中的根号； 6约分. . 实把一个二次根式化简,应依据被开方数的不同形式,实行不同的变形方法际上只是做两件事：一是化去被
6、开方数中的分母或小数；二是使被开方数中不含能 开得尽方的因数或因式 . 学问点六、同类二次根式名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 20 页 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点与讲义1. 定义：几个二次根式化成最简二次根式后,假如被开方数相同,那么这几个 二次根式就叫做同类二次根式 . 要点诠释：1 判定几个二次根式是否是同类二次根式,必需先将二次根式化成最简二次根 式,再看被开方数是否相同；2 几个二次根式是否是同类二次根式,只与被开方数及根指数有关,而与根号 外的因式无关 . 2. 合并同类二次根式 合并同类二次根式,只把系数相加减,根指数和被开
7、方数不变 . 合并同类二次根式 的方法与整式加减运算中的合并同类项类似 要点诠释： 1 根号外面的因式就是这个根式的系数； 2 二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式；3 不是同类二次根式,不能合并 学问点七、二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式,即先把各个二次根式化成最简二次根式,再把其中的同类二次根式进行合并 果中. . 对于没有合并的二次根式,仍要写到结在进行二次根式的加减运算时,整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法就仍旧适用 . 二次根式加减运算的步骤：1 将每个二次根式都化简成为最简二次根式；次根式,把同类的二次根式结合为一组；3 合并同类二次根式
8、. 学问点八、二次根式的混合运算2 判定哪些二次根式是同类二二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法就的综合运用 . 要点诠释： 1 二次根式的混合运算次序与实数中的运算次序一样,先乘方,后乘除,最后算加减,有括号要先算括号里面的； 2 在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍旧适用； 3 二次根式混合运算的结果应写成最简形式,这个形式应是最简二次根式,或几个非同类最简二次 式之和或差,或是有理 式. 规律方法指导二次根式的运算,主要讨论二次根式的乘除和加减 . 1 二次根式的乘除,只需将被开方数进行乘除,其依据是：；名师归纳总结 - - - - - - -第 3
9、页,共 20 页 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点与讲义2 二次根式的加减类似于整式的加减,关键是合并同类二次根式 . 通常应先将二次根式化简,再把同类二次根式合并 . 二次根式运算的结果应尽可能化简 . 经典例题透析类型一、二次根式的乘除运算1、运算1；2；3； 4. 解：1=；2=； 3=9；4=. 2、运算： 1； 2； 3；4 .思路点拨：直接利用便可直接得出答案=解：1；=2；= 2=2. 2=2=2； 4 33、化简名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 20 页 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点与讲义51；
10、2； 3； 4；. =思路点拨：利用=3 4=12； 2直接化简即可解：1=4 9=36；3=9 10=90；54=3xy =3. 举一反三【变式 1】判定以下各式是否正确,不正确的请予以改正：=81； 2=4=4=4. =. =2 3=6；解：1 不正确改正：42 不正确改正：=4、化简：1； 2； 3；4 . 思路点拨：直接利用就可以达到化简之目的名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 20 页 5 精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点与讲义解：1=2=3=；4=. 举一反三【变式 1】已知=,且 x 为偶数,求 1+x的值思路点拨：式子,只有 a0,b
11、0 时才能成立因此得到 9-x 0 且 x-6 0,即 6x9,又由于 x 为偶数,所以x=8解：由题意得,即6x9,x 为偶数, x=8 原式 =1+x=1+x=1+x=当 x=8 时,原式的值 =65、运算 1- m0,n0 ； 2-3 a 0. 解：1 原式=-=-=-；=-2=-a. 2 原式=-2名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 20 页 6 精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点与讲义类型二、最简二次根式的判别6、以下各式中,哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由. ；7. 1；2；3；4；5；6思路点拨：判定一个二次根式是不是最简二次根式
12、,就看它是否满意最简二次根式的两个条件： 1 被开方数不含分母； 2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满意其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式 . 解：和 都是最简二次根式,其余的都不是,理由如下：的被开方数是小数,能写成分数,含有分母；和 的被开方数中都含有分母；和的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式. 总结升华： 对于最简二次根式的判定, 肯定要把握其实质, 既要留意其中的 “ 似是而非” ,仍要留意其中的“ 似非而是” ,特殊象 蔽性,更应特殊当心 . 7、把以下各式化成最简二次根式 .这样的式子,带有很大的隐1； 2； 3； 4；5思路点拨：把被开方数分解因数或分解因
13、式,再利用积的算术平方根的性质及进行化简 . 解：1 ；2 ；3 ；4 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 20 页 7 精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点与讲义；5 . 类型三、同类二次根式8、假如两个最简二次根式和是同类二次根式,那么a、b 的值是 A.a=2,b=1 B.a=1,b=2 C.a=1,b=-1 D.a=1,b=1 思路点拨：依据同类二次根式的识别方法,在最简二次根式的前提下,被开方数相同 . 解：依据题意,得解之,得,应选 D. 总结升华：同类二次根式必需满意两个条件：1 根指数是 2；2 被开方数相同；由此可以得到关于a、b 的二
14、元一次方程组,此类问题都可如此. B.举一反三【变式1】以下根式中,能够与合并的是 A.C.D.思路点拨：第一要把不是最简二次根式的化成最简二次根式,然后比较它们的被开方数是否相同,假如相同,就能进行合并,反之,就不能合并. 合并,应选解：B. 总结升华：同类二次根式的判定,关键是能够娴熟精确地化二次根式为最简二 次根式 . 【变式 2】如最简根式与根式是同类二次根式,求a、b的值名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 20 页 8 精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点与讲义思路点拨：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后,被开方数相同；. 事实上,
15、根式 不是最简二次根式,因此把化简成 |b| ,才由同类二次根式的定义得3a-b=.2,2a-b+6=4a+3b解：第一把根式=化为最简二次根式：由题意得=|b| ,a=1,b=1. 类型四、二次根式的加减运算9、运算 1+2-思路点拨：第一步,将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；其次步,将相同的最简二次根式进行合并解：1+=2+3=2+3=5 2-=4-8-；=4-8=-4. . 总结升华：肯定要留意二次根式的加减要做到先化简,再合并举一反三【变式 1】运算+13-9+3；2+3；4解：13-9+3=12-3+6=12-3+6=15；名师归纳总结 2+-=+-=4+2+2-=6第 9 页
16、,共 20 页 9 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点与讲义+；3 4 【变式 2】已知2.236 ,求-+的值 结果精确到 0.01 解：原式 =4-= 2.2360.45. 类型五、二次根式的混合运算10、运算 : 1+ 24-3 2. 思路点拨：二次根式仍旧满意整式的运算规律,.所以直接可用整式的运算规律解：12+ =+=+=3+2；-324-3 2=4 2 2=2-. 11、运算 1+63- ； 2+-. （3）32200032001_思路点拨：二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍旧成立名师归纳总结 解：1+63-=3-2+1
17、8-6=13-3；第 10 页,共 20 页 10 2+-=2-2=10-7=3. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点与讲义（3）略类型六、化简求值12、已知 4x2+y2-4x-6y+10=0 ,求 2 +y-x2-5x的值思路点拨：此题第一将已知等式进行变形,把它配成完全平方式,得2x-12+y-32=0,即 x=,y=3其次,依据二次根式的加减运算,先把各项化成最简二次根式, .再合并同类二次根式,最终代入求值解：4x2+y2-4x-6y+10=0 2+5x 4x2-4x+1+y2-6y+9=0 2x-12+y-32=0 x=,y=3 原式
18、=2 +y-x=2x+-x+5+6=+3. =x+6当 x=,y=3 时,原式 =举一反三【变式 1】先化简,再求值6x+-4y+ ,其中 x=,y=27解：原式 =6+3-4+6=6+3-4-6=-,当 x=,y=27 时,原式 =-=-. 【变式 2】. 已知 x=2 +1,求（x1x2xx1）1的值x2x2x名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 20 页 11 精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点与讲义类型七、二次根式的应用与探究13、一个底面为 30cm 30cm长方体玻璃容器中装满水,.现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为 10cm铁桶中,当
19、铁桶装满水时,容器中的水面下降了 20cm,铁桶的底面边长是多少厘米？解：设底面正方形铁桶的底面边长为 x,就 x 2 10=30 30 20,x 2=30 30 2, x=30答：铁桶的底面边长是 30 厘米 . 14、如下列图的 Rt ABC中, B=90 ,点 P从点 B开头沿 BA边以 1厘米/. 秒的速度向点 A移动；同时,点 Q也从点 B 开头沿 BC边以 2 厘米/ 秒的速度向点 C移动问：几秒后 PBQ的面积为 35 平方厘米？ PQ的距离是多少厘米？ 结果用最简二次根式表示 15、探究过程：观看以下各式及其验证过程12=验证： 2 = =23 =名师归纳总结 - - - -
20、- - -第 12 页,共 20 页 12 精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点与讲义验证： 3=同理可得： 45, 通过上述探究你能推测出： a=_a0 ,并验证你的结论解：a =验证： a =. 总结升华：解答此类问题的特点是依据题目给出的条件,查找内在联系和一般规律,然后猜想所求问题的结果,有利于提高综合分析才能 . 【变式 1】对于题目“ 化简求值：1a+ a 12 a 22,其中 a=1 5” ,甲、乙两个同学的解答不同甲的解答是：1 a+1a22=1 a+1a 2=1 a+ 1 aa= 2a492 aa5乙的解答是：1 a+a22=1 a+a 2=1 a+a 1
21、 a=a=1112 aa谁的解答是错误的？为什么？跟踪练习21.1 二次根式：1. 使式子2x4有意义的条件是； 2. 当当 _ 时,x 有意义；x_时,x21； 4. 11有意义,就 m的取值范畴是3. 如mm第 13 页,共 20 页 13 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点与讲义21 x 是二次根式；5. 在实数范畴内分解因式：x 49 _, x 22 2 x 2 _；6. 如 4 x 22 x ,就 x 的取值范畴是； 7. 已知 x 2 22 x,就 x 的取值范畴是；8. 化简：x 22 x 1 x 1 的结果是； 9.
22、 当1 x 5 时,2x 1 x 5 _；10. 把 a 1a的根号外的因式移到根号内等于； 11. 使等式x 1 x 1 x 1 x 1 成立的条件是；200512. 如 a b 1 与 a 2 b 4 互为相反数,就 a b _；13. 在式子 xx 0 , 2, y 1 y 2 , 2 x x 0 , 33, x 21, x y 中,二次根式有2（）A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个14. 以下各式肯定是二次根式的是（） A. 7 B. 3 2m C. a 21 D. ab2 215. 如 2 a 3,就 2 a a 3 等于（）A. 5 2a B. 1 2a C.
23、2 a 5D. 2 a 116. 如 A a 24 4,就 A（） A. a 24 B. a 22 C. a 22 2 D. a 24 2317. 如 a 1,就 1 a 化简后为（）A. a 1 a 1 B. 1 a 1 a C. a 1 1 a D. 1 a a 118. 能使等式 x x 成立的 x 的取值范畴是（）A. x 2 B. x 0x 2 x 2名师归纳总结 第 14 页,共 20 页 14 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点与讲义C. x2 D. x224a D. 19. 运算：2 a1212a2的值是（） A. 0 B. 4
24、a2 C. 24a 或 4 a220. 下面的推导中开头出错的步骤是（）2 32231212 32231222 32 33224A. 1 B. 2 C. 3 D. 421. 如xy2 y4y40,求 xy的值；22. 当a 取什么值时,代数式2 a11取值最小,并求出这个最小值；23. 化简：（1）2700；（2）20 216 2；（3）16 81；（4）8a 2bc 2 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 20 页 15 精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点与讲义（5）20 5；（6）1 432a 3b4；（7） a 4a 2b2；（8）z22y；5
25、4x21.2 二次根式的乘除1. 当 a 0,b 0 时,ab 3 _；2. 如 2 m n 2 和 3 3 m 2 n 2 都是最简二次根式,就 m _, n _；3. 运算：2 3 _; 36 9 _ ；4. 运算：48 3 27 3 _ ；5. 长方形的宽为 3 ,面积为 2 6 ,就长方形的长约为（精确到 0.01 ）；6. 以下各式不是最简二次根式的是（） A. a 21 B. 2 x 1 C. 2 b D. 40.1y7. 已知xy0,化简二次根式xxy的正确结果为（） A. 2 ay B. y C. 2y D. yb222 ab D. 8. 对于全部实数a b ,以下等式总能成立
26、的是（） A. ab2ab B. a2b2ab C. ab2ab3 2 D. 9. 2 3 和3 2 的大小关系是（） A. 2 33 2 B. 2 33 2 C. 2 3不能确定10. 对于二次根式x29,以下说法中不正确选项（）第 16 页,共 20 页 16 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点与讲义A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数 C. 它是最简二次根式D. 它的最小值为 3 11. 运算：1 . 23 24a b 3ab0,b05 . 122 .5x3x33 .5ab4 .a b 3 6ab a0,021 312
27、536 .25 ab33 a b3bb2a12. 化简：1 .3 a b5a0,b02 .xyy3 .a3a21xa13. 把根号外的因式移到根号内：名师归纳总结 2 . 1x1 .151第 17 页,共 20 页 17 5x1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点与讲义21.3 二次根式的加减1. 以下根式中,与3 是同类二次根式的是（） A. 24 B. 12 C. 3 2 D. 18 B. 8 与2. 下面说法正确选项（） A. 被开方数相同的二次根式肯定是同类二次根式80 是同类二次根式 C. 2 与1 50不是同类二次根式 D. 同类二次根
28、式是根指数为 2 的根式3. 与 a b 不是同类二次根式的是 （） A. ab B. 2 ba C. 1abD. b3a4. 以下根式中, 是最简二次根式的是 （） A. 0.2b B. 12 a 12 b C. x 2 y D. 5ab 25. 如 1 x 2,就 4 4 x x 2x 22 x 1 化简的结果是（） A. 2 x 1 B. 2 x 1 C. 3 D. -3 6. 如 18 x 2 xx 210,就 x 的值等于（） A. 4 B. 2 C. 2 2 xD. 47. 如 3 的整数部分为 x ,小数部分为 y ,就 3x y 的值是（） A. 3 3 3 B. 3 C. 1
29、 D. 3 8. 以下式子中正确选项（a）ab C. axb xabx D. 第 18 页,共 20 页 18 22 b A. 527 B. 6283432名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点与讲义9. 在 8, 12, 18, 20 中,与 2 是同类二次根式的是；10. 如最简二次根式 a 1 2 a 5 与 3 b 4 a 是同类二次根式,就 a _, b _；11. 一个三角形的三边长分别为 8 cm , 12 cm , 18 cm,就它的周长是 cm；12. 如最简二次根式 34 a 21 与 26 a 21 是同类二次根式
30、,就 a _；2 313. 已知 x 3 2, y 3 2,就 x y 3xy 3_；14. 已知 x 3,就 x 2x 1 _； 15. 3 2 20003 2 2001_ ；316. 运算：. 2 123 11512 34812. 14825423313211132333. 74 374 33 5. 2122（5）. a12a12（6）aa19x3312y34x14y25第 19 页,共 20 页 19 xy4xy3名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点与讲义17. 已知：a1110,求a21 a的值；a18. 已知：,x y为实数,且yx11x3,化简：y3y28y16；19. 已知x3y3x290,求x1的值；x2y1名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 20 页 20