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1、学案 12 函数模型及其应用导学目标： 1. 了解指数函数、 对数函数以及幂函数的增长特征知道直线上升、 指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2. 了解函数模型( 指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型) 的广泛应用自主梳理1三种增长型函数模型的图象与性质函数性质yax(a1)ylogax (a1) yxn(n0) 在(0 ， ) 上的单调性增长速度图象的变化随x增大逐渐表现为与_平行随x增大逐渐表现为与_平行随n值变化而不同2. 三种增长型函数之间增长速度的比较(1) 指数函数yax (a1) 与幂函数yxn (n0) 在区间 (0 ，) 上，无论n比a
2、大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于yax的增长速度 _yxn的增长速度，因而总存在一个x0，当xx0时有 _(2) 对数函数ylogax(a1) 与幂函数yxn (n0) 对数函数ylogax(a1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会_yxn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使xx0时有 _由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上， 因此在 (0 ， ) 上，总会存在一个x0，使xx0时有 _3函数模型的应用实例的基本题型(1) 给定函数模型解决实际问题；(2) 建立确定性的函数模型解决问题；(3) 建立拟合
3、函数模型解决实际问题4函数建模的基本程序自我检测1下列函数中随x的增大而增大速度最快的是( ) Av1100exBv100ln xCvx100Dv1002x2某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润( 单位：万元 ) 分别为L15.06x0.15x2和L22x，其中x为销售量 ( 单位：辆 ) 若该公司在这两地共销售15 辆车，则能获得的最大利润为( ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - A45.606 B45.6
4、 C45.56 D45.51 3(2010陕西 ) 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10 人推选一名代表，当各班人数除以10 的余数大于6 时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数yx(x 表示不大于x的最大整数 ) 可以表示为( ) Ayx10 Byx310 Cyx410 Dyx510 4(2011湘潭月考 ) 某工厂 6 年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6 年来这种产品的总产量C与时间t( 年) 的函数关系图象正确的是( ) 5一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，
5、在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25% 的速度减少，为了保障交通安全，某地根据道路交通安全法规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过 _小时，才能开车？( 精确到 1 小时) 探究点一一次函数、二次函数模型例 1(2011阳江模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y( 万元 ) 与年产量x( 吨) 之间的函数关系式可以近似地表示为yx2548x8 000 ，已知此生产线年产量最大为210 吨(1) 求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2) 若每吨产品平均出厂价为40 万元，那
6、么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？变式迁移1 某租赁公司拥有汽车100 辆，当每辆车的月租金为3 000 元时，可全部租出当每辆车的月租金每增加50 元时， 未租出的车将会增加一辆租出的车每辆每月需要维护费 150 元，未租出的车每辆每月需要维护费50 元(1) 当每辆车的月租金定为3 600 元时，能租出多少辆车？(2) 当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页
7、- - - - - - - - - 探究点二分段函数模型例 2据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h) 与时间t(h) 的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0) 作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h) 内沙尘暴所经过的路程s(km) (1) 当t4 时，求s的值；(2) 将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3) 若N城位于M地正南方向，且距M地 650 km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由变式迁移2 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不
