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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -三角函数与平面对量考点与试题专题分析一、三角函数部分1、三角函数综述三角函数在高考试卷中的位置为解答题第一题,属简洁题, 所以从得分角度来说是考生必得分之题目； 但从高考反馈的结果来看情形并不是很抱负,从卷面反应的主要问题为考生解题步骤不够规范,其次对题意懂得不到位,导致考生很难得到满分,其中也包括一些成果或基础比较好的考生；三角函数除了具有一般函数的各种性质外,它的周期性和特殊的对称性,再加上丰富的三角公式, 使其产生的的各种问题丰富多彩,层次分明, 变化多样,环绕三角函数的考题总是以新奇的形式显现,在高考
2、试题中占据重要的位置；近几年来高考从三角函数的图象、周期性、奇偶然性、单调性、最值、求值及综合应用等各个方面全面考查三角函数学问；2、常规考点及层次要求学问要求三三角内容了 解理 解掌 握任意角的概念、弧度制任意角的正弦、余弦、正切的定义诱导公式、同角三角函数的基本关系式周期函数的定义、三角函数的周期性函数角三角三角函数ysinx ,ycosx,ytanx 的图象和性质函函数yAsinx的图象和性质数三角函数模型的简洁应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式恒等二倍角的正弦、余弦、正切公变换式简洁的三角恒等变换解三正弦定理、余弦定理角形解三角形及其简洁应用3、三角函数学问点复习建议（1）懂得正角、
3、负角、零角、区间角、象限角、终边相同角的概念,相关角表示方法；（2）在已知一个角的三角函数值,求这个角的其他三角函数值时,要留意题设中角的范畴,并对不同的象限分别求出相应的值在应用诱导公式进行三角式的化简,求值时, 应留意公式中符号的选取；（3）单位圆中的三角函数线,是三角函数的一种几何表示,明白三角函数线；（4）会将三角函数式化为只含一个三角函数的“ 标准式” ,或者换元后成为一个初等函数式（换元后留意定义域的确定）,进而可求得某些复合三角函数的最值、最小正周期、单调性等对函数式作恒等变形时需特殊留意保持定义域的不变性；第 1 页,共 13 页细心整理归纳 精选学习资料 - - - - -
4、- - - - - - - - - - 第 1 页,共 13 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（5）会求三角函数的单调区间、周期、对称轴、对称中心；（6）娴熟三角函数图象的作图方法,通过作图去体验和巩固图象间的变换关系；（7）熟识公式并会运用诱导公式：奇变偶不变,符号看象限；两角和差的正弦、余弦、正切公式的正面运用和逆用；倍角公式以及变形,体会降幂和和差化积的运用；帮助角公式：一般限制在是特殊角的范畴内；常值代换：特殊是用“1” 的代换,如1=cos2 +sin2 = tan45 , 降次公式等；化弦
5、（切）法；（8）关注三角函数在三角形中的应用,结合平面几何的性质查找边角关系,要特殊重视正 弦定理和余弦定理在解三角形中的运算,把握三角形面积公式的多种运算方法；（9）策略与技巧：发觉差异：观看角、函数运算间的差异,即进行所谓的“ 差异分析”；查找联系：运用相关公式,找出差异之间的内在联系；合理转化：挑选恰当的公式,促使差异的转化；4、考题回忆（1）挑选题与填空题考题 1、 已知函数f xk3 sinxcos, x xR ,如f x 1,就 x 的取值范畴为（）A.x|2k3x2,kZ B.xk |3xk,kZC.x| 2 k6x2k5,kZ D.xk6xk5,kZ66【考点分析】此题考查了帮
6、助角公式及三角不等式的解法；【解析】：由条件3sinxcosx1得sin x6x1 2,就,kZ,所以选 B. 2k6x62 k5,解得2 k32k6考题 2、设 ABC的内角 A, B,C 所对的边分别为a,b,c,如三边的长为连续的三个正整数,且 ABC,3b=20acosA,就 sinA sinB sinC 为A.4 32 B.567 C.543 D.6 54 【考点分析】此题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用 . 此题最终需求解三个角的正弦的比值,明显是要利用正弦定理转化为边长的比值,因此必需求出三边长；【答案】 D 考题 3、设 ABC的内角 A,B,C,所对的边分别是 C
7、=_；【考点分析】考察余弦定理的运用；a,b,c；如（ a+b-c ）（ a+b+c）=ab,就角【解析】：由 abc abc ab2 ab2c2ab第 2 页,共 13 页细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 13 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -依据余弦定理可得cosCa2b2c21C2；2ab23考题 4、将函数y3cosxsinx xR的图象向左平移m m0个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,就m的最小值是A 12B 6
8、C 3 D5 6【考点分析】此题考查三角函数的图象与平移以及三角函数的图象与性质；【解析】：y= 3 cosx+sinx y 3cos x sin x 2cos x , 将函数 y 2cos x 的6 6图像向左平移 m（m0）个单位长度后,得到 y 2cos x m ,此时关于 y 轴对称,6就 m k , k Z ,所以 m k , k Z ,所以当 k 0 时,m的最小值是,选 B. 6 6 6考题 5、 在 ABC中,角 A ,B,C所对的边分别为 a,b,c. 已知 A , a =1,b 3,6就 B = . 【考点分析】此题考查正弦定理；【解析】：由正弦定理得a sin Ab si
9、n B,即13 sin B,解得 sin B3 2；又由于ba,所以sin 6B 3或2 3；（2）解答题考题 1、 设ABC的内角 A、B、 C所对的边分别为a、b、c,已知a1,b2,cosC1；4I 求ABC的周长； II求 cosAC的值；同时考查基本【考点分析】 本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础学问,运算才能；【解析】：（）c2a2b22abcos C14414,4 5 . c215ABC 的周长为abc12221,sinC1cos2 C1（）cosC1444sinAasinC15415c28ac,AC, 故 A 为锐角,第 3 页,共 13 页细心整理归纳 精选学
10、习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 13 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -cosA1sin2 A1152788cos A C cos A cos C sin A sin C 7 1 15 15 11 . 8 4 8 4 16考题 2、设函数 f x sin 2x 2 3sin x cos x cos 2x x R 的图像关于直线1x 对称,其中 , 为常数,且 2 ,1；（1）求函数 f x 的最小正周期；（2）如 y f x 的图像经过点 ,0,求函
11、f x 的值域；4【考点分析】此题考查三角函数的最小正周期,三角恒等变形；考查转化与划归,运算求解的才能 . 二倍角公式,帮助角公式在三角恒等变形中应用广泛,它在三角恒等变形中占有重要的位置；求三角函数的最小正周期,一般运用公式 T 2来求解 ; 求三角函数的值域,一般先依据自变量 x 的范畴确定函数 x 的范畴 . 来年需留意三角函数的单调性,图象变换,解三角形等考查；2 2【解析】：（ 1）因 f sin x 2 3sin x cos x cos x 2sin2 x ,6由 直 线 x 是 y f 图 象 的 一 条 对 称 轴 , 可 得 sin2 x 1, 所 以61 52 x k k
12、 Z ；又 ,1, k Z ,所以 k 1,；所以 f x 的最小正6 2 2 6周期是6；5（2）由题 f 4 0,即得 2,故 f x 2sin 53 x6 2,故函数 f x 的值域为 2 2,2 2 ；r r考题 3、已知向量 a cos x sin x ,sin x ,b cos x sin x ,2 3cos x ,设函数 f x a b r r x R 的图像关于直线 x 对称,其中 , 为常数,且 12 ,1；（1）求函 数 f x 的最小正周期；（2）如 y f x 的图像经过点 ,0,求函数 f （x）在区间 0, 3 上的取值范畴；4 5【考点分析】此题考察三角恒等变化
13、, 三角函数的图像与性质 . 第 4 页,共 13 页细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 13 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【解析】： 由于f sin2xcos2x2 3sinxcosxcos2x3sin 2x2sin2x. 3cosBC1. 6由直线x是yf x 图象的一条对称轴, 可得sin2 61, 所以2 k kZ , 即k1 3kZ . 622又1, 1, kZ , 所以k1, 故5. 26所以f x 的最小正周期是6.
14、 5 由yf x 的图象过点,0, 得f 40, 4即2sin52sin2, 即2 . 6264故f x 2sin5x2, 36由0x3, 有5x5, 56636所以1sin5x1, 得122sin5x 6222, 2363故函数f x 在0,3上的取值范畴为 12, 22 . 5考题 4、 在ABC 中, 角 A , B , C 对应的边分别是a , b , c . 已知 cos2A 求角 A 的大小 ; 如ABC 的面积S5 3,b5, 求 sinBsinC 的值 . 【考点分析】此题主要考查三角形内角和定理,诱导公式,正弦定理的应用；【解析】：I 由已知条件得 : cos2A3cosA1
15、60；,2 R22 aA282cos2A3cosA20, 解得cosA1, 角A2IIS1bcsinA5 3c4, 由余弦定理得 :a22122 sinbc 5sin B sin C 2；4 R 7考题 5、 某试验室一天的温度（单位：）随时间 f t 10 3cos t sin t ,t 0, 24 . 12 12（）求试验室这一天上午 8 时的温度；（）求试验室这一天的最大温差；t （单位： h）的变化近似满意函数关系：第 5 页,共 13 页细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 13 页 - - - - - - - - -
16、 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【考点分析】此题考查帮助角公式及三角函数一个周期内最值得问题；【解析】：1 f 8 103cos 12 8 sin 12 8 103cos2 3sin2 31031 23 210. 12t 3,故试验室上午8 时的温度为10. 2 由于 f t 10 22 cos 12t 2sin 12t 102sin又 0t 24, 7所以 312t 3 3,所以 1 sin 12t 31. 当 t 2 时, sin 12t 31；当 t 14 时, sin 12t 3 1. 于是 f t 在 0 ,24 上取得最大值
17、12,最小值 8. 故试验室这一天最高温度为 12,最低温度为 8,最大温差为 4；考题 6、某试验室一天的温度（单位：）随时间（单位 ;h ）的变化近似满意函数关系；1 求试验室这一天的最大温差；2 如要求试验室温度不高于,就在哪段时间试验室需要降温？【考点分析】此题考查帮助角公式及三角函数在一个周期内解三角不等式问题；【解析】：1 由于 f t 10 2 2 cos 3 12t 12sin 12t 10 2sin 12t 3,又 0t 24,所以 3 12t 3 11 时,试验室需要降温由1 得 f t 102sin 12t 3, 故有 102sin 12t 3 11,1即 sin 12t
18、 3 2. 7 11又 0t 24,因此 6 12t 3 6,即 10t 18. 故在 10 时至 18 时试验室需要降温；5、命题趋势猜测及复习建议题型分类：第 6 页,共 13 页细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 13 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（1）考小题：有关三角函数的小题其考查重点在于基础学问,解析,图象与图象变换,两域 定义域、值域 ,四性 单调性、奇偶性、对称性、周期性 ,简洁的三角变换 求值、化简及比较大小 ；
19、（2）考大题：着重考查基础学问和基本技能与方法；3 考应用：以实际生活为背景,借助三角函数进行求解；4 考综合：表达三角的工具作用,由于近几年高考试题突出才能立意,加强对学问性和应用性的考查；学问点分类：（1）考查三角函数的概念及同角三角函数的基本关系高考对本部分内容的考查主要以小题的形式显现,即利用三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系进行求值、变形,或是利用三角函数的图象及其性质进行求值、求参数的值、求值域、 求单调区间及图象判定等,而大题常常在综合性问题中涉及三角函数的定义、图象、诱导公式及同角三角函数的关系的应用等；（2）考查三角函数的图象及其性质三角函数的图象与性质主要包括：正
20、弦型 函数、余弦 型 函数、正切 型 函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、图象的变换等五大块内容；（3）求单调区间高考对三角函数的单调性考查,常以小题形式出现,有时也会显现在大题的某一小问中；（4）求最值高考对三角函数最值的考查,常以小题形式出现, 属中档题, 有时也在大题中的某一步出现,属中档题,高考常考查以下两种类型：化成yAsinx的形式后利用正弦函数的单调性求其最值；化成二次函数形式后利用配方法求其最值；（5）利用三角恒等变换求三角函数值三角恒等变换是讨论三角函数的图象与性质,解三角形的基础, 大多结合三角函数的图象与性质, 解三角形进行命题,高考命题考查的重点性质是公式,同角三角函数
21、基本关系,两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式；（6）三角函数的综合应用三角函数的综合应用是历年来高考考查的重点、热点问题, 新课标高考更加留意对学问点的综合应用意识的考查,而且新课标高考在考查的内容以及形式上不断推陈出新,三角函数不仅可以与平面对量、集合、函数与方程、不等式等结合命题,而且小题仍可以结合平面解析几何等学问点命题；模拟试题：题 1：如图 , 在平面直角坐标系 xOy 中 ,点 A B C 均在单位圆上 , 已知点 A 在第一象限,横坐标是3, 点 B 在其次象限 ,点 C 1,0；5（1）设 COA , 求 sin 2 的值；（2）如 AOB 为正三角形 , 求点 B
22、 的坐标；题 2：在 ABC中,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,第 7 页,共 13 页细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 13 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -且tan B tan A1 2c a；（1）求 B；（2）如 cos C 6 1 3,求 sin A 的值；题 3：在钝角三角形 ABC中,a、b、c 分别是角 A、B、C的对边, m2 bc,cos C,n a,cosA ,且 m n. 1 求角 A的大小；2 求
23、函数 y2sin 2Bcos 32B 的值域 解析 1 由 m n 得2 b ccos AacosC0,由正弦定理得2sin BcosAsin Ccos Asin AcosC 0, 3 . sin AC sin B,2sin BcosAsin B0,B、A0 , ,sin B 0,A2 y1cos2B1 2cos2 B3 2 sin2 B11 2cos2B2 sin2 Bsin2 B 6 1,当角 B为钝角时,角C为锐角,就 2 B. 22 B 3,2 0 3 B 25 6 2B 76 6, sin2 B 6 1 2,1 2 , y1 2,3 2 当角 B为锐角时,角C为钝角,就0B 2 22
24、 3B . 0B 6, 6 2B 6 6, sin2 B 6 1 2,1 2 , y 1 2,3 2 ,综上,所求函数的值域为 1 2, 3 2 备考建议：回来课本, 返朴归真； 近几年三角函数考题在课本中都能找到相应的习题；教材是高考命题之本,高考试题源于教材,高于教材,在数学复习时应充分利用课本,应留意通性通法,避开难题、偏题；第 8 页,共 13 页细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 13 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -二、平
25、面对量部分1、平面对量综述平面对量主要以小题形式显现,有时会和解答题的三角函数、立体几何与平面解析几何结合出题, 但主要表达向量的工具性,主要是运用其公式； 平面对量的核心思想是数形结合,把几何意义用简洁的向量形式表示出来,用向量的运算去进行几何性质的推断；反过来, 要会从向量的形式去解读出几何意义；2、常规考点及层次要求学问要求面平平面内容了 解理 解掌 握平面对量的相关概念向量向量平面对量的线性运算及其的几何意义线性平面对量的线性运算的性运算质及其几何意义平面对量的基本定理平面平面对量的正交分解及其坐标表示向量的基用坐标表示平面对量的加本定理及法、减法与数乘运算坐标表示量向用坐标表示平面对
26、量共线的条件平面平面对量数量积的概念数量积与向量投影的关系数量积的坐标表示向量用数量积表示两个向量的的数夹角量积用数量积判定两个平面对量的垂直关系向量用向量方法解决简洁问题的应用3、平面对量学问点复习建议（1）透彻懂得向量的概念；向量概念的两大要素 方向和长度 使向量既有 形 又有 数 的特点,既联系几何又联系代数,是高中数学重要的学问网络交汇点,是数形结合的重要载体；（2）先从向量的几何特点进行学习,包括向量相等,向量共线的概念,平面对量的基本定 理,以及向量的加减、实数与向量的积、向量的数量积等运算的几何表示；（3）向量的坐标运算使得几何问题可以通过代数运算加以解决,在对向量的几何特点把握
27、 透彻的前提下,懂得记忆相关公式；如：向量共线、垂直的充要条件,向量的数量积运算,线段定比分点公式、平移公式等；（4）向量的数量积运算是平面对量的重要内容,它与实数之间积的运算既有区分又联系；要会敏捷应用向量的数量积公式求向量的模；（5）要把平面几何的性质、定理迁移到平面对量中来,使得平面对量的几何推导成为可能；如：在平行四边形中,菱形模型与矩形模型的向量表示；第 9 页,共 13 页细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 13 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - -
28、 - - - - - -在三角形中,外心、重心、垂心、内心的向量表示；（6）以平面对量为背景的解析几何问题；解析几何题中往往以向量的形式来揭示几何条件,有的表现几何特点,有的是利用坐标运算直接转化为数的关系；在解析几何中也常常利用向量解决有关角度和垂直,以及点分线段的问题；4、考题回忆（1）挑选题与填空题考题 1、 如向量r a1,2,r b1, 1r,就 2ar br 与 ar b的夹角等于A. 4 B.64D.3 4C. 【考点分析】数量积表示两个向量的夹角；【解析】：由已知向量可求出要求向量坐标,代入向量夹角公式即可得到答案；答案为 C；考题 2、 已知向量 a=（1,0 ）,b=（ 1
29、,1 ）,就（）与 2a+b 同向的单位向量的坐标表示为 _；（）向量 b-3a 与向量 a 夹角的余弦值为 _；【考点分析】此题考查单位向量的概念,平面对量的坐标运算,向量的数量积等；与某向量同向的单位向量一般只有 1 个,但与某向量共线的单位向量一般有 2 个,它包含同向与反向两种； 不要把两个概念弄混淆了；将来高考需留意平面对量基本定理,基本概念以及创新性问题的考查；【解析】 （）由 a = 1,0 , b = 1,1,得 2 a b = 3,1 . 设与 2a b 同向的单位向量为c = ,x y, 就 x 2y 21, 且 x y 0, 解得 x 3 10 ,10 故 c = 3 1
30、0, 10. 即 与3 y x 0,y 10 . 10 10102a b 同向的单位向量的坐标为 3 10 , 10 . 10 10（）由 a = 1,0 , b = 1,1,得 b 3 a = 2,1 . 设向量 b 3 a 与向量 a 的夹角为,就cos b 3 a a 2,1 1,0 2 5 . b 3 a a 5 1 5考题 3、已知点 A 1, 1、B 1, 2、C 2, 1、D 3, 4 , 就向量 AB 在 CD 方向上的投影为（）A3 2 B3 15 C3 2D3 152 2 2 2【考点分析】此题考查向量的投影以及数量的坐标运算；CD【 解 析 】： 因 为A B 2 , 1
31、 , C D 5 , 所 以A BC D 2 , 1 5 , 5 ,52525 2；所以向量AB在CD方向上的投影为第 10 页,共 13 页细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 13 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -ABcosAB CDAB CD153 2,选 A；CD5 22考题 4、 已知点A1,1、B1,2、C2, 1、D3,4, 就向量 AB 在 CD 方向上的投影为（）B3 15 23 2D3 15 2CA3 2 22【考
32、点分析】此题主要考查平面对量的坐标运算以及平面对量投影定义；【解析】：直接运用平面对量的投影公式运算即可,答案为A；考题 5、 如向量OA1,3, |OA|OB|,OA OB0,就 |AB| . 【考点分析】此题主要考查平面对量的数量积与向量坐标的运算；【解析】：由题意知, OBuuur3 ,1 或 OB 3,1 ,所以 AB uuur 4,2 ,所以 | AB | 2 24 22 5. uuur OBuur OAuuur2 ,4 或 AB考题 6、 设向量a3,3,b1, 1,如abab ,就实数_. 【考点分析】此题主要考查平面对量的数量积与向量垂直的应用；【解析】：由于 a b3 ,3
33、,a b3 ,3 ,又a b a b ,所以 a b a b 3 3 3 3 0,解得 3；5、命题趋势猜测及复习建议学问点考查：（1）平面对量共线与垂直高考对平面对量共线与垂直的考查,常以小题形式显现,有时也在大题的条件中显现；平面向量的坐标表示可使平面对量运算完全代数化,从而使得我们可以利用“ 方程的思想”破解向量共线与垂直的问题；（2）平面对量的夹角及投影两向量夹角公式其实是平面对量数量积公式的变形和应用、有关两向量夹角问题的考查,常见类型：依条件等式求夹角,此类问题求解过程中应关注夹角取值范畴；依已知图形求两向量夹角,此类题求解过程应抓住“ 两向量共起点”,便可躲开陷阱,顺利求解；投影
34、问题直接运用公式即可；（3）平面对量的模考查类型：把向量放在适当的坐标系中,给有关向量给予详细坐标求向量的模；不把向量放在坐标系中讨论,求解此类问题的通常做法是利用向量运算法就及其几何意义或应用向量的数量积公式,关键是会把向量 a 的模进行如下转化；（4）平面对量的数量积有时直接考查数量积有时利用图形转化考查,其解决策略为：r r r r直接运用定义 a b a b cos；第 11 页,共 13 页细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 13 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -建立直角坐标系用坐标法解决；转化为其他向量的和或差的形式；（5）向量的应用把向量作为工具进行考查的,解题的关键是把这些以向量形式显现的条件仍其原来面目；另外在立体几何和解析几何中都有向量的表达,主要考查其工具性,考查运算, 向量本身并不难；模拟试题：（1）已知向量a1,2 ,b2,0 ,如向量 ab 与向量 c1 , 2 共线,就实数等于 A 2 B 1 3 C 1 D 23 答案 C 解析 ab ,2 2,0 2 ,2 , ab 与 c 共线, 22 20, 1. （2）已知 a1,2,b3 , 1 ,且 ab 与 a