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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 二次函数与相像三角形例 1 如图 1,已知抛物线 y 1 x 2 x 的顶点为 A,且经过原,与 x 轴交于点 O、B；4（1）如点 C 在抛物线的对称轴上,点 D 在抛物线上,且以 O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形,求 D 点的坐标；（2）连接 OA、AB ,如图 2,在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P,使得OBP 与 OAB相像？如存在,求出 P 点的坐标；如不存在,说明理由；y yOABxOABx图 1 例 1 题图图 2 分析 :1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以 O 、C、
2、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类争论 :按 OB 为边和对角线两种情况2. 函数中因动点产生的相像三角形问题一般有三个解题途径 求相像三角形的第三个顶点时,先要 分析已知三角形 的边和角的特点,进而得出已知三角形是 否为特别三角形；依据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类争论；或 利用已知三角形中对应角,在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、 对称、 旋转等知识来推导边的大小；如两个三角形的各边均未给出,度,之后利用相像来列方程求解；就应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长名师归纳总结 解:如图 1,当 OB 为边即四边形OCDB 是平行四边形时,CDOyABx
3、OB, 由01x221得x1,0x24, 4B4,0,OB 4. D 点的横坐标为6 C图 1 D将 x6 代入y1x2 21,得 y 3, 4D6, 3; 第 1 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 依据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D, 使得四边形 ODCB 是平行四边形,此时 D 点的坐标为 2,3, 当 OB 为对角线即四边形OCBD 是平行四边形时,D 点即为 A 点,此时 D 点的坐标为 2,1如图 2,由抛物线的对称性可知:AO AB, AOB ABO. 如 BOP 与 AOB 相像 ,必需有 POB BO
4、A BPO 设 OP 交抛物线的对称轴于A 点,明显 A2,1 OyABEx直线 OP 的解析式为y1 2x由1x1x2x, 24A得x10,x26图 2 P.P6, 3 过 P 作 PE x 轴,在 Rt BEP 中,BE 2,PE 3, PB 13 4.PB OB, BOPBPO, PBO 与 BAO 不相像 , 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的 P 点. 所以在该抛物线上不存在点 P,使得BOP 与 AOB 相像 . 例 2 （2022 凉山州压轴题） 如图,抛物线 y= x以 OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G2+x+4 交 x 轴于 A、B两点, 与 y 轴
5、交于点 C,（1）抛物线的对称轴 l 在边 OA（不包括 O、A 两点）上平行移动,分别交 x 轴于点 E,交CD于点 F,交 AC于点 M,交抛物线于点 P,如点 M的横坐标为 m,请用含 m的代数式表示 PM的长；（2）在（ 1）的条件下,连结PC,就在 CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P,使得以P、C、F 为顶点的三角形和AEM 相像？如存在,求出此时m的值,并直接判定PCM 的形状；如不存在,请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）将 A（3,0）,C（0,4）代入 y=ax 解析式；2 2ax+c,运用待定系数法即可求出抛物线的名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页
6、,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）先依据 A、C的坐标,用待定系数法求出直线AC的解析式,进而依据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点 P、点 M的坐标,即可得到 PM的长；（3）由于 PFC 和AEM都是直角, F 和 E 对应,就如以 P、C、F 为顶点的三角形和AEM相像时,分两种情形进行争论： PFC AEM, CFP AEM；可分别用含 m的代数式表示出 AE、EM、 CF、PF的长,依据相像三角形对应边的比相等列出比例式,求出 m的值,再依据相像三角形的性质,直角三角形、等腰三角形的判定判定出PCM 的外形解答：解：（ 1）抛物线 y=ax 2
7、2ax+c （a 0）经过点 A（3, 0）,点 C（0,4）,解得,抛物线的解析式为 y= x 2+x+4；（2）设直线 AC的解析式为 y=kx+b ,A（ 3,0）,点 C（0,4）,解得,直线 AC的解析式为 y=4 x+43点 M的横坐标为 m,点 M在 AC上,M点的坐标为（m,4 m+4）,3点 P 的横坐标为 m,点 P 在抛物线 y= x 2+x+4 上,点 P 的坐标为（ m, m 2+m+4）,PM=PEME=（m 2+m+4） （4 m+4）= m 2+ 7 m,3 3即 PM= m 2+ 7 m（0m 3）；3（3）在（ 2）的条件下,连结 PC,在 CD上方的抛物线
8、部分存在这样的点 P,使得以 P、C、F 为顶点的三角形和AEM 相像理由如下：由题意,可得 AE=3 m,EM= m+4,CF=m,PF= m 2+m+4 4= m 2+m如以 P、C、F 为顶点的三角形和EM,AEM 相像,分两种情形： 如 PFC AEM, 就 PF：AE=FC：即（m 2+m）：（3 m）=m：（ m+4）,m 0 且 m 3,m= PFC AEM, PCF=AME,AME=CMF, PCF=CMF在直角 CMF中, CMF+MCF=90 ,PCF+MCF=90 ,即 PCM=90 , PCM为直角三角形；如 CFP AEM,就 CF：AE=PF：EM,2+m）：（ m
9、+4）,即 m：（3 m）=（ mm 0 且 m 3,名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - m=1 CFP AEM, CPF=AME,AME=CMF, CPF=CMFCP=CM, PCM为等腰三角形综上所述,存在这样的点P 使 PFC与 AEM相像此时m的值为或 1, PCM为直角三角形或等腰三角形点评： 此题是二次函数的综合题,其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式,矩形的性质, 相像三角形的判定和性质,直角三角形、 等腰三角形的判定,难度适中 要留意的是当相像三角形的对应边和对应角不明确时,要分类争论
10、,以免漏解练习1、已知抛物线y2x25 3x 经过P3 3,E5 3, 及原点 0O0 0, PC332（1）过 P 点作平行于 x轴的直线 PC 交 y 轴于 C 点,在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛物线上, 任取一点 Q ,过点 Q 作直线 QA 平行于 y 轴交 x 轴于 A 点,交直线 PC 于B 点,直线 QA 与直线 PC 及两坐标轴围成矩形OABC 是否存在点Q ,使得OPC与PQB相像？如存在,求出Q 点的坐标；如不存在,说明理由（2）假如符合（ 2）中的 Q 点在 x 轴的上方,连结OQ ,矩形 OABC内的四个三角形OPC,PQB,OQP,OQA之间存在怎样的关系？为什
11、么？yCPBQ名师归纳总结 OAEx第 4 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）存在名师归纳总结 设 Q 点的坐标为 m,n,就n22 m5 3m,mm33第 5 页,共 17 页33要使OCPPBQ, BQ CPPB,就有3nm33,即32m25 333OC33mm3解之得,m 12 3,m 22当m 12 3时,n2,即为 Q 点,所以得Q 2 3 2要使OCPQBP, BQ OCPB,就有33nm33,即32m25 33333CP解之得,m 13 3,m 23,当m3时,即为 P 点,当m 13 3时,n3,所以得Q 3 3,
12、3故存在两个 Q 点使得OCP与PBQ相像Q 点的坐标为 2 3 2 3 3,3（2）在 RtOCP中,由于tanCOPCP3所以COP30OC3当 Q 点的坐标为 2 3 2, 时,BPQCOP30所以OPQOCPBQAO90因此,OPC,PQB,OPQ,OAQ都是直角三角形又在 RtOAQ中,由于tanQOAQA3所以QOA30AO3即有POQQOAQPBCOP30所以OPCPQBOQPOQA,又由于 QPOP,QAOAPOQAOQ30,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以OQAOQP2.在平面直角坐标系xOy 中,已知二次函数yx22x3的图象
13、与 x 轴交于 A,B两点（点 A 在点 B 的左边）,与 y 轴交于点 C （1）如直线 l : y kx k 0 与线段 BC 交于点 D （不与点 B,C 重合）,就是否存在这样的直线 l ,使得以 B, ,D 为顶点的三角形与BAC 相像？如存在,求出该直线的函数表达式及点 D 的坐标；如不存在,请说明理由；A 1 0,B 3 0, C 0 3（2）如点 P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点,试比较锐角x lPCO 与 ACO 的大小（不必证明） ,并写出此时点 l P 的横坐标 x 的取值范畴pC C D A B y A O E B y x1x1名师归纳总结 练
14、习 3 图（1）假设存在直线 l : ykx k0与线段 BC 交于点 D （不与点 B,C重合）,使得以第 6 页,共 17 页B, ,D为顶点的三角形与BAC相像在yx22x3中,令y0,就由x22x30,解得x 11,x23A 1 0,B3 0, 令x0,得y3C0 3, 设过点 O 的直线 l 交 BC 于点 D ,过点 D 作 DEx轴于点 E - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 点 B 的坐标为 3 0, ,点 C 的坐标为 0 3, ,点 A 的坐标为 10, AB4,OBOC3,OBC45.,BC2 32 33 2要使BODBAC或BDO
15、BAC已有BB ,就只需BDBO,BCBA或BOBD.BCBA成立名师归纳总结 如是,就有BDBO BC3 3 29 2第 7 页,共 17 页BA44而OBC45,BEDE在 RtBDE中,由勾股定理,得BE2DE22BE2BD29 224解得BEDE9（负值舍去）4OEOBBE93344点 D 的坐标为3 9,4 4将点 D 的坐标代入ykx k0中,求得k3满意条件的直线l 的函数表达式为y3x 或求出直线AC 的函数表达式为y3 x3,就与直线 AC 平行的直线 l 的函数表达式为y3x 此时易知BODBAC,再求出直线BC 的函数表达式为yx3联立y3x,yx3求得点 D 的坐标为3
16、 9,4 4如是,就有BDBO BA3 42 2BC3 2而OBC45,BEDE- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 在 RtBDE中,由勾股定理,得BE2DE22BE2BD22 22解得BEDE2（负值舍去）1CB P OEOBBE321点 D 的坐标为 12, 将点 D 的坐标代入ykx k0中,求得k2 满意条件的直线l 的函数表达式为y2x 存在 直线l:y3x 或y2x 与线段 BC 交于点 D （不与点 B,C重合）,使得以B, ,D为顶点的三角形与BAC相像,且点 D 的坐标分别为3 9,4 4或 12, （2）设过点C0 3,E1 0, 的
17、直线ykx3k0与该二次函数的图象交于点P将点E , 的坐标代入ykx3中,求得k3此直线的函数表达式为y3x3设点 P 的坐标为 x,3x3,并代入yx22x3,得x25x0解得x 15,x 20（不合题意,舍去） x5,y12x 点 P 的坐标为 5,12此时,锐角PCOACOC 又二次函数的对称轴为x1,点 C 关于对称轴对称的点C 的坐标为 2 3, A O E 当xp5时,锐角PCOACO；当x p5时,锐角PCOACO ；x当 2x p5时,锐角PCOACOO 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3.如下
18、列图,已知抛物线yx21与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,过点 A 作AP CB 交抛物线于点 P 在 x 轴上方的抛物线上是否存在一点 M,过 M 作 MG x 轴于点 G ,使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与 PCA 相像如存在,恳求出 M 点的坐标；否就,请说明理由解： 假设存在A 1,0B 1,0C 0, 12M A y y B P PAB=BAC = 45PAAC MGx 轴于点 G,MGA=PAC = 90A ox在 Rt AOC 中, OA=OC= 1AC=2在 Rt PAE 中, AE=PE= 3AP= 3 2C 图 1 设 M 点的横坐标为m,就 M m
19、 m21P 点 M 在 y 轴左侧时,就m1 当AMG PCA 时,有AG PA=MG CAAG=m1, MG=m21即m12 m213 2G oB x解得m 11（舍去）m 22（舍去）3 当MAG PCA 时有AG CA=MG PAC 即m12 m1解得：m1（舍去）m 2图 2 23 2M 2,3 点 M 在 y 轴右侧时,就m1=MG CAA y B P x 当AMG PCA 时有AG PAM AG=m1,MG=2 m1oG C 名师归纳总结 图 3 第 9 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - m1m 221解得m 11（舍去）m
20、 243 23M4 7 3 9=MG PA 当MAG PCA 时有AG CA即m12 m123 2解得：m 11（舍去）m 24M 4,15存在点 M,使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与PCA 相像A、M 点的坐标为 2,3 ,4 7 3 9, 4,154. （2022.曲靖压轴题）如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线 y=x+4 与坐标轴分别交于B两点,过 A、B 两点的抛物线 y= x 2 3x+4点 D为线段 AB上一动点,过点 D作 CDx轴于点 C,交抛物线于点 E（1）当 DE=4时,求四边形 CAEB的面积（2）连接 BE,是否存在点 说明理由考点 ：二 次函数综合题D,使
21、得 DBE和 DAC相像？如存在, 求此点 D坐标； 如不存在,分析：（ 1）第一求出点 A、B 的坐标,然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（ 2）设点 C坐标为（ m,0）（m0）,依据已知条件求出点E 坐标为（ m,8+m）；由于点 E 在抛物线上,就可以列出方程求出m的值在运算四边形CAEB面积时,利用S 四边形 CAEB=S ACE+S 梯形 OCEB S BCO,可以简化运算；名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - （ 3）由于 ACD 为等腰直角三角形,而DBE 和 DAC相像,就 DBE 必为等腰直角
22、三角形分两种情形争论,要点是求出点E 的坐标,由于点E 在抛物线上,就可以由此列出方程求出未知数解答：解 ：（1）在直线解析式y=x+4 中,令 x=0,得 y=4；令 y=0,得 x= 4,A（4,0）, B（0,4）y= x2+bx+c 上,点 A（ 4,0）,B（0,4）在抛物线,解得： b= 3,c=4,抛物线的解析式为：y= x2 3x+4（ 2）设点 C坐标为（ m,0）（m0）,就 OC= m,AC=4+mOA=OB=4, BAC=45 , ACD为等腰直角三角形, CD=AC=4+mCE=CD+DE=4+m+4=8+m点 E 坐标为（ m,8+m）点 E 在抛物线 y= x2
23、3x+4 上,OC=m,就8+m=m 2 3m+4,解得 m= 2C（2,0）, AC=OC=2,CE=6,S 四边形 CAEB=S ACE+S 梯形 OCEB S BCO= 2 6+（6+4） 2 2 4=12（ 3）设点 C坐标为（ m,0）（m0）,就 OC= m,CD=AC=4+m,BD=D（m,4+m） ACD为等腰直角三角形,DBE 和 DAC相像 DBE必为等腰直角三角形i ）如 BED=90 ,就 BE=DE,BE=OC= m,DE=BE=m,CE=4+mm=4,E（ m,4）点 E 在抛物线 y= x 2 3x+4 上,4=m 2 3m+4,解得 m=0（不合题意,舍去）或
24、m= 3,D（3,1）；ii ）如 EBD=90 ,就 BE=BD=m,在等腰直角三角形 EBD中, DE= BD= 2m,CE=4+m2m=4 m,E（ m,4 m）点 E 在抛物线 y= x 2 3x+4 上,4 m= m 2 3m+4,解得 m=0（不合题意,舍去）或 m= 2,D（2,2）综上所述, 存在点 D,使得 DBE和 DAC相像,点 D的坐标为 （ 3,1）或（ 2,2）名师归纳总结 点评：本 题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数图象上点的坐标特点、待定系数第 11 页,共 17 页法、相像三角形、等腰直角三角形、图象面积运算等重要学问点第（3）问需要分- - - -
25、 - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 类争论,这是此题的难点5. （2022.绍兴压轴题）抛物线y=（x 3）（x+1）与 x 轴交于 A,B 两点（点 A 在点 B左侧）,与 y 轴交于点 C,点 D为顶点（1）求点 B 及点 D的坐标（2）连结 BD,CD,抛物线的对称轴与 x 轴交于点 E如线段 BD上一点 P,使 DCP=BDE,求点 P的坐标如抛物线上一点 M,作 MNCD,交直线 CD于点 N,使 CMN=BDE,求点 M的坐标考点 ：二 次函数综合题3718684 分析：（ 1）解方程（ x 3）（x+1）=0,求出 x=3 或 1,依据抛物线 y=（x
26、3）（x+1）与 x轴交于 A,B 两点（点 A 在点 B 左侧）,确定点 B 的坐标为 （3,0）；将 y=（ x 3）（x+1）配方,写成顶点式为 y=x 2 2x 3=（x 1）2 4,即可确定顶点 D的坐标；（ 2）依据抛物线 y=（x 3）（x+1）,得到点 C、点 E 的坐标连接 BC,过点 C作CHDE 于 H,由勾股定理得出 CD=,CB=3,证明 BCD 为直角三角形分别延长 PC、DC,与 x 轴相交于点 Q,R依据两角对应相等的两三角形相像证明BCD QOC,就 = =,得出 Q的坐标（9, 0）,运用待定系数法求出直线 CQ的解析式为 y=x 3,直线 BD的解析式为
27、y=2x 6,解方程组,即可求出点 P的坐标；名师归纳总结 分两种情形进行争论： （）当点M在对称轴右侧时如点N在射线 CD上,如备用第 12 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 图 1,延长 MN交 y 轴于点 F,过点 M作 MGy 轴于点 G,先证明 MCN DBE,由相似三角形对应边成比例得出MN=2CN设 CN=a,再证明 CNF, MGF 均为等腰直角三角形,然后用含 a 的代数式表示点 M的坐标,将其代入抛物线 y=（x 3）（x+1）,求出 a 的值,得到点 M的坐标；如点 N在射线 DC上,同理可求出点 M的坐标；（）当
28、点 M在对称轴左侧时由于 BDE45 ,得到 CMN45 ,依据直角三角形两锐角互余得出 MCN45 ,而抛物线左侧任意一点K,都有 KCN45 ,所以点M不存在解答：解 ：（1）抛物线 y=（x 3）（x+1）与 x 轴交于 A,B 两点（点 A在点 B 左侧）,当 y=0 时,（x 3）（x+1）=0,解得 x=3 或 1,点 B 的坐标为（ 3,0）y=（ x 3）（x+1）=x2 2x 3=（x 1）2 4,顶点 D的坐标为（ 1, 4）；（ 2）如右图抛物线 y=（x 3）（x+1） =x2 2x 3 与与 y 轴交于点C,C 点坐标为（ 0, 3）对称轴为直线 x=1,点 E 的坐
29、标为（ 1,0）连接 BC,过点 C作 CHDE 于 H,就 H点坐标为（ 1, 3）,CH=DH=1,CDH=BCO=BCH=45 ,CD=,CB=3, BCD为直角三角形分别延长 PC、DC,与 x 轴相交于点 Q,RBDE=DCP=QCR,CDB=CDE+BDE=45 +DCP,QCO=RCO+QCR=45 +DCP,CDB=QCO, BCD Q OC,名师归纳总结 =,Q（ 9,0）第 13 页,共 17 页OQ=3OC=9,即- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 直线 CQ的解析式为y=x 3,直线 BD的解析式为y=2x 6由方程组,解得点 P
30、 的坐标为（,）；（）当点 M在对称轴右侧时如点 N在射线 CD上,如备用图1,延长 MN交 y 轴于点 F,过点 M作 MGy 轴于点 GCMN=BDE,CNM=BED=90 , MCN DBE,=,MN=2CN 设 CN=a,就 MN=2aCDE=DCF=45 , CNF, MGF 均为等腰直角三角形,NF=CN=a, CF= a,MF=MN+NF=3aMG=FG= a,CG=FG FC= a,M（a,3+ a）代入抛物线 y=（x 3）（x+1）,解得 a=,M（,）；如点 N在射线 DC上,如备 用图 2,MN交 y 轴于点 F,过点 M作 MGy 轴于点 GCMN=BDE,CNM=B
31、ED=90 , MCN DBE,=,MN=2CN 设 CN=a,就 MN=2aCDE=45 , CNF, MGF 均为等腰 直角三角形,名师归纳总结 NF=CN=a,CF=a,第 14 页,共 17 页MF=MNNF=a,- - - - - - -MG=FG=a,精选学习资料 - - - - - - - - - 点评：本 题是二次函数的综合题型,其中涉及到的学问点有二次函数图象上点的坐标特点,二次函数的性质,运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式,勾股定理,等腰直角三角形、相像三角形的判定与性质,综合性较强,有肯定难度（2）中第问进行分类争论及运用数形结合的思想是解题的关键6. （2022
32、.恩施州压轴题）如下列图,直线l ：y=3x+3 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B把 AOB沿 y 轴翻折,点 A 落到点 C,抛物线 y=x 2 4x+3 过点 B、C和 D（3, 0）（1）如 BD与抛物线的对称轴交于点 M,点 N在坐标轴上,以点 N、B、D为顶点的三角形与 MCD相像,求全部满意条件的点 N的坐标（2）在抛物线上是否存在点 P,使 S PBD=6？如存在,求出点 P 的坐标；如不存在,说明理由考点 ：二 次函数综合题分析：（ 1）由待定系数法求出直线 BD和抛物线的解析式；（ 2）第一确定 MCD为等腰直角三角形,由于BND 与 MCD相像,所以 BND 也是
33、等腰直角三角形如答图1 所示,符合条件的点N有 3 个；S PBD=6（ 3）如答图 2、答图 3 所示,解题关键是求出PBD 面积的表达式,然后依据的已知条件,列出一元二次方程求解解答：（ 1）抛物线的解析式为：y=x 2 4x+3=（x 2）2 1,抛物线的对称轴为直线 x=2,顶点坐标为（2, 1）直线 BD：y= x+3 与抛物线的对称轴交于点M（ 2,1）M,令 x=2,得 y=1,设对称轴与x 轴交点为点F,就 CF=FD=MN=1 MCD为等腰直角三角形以点 N、B、D为顶点的三角形与MCD 相像, BND为等腰直角三角形如答图 1 所示：（ I ）如 BD为斜边,就易知此时直角
34、顶点为原点 O,N1（ 0,0）；名师归纳总结 （ II ）如 BD为直角边, B为直角顶点,就点N在 x 轴负半轴上,第 15 页,共 17 页OB=OD=ON 2=3,N2（3, 0）；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ III）如 BD为直角边, D为直角顶点,就点N在 y 轴负半轴上,OB=OD=ON 3=3,N3（ 0, 3）满意条件的点 N坐标为：（0, 0）,（ 3,0）或（ 0, 3）（ 2）假设存在点 P,使 S PBD=6,设点 P 坐标为（ m,n）（ I ）当点 P 位于直线 BD上方时,如答图 2 所示：过点 P 作 PEx
35、 轴于点 E,就 PE=n,DE=m 3S PBD=S梯形 PEOB S BOD S PDE= （ 3+n）.m 3 3（m 3）.n=6,化简得： m+n=7 ,P（ m,n）在抛物线上,n=m 2 4m+3,代入式整理得：m 2 3m 4=0,解得： m1=4,m2= 1,n 1=3,n2=8,P1（ 4,3）,P2（ 1, 8）；（ II ）当点 P位于直线 BD下方时,如答图 3 所示：过点 P 作 PEy 轴于点 E,就 PE=m,OE= n,BE=3 nS PBD=S梯形 PEOD+S BOD S PBE=（3+m）.（n）+ 3 3（3 n）.m=6,化简得： m+n= 1 ,P（ m,n）在抛物线上,n=m 2 4m+3,代入式整理得：m 2 3m+4=0, = 70,此方程无解故此时点 P 不存在名师归纳总结 综上所述,在抛物线上存在点P,使 S PBD=6,点 P 的坐标为（ 4,3）或（1,8）第 16 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 点评：本 题是中考压轴题,综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相像三角形的判定与性质、图形面积运算、解一元二次方程等学问点,考查了数形结合、分类争论名师归纳总结 的数学思想第（2）（3）问均需进行分类争论,防止漏解第 1