8、超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4 吨时，超过部分每吨3.00 元某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x( 吨) (1) 求y关于x的函数；(2) 若甲、乙两户该月共交水费26.4 元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费探究点三指数函数模型例 3诺贝尔奖发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6 份，奖励给分别在6 项( 物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平) 为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加假设基金平均年利率为r6.24%. 资料显示： 1999 年诺贝尔奖
9、发放后基金总额约为19 800 万美元设f(x)表示第x(xN*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999 年记为f(1) ，2000 年记为f(2) ，依次类推) (1) 用f(1) 表示f(2) 与f(3) ，并根据所求结果归纳出函数f(x) 的表达式；(2) 试根据f(x) 的表达式判断网上一则新闻“2009 年度诺贝尔奖各项奖金高达150 万美元”是否为真，并说明理由( 参考数据： 1.031 291.32) 变式迁移3 (2011商丘模拟 ) 现有某种细胞100 个，其中有占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1 个细胞分裂成2 个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过
10、1010个？( 参考数据： lg 3 0.477 ，lg 2 0.301) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 1解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即(1) 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；(2) 建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识， 建立相应的数学模型；(3) 求模：求解数学模型，得出数学结论；(4) 还原：将数学结论还原为实际问题的意义2考查函
11、数模型的知识表现在以下几个方面：(1) 利用函数模型的单调性比较数的大小；(2) 比较几种函数图象的变化规律，证明不等式或求解不等式；(3) 函数性质与图象相结合，运用“数形结合”解答一些综合问题( 满分： 75 分) 一、选择题 ( 每小题 5 分，共 25 分) 1在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( ) X 1.953.003.945.106.12 Y 0.971.591.982.352.61 A.y2xBylog2xCy12(x21) Dy2.61cos x2拟定甲地到乙地通话m分钟的电话费f(
12、m) 1.06 (0.5 m 1)( 单位：元 ) ，其中m0，m 表示不大于m的最大整数 ( 如3.72)3，4 4) ，当m0.5,3.1时，函数f(m)的值域是( ) A1.06,2.12,3.18,4.24 B1.06,1.59,2.12,2.65 C1.06,1.59,2.12,2.65,3.18 D1.59,2.12,2.65 3(2011秦皇岛模拟) 某商店出售A、B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次提价 20% ，同时商品B连续两次降价20% ，结果都以每件23 元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升不降时的情况比较，商店盈利情况是 ( ) A多赚约6 元B少
13、赚约 6 元C多赚约2 元D盈利相同4国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800 元的不纳税；超过800 元而不超过4 000元的按超过800 元部分的 14% 纳税；超过 4 000 元的按全部稿酬的11% 纳税已知某人出版一本书，共纳税420 元，这个人应得稿费( 扣税前 ) 为( ) A4 000 元B3 800 元C4 200 元D3 600 元5(2011沧州月考 ) 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x) 12x22x20( 万元 ) 一万件售价是20 万元，为获取名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -
14、 - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( ) A18 万件B20 万件C16 万件D8 万件题号12345 答案二、填空题 ( 每小题 4 分，共 12 分) 6据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2009 年产生的垃圾量为a t ，由此预测，该区下一年的垃圾量为_t,2014年的垃圾量为 _t. 7(2010金华十校3 月联考 ) 有一批材料可以建成200 m长的围墙， 如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样
15、材料隔成三个面积相等的矩形( 如图所示 ) ，则围成场地的最大面积为_( 围墙的厚度不计) 8 已知每生产100 克饼干的原材料加工费为1.8 元 某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如下表所示：型号小包装大包装重量100 克300 克包装费0.5 元0.7 元销售价格3.00 元8.4 元则下列说法中正确的是_( 填序号 ) 买小包装实惠；买大包装实惠；卖3 小包比卖1 大包盈利多；卖1 大包比卖3小包盈利多三、解答题 ( 共 38 分) 9(12 分)(2010 湖南师大附中仿真) 设某企业每月生产电机x台，根据企业月度报表知，每月总产值m( 万元) 与总支出n( 万元 )
16、 近似地满足下列关系：m92x14，n14x25x74，当mn0 时，称不亏损企业；当mnxn(2) 慢于logaxxnlogax自我检测1A 由 e2，知当x增大时，1100ex增大更快 2B 依题意，可设甲销售x辆，则乙销售 (15x) 辆，总利润S5.06x0.15x22(15 x) 0.15x23.06x30 (x0)当x 10 时，Smax45.6( 万元 ) 3 B 每 10 个人可以推选1 个， (xmod 10)6 可以再推选一个， 即如果余数 (xmod 10)7相当于给x多加了 3，所以可以多一个10 出来 4A 55 解析设x小时后，血液中的酒精含量不超过0.09 mg/
17、mL ，则有 0.3 34x0.09，即34x0.3.估算或取对数计算，得5 小时后，可以开车课堂活动区例 1解(1) 每吨平均成本为yx( 万元 )则yxx58 000 x48 2x58 000 x4832，当且仅当x58 000 x，即x200 时取等号年产量为200 吨时，每吨平均成本最低为32 万元(2) 设年获得总利润为R(x) 万元，则R(x) 40 xy40 xx2548x8 000 x25 88x8 000 15(x220)21 680(0 x210)R(x) 在0,210上是增函数，x210 时，R(x) 有最大值为15(210 220)21 680 1 660. 年产量为2
18、10 吨时，可获得最大利润1 660 万元变式迁移1 解(1) 租金增加了600 元，所以未租出的车有12 辆，一共租出了88 辆(2) 设每辆车的月租金为x元(x3 000) ，租赁公司的月收益为y元，则yx100 x3 00050 x3 0005050 100 x3 00050150 x250162x21 000 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 150(x4 050)2307 050 ，当x4 050 时，
19、ymax307 050. 答当每辆车月租金定为4 050 元时，租赁公司的月收益最大，最大为307 050. 例 2解(1) 由图象可知：当t4 时，v34 12(km/h) ，s12412 24(km) (2) 当 0t10 时，s12t3t32t2，当 10t20 时，s121030 30(t10) 30t150；当 20t35 时，s1210301030 (t20)3012(t20)2(t20) t270t550. 综上，可知S32t2，t0 ，10 ，30t150，t，20 ，t270t550，t，35.(3) t0,10时，smax32102150650，t(10,20时，smax3
20、020 150450650，当t (20,35时，令t270t550650. 解得t130，t240. 204 时，y41.8 3x1.8 3(5x4) 20.4x4.8. 当乙的用水量超过4 吨，即 3x4 时，y241.8 3(3x4)(5x4) 24x9.6. 所以y14.4x，0 x45，20.4x4.8 ，4543.(2) 由于yf(x) 在各段区间上均单调递增，当x 0，45时，yf4526.4 ；当x45，43时，yf431010，得 (32)x108，两边取以10 为底的对数，得xlg328，x8lg 3 lg 2，8lg 3 lg 280.477 0.30145.45，x45
21、.45. 答经过 46 小时，细胞总数超过1010个课后练习区名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 1B 通过检验可知，ylog2x较为接近 2B 当 0.5 m1 时， m 0，f(m) 1.06 ；当 1m2时， m 1，f(m) 1.59 ；当 2m3时， m 2，f(m) 2.12 ；当 3m3.1 时， m 3，f(m) 2.65. 3B 设A、B两种商品的原价为a、b，则a(1 20%)2b(1 20%)
22、223 ?a232536，b232516，ab466 元 4 B 设扣税前应得稿费为x元，则应纳税额为分段函数，由题意，得y0 x，xx，11% xx如果稿费为4 000 元应纳税为448 元，现知某人共纳税420 元，所以稿费应在8004 000元之间，(x800)14% 420，x3 800. 5A 利润L(x) 20 xC(x) 12(x18)2142，当x18 时，L(x) 有最大值 6a(1 b) a(1 b)5解析由于 2009 年的垃圾量为at ，年增长率为b，故下一年的垃圾量为aaba(1b) t ，同理可知2011 年的垃圾量为a(1 b)2t ， 2014 年的垃圾量为a(
23、1 b)5 t. 72 500 m2解析设所围场地的长为x，则宽为200 x4，其中 0 x0，所以x4.故企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4 台电机(6 分) (2) 若企业亏损最严重，则nm取最大值因为nm14x25x7492x1414x29 9414(x1)2. (9 分 ) 所以当x1 时，nm取最大值94，此时m9214174. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 故当月总产值为174万元时，企业亏损
24、最严重， 最大亏损额为94万元 (12 分) 10解设楼房每平方米的平均综合费用为f(x) 元，则f(x) (560 48x) 2 16010 0002 000 x56048x10 800 x(x10，xN*) (5 分 ) f(x) 56048(x225x) 560482x225x5604830 2 000. (10 分) 当且仅当x225x时，上式取等号，即x15 时，f(x)min2 000. 所以楼房应建15 层 (12 分) 11解(1) 依题意有y100 x575 x，100 xx575 x，(4分) 由于y0 且xN*，由100 x5750，x10.得 6x10，xN*. 由x1
25、0，100 xx5750得 10 x38，xN*，所以函数为y100 x575 xN*，且6x，3x2130 x575 xN*，且 1010 时，y 3x2130 x575，当且仅当x130653时，y取最大值，但xN*，所以当x22 时，y 3x2130 x575 (10 x38，xN*) 取得最大值833 元 (12分) 比较两种情况， 可知当床位定价为22 元时净收入最多 (14 分) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -