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1、3.4 基本不等式2abab【教学目标】1知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2abab的证明过程；【教学难点】基本不等式2abab等号成立条件【教学过程】1.课题导入基本不等式2abab的几何背景：如图是在北京召开的第24 界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国
2、人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积 的关系去找相等关系或不等关系。2. 讲授新课1探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22ab。这样， 4 个直角三角形的面积的和是 2ab，正方形的面积为22ab。由于4 个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222abab。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH缩为一个点，这时有222abab。2得到结论：一般的，如果)(2R,22号时取当且仅当那么baabbaba
3、3思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为222)(2baabba当22,()0,()0,abababab时当时所以，0)(2ba，即.2)(22abba名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 41）从几何图形的面积关系认识基本不等式2abab特别的，如果a0,b0, 我们用分别代替a、b ，可得2abab，通常我们把上式写作：(a0,b0)2abab 2 ）从不等式的性质推导基本不等式2abab用分析法证明：要证2ab
4、ab (1) 只要证 a+b (2) 要证（ 2），只要证 a+b- 0 （3）要证（ 3），只要证（ - ）2（4）显然，（ 4）是成立的。当且仅当a=b 时，（ 4）中的等号成立。3）理解基本不等式2abab的几何意义探究： 课本第 98 页的“探究”在右图中， AB是圆的直径，点C 是 AB上的一点， AC=a,BC=b 。过点 C作垂直于AB的弦 DE ，连接 AD 、BD。你能利用这个图形得出基本不等式2abab的几何解释吗？易证tADtD B，那么D2AB 即Dab. 这个圆的半径为2ba，显然，它大于或等于CD，即abba2，其中当且仅当点C与圆心重合，即ab时，等号成立. 因此
5、：基本不等式2abab几何意义是“ 半径不小于半弦”评述： 1. 如果把2ba看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2. 在数学中，我们称2ba为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数 . 本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 补充例题 例 1 已知x、y都是正数，求证：(1)yxxy2；(2) （xy）（x2y2）（x3y3）x3y3. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -
6、- - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 分析：在运用定理：abba2时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质( 把握好每条性质成立的条件) ，进行变形 . 解：x，y都是正数yx0，xy 0，x20，y20，x30，y30 (1)xyyxxyyx22 即xyyx2. (2)xy2xy0 x2y2222yx0 x3y3233yx0 （xy）（x2y2）（x3y3） 2xy222yx233yxx3y3即（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3. 3. 随堂练习1. 已知a、b、c都是正数，求证（ab）（bc）（ca）abc分析：对于此类题目，选择定理：a
7、bba2（a0，b0）灵活变形，可求得结果. 解：a，b，c都是正数ab2ab 0 bc2bc 0 ca2ac 0 （ab）（bc）（ca） 2ab2bc2acabc即（ab）（bc）（ca）abc. 4. 课时小结本节课，我们学习了重要不等式a2b22ab；两正数a、b的算术平均数（2ba），几何平均数 （ab）及它们的关系 （2baab）. 它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数 . 它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具( 下一节我们将学习它们的应用). 我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab222ba，ab（2ba）2. 5. 作业课本第 100 页习题 A 组的第 1 题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -