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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载就称这个图形是自相像图形. 挑战中考压轴题几何探究问题2.定义：如某个图形可分割为如干个都与他相像的图形,1.已知：如图 , A 是半径为 2 的 O 上的一点, P 是 OA 延长线上的一动点,过 P 探究：（1）如图甲,已知ABC 中 C=900,你能把ABC 分割成 2 个与它自己相作 O 的切线,切点为 B、设 PAm , PBn . （1）当 n 4 时,求 m 的值；（2） O 上是否存在点 C,使 PBC 为等边三角形？如存在,恳求出此时 m 的值；如不存在,请说明理由；（3）当 m 为何值时, O 上存在唯独点
2、M 和 PB 构成以 PB为底的等腰三角形？并直接答出：此时O 上能与 PB 构成等腰三角形的点共有几个？（图、图供解题时选用）B 似的小直角三角形吗？如能,请在图甲中画出分割线,并说明理由 . （2）一般地, “ 任意三角形都是自相像图形” ,只要顺次连结三角形各边中点,就可将原三角形分割为四个都与它自己相像的小三角形 .我们把DEF 图乙 第一次顺次连结各边中点所进行的分割,称为 1 阶分割（如图 1）；把 1 阶分割得出的 4 个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割,称为 2 阶分割（如图 2） 依次规章操作下去 .n 阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n 为正整数）,
3、设此时小三角形的面积为 SN.如 DEF 的面积为 10000,当 n 为何值时, 2Sn1 时,请写出一个反映Sn-1,Sn,Sn+1 之间关图图图A 系的等式（不必证明）图甲名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载由于 EF AT,所以 BE/AB=EF/PA=1/4 3.如图 1,AB 是 O 的直径,射线ATAB ,点 P 是射线 A T 上的一个动点 P 与 A所以 CE=3 BE 不重合 ,PC 与 O 相切于 C,过 C 作 CEAB 于 E,连结 BC 并延长 BC 交 AT 于 点 D
4、,连结 PB 交 CE 于 F1请你写出 PA、PD 之间的关系式,并说明理由；在 Rt ACE 中,由于 tanCAE=3 /32请你找出图中有哪些三角形的面积被PB 分成两等分,并加以证明；所以 CAE=30. 13设过 A 、C、D 三点的圆的半径是 R,当 CF= R 时,求 APC 的度数,并4在图 2中作出点 P要求尺规作图,不写作法,但要保留作图痕迹 解 1连结 AC 由于 ATAB ,AB 是 O 的直径,所以 A T 是 O 的切线又 PC 是 O 的切线,所以 PAC=90 -CAE=60. 而 PA=PC,所以PAC 是等边三角形所以 APC=60P 点的作图方法见图4.
5、（2005 湖南常德）如图,AB 是 O 的直径, BC 是 O的弦, O 的割线 PDE 垂直 AB 于点 F,交 BC 于点 G,连结 PC, BAC= BCP,求解以下问题：所以 PA=PC1求证： CP 是 O 的切线；,CG=43时,求以 PD、PEE F D P 所以 PAC=PCA2当 ABC=30 ,BG=23由于 AB 是 O 的直径,B 所以 ACB=90 . 的长为两根的一元二次方程；所以 PAC+ADC=90 , PCA+ PCD=90 . 所以 ADC= PCD所以 PD=PC=PA 3如1 的条件不变,当点 C 在劣弧 AD 上运动时,应再具备什么条件可使结论BG
6、2=BF BO 成立？试写出你的猜想,并说明理由；2由1知, PD=PA,且同高,可见ABD 被 PB 分成面积相等的两个三角形解 1 连结 OC,证 OCP=90 即可由于 AT AB , CEAB ,所以 AT CE所以 CF/PD=BF/BP ,EF/PA=BF/BP 所以 CF/PD=EF/PA 2 B=30 A= BGP=60 BCP= BGP=60 CPG是正三角形 . 所以 CF=EF 6 分 可见 CEB 也被 PB 分成面积相等的两个三角形7 分 PG=CP=433由1知, PA=PCPD,名师归纳总结 所以 PA 是 ACD 的外接圆的半径,即PA=RPC 切 O 于 C
7、3248FD=33EG=3第 2 页,共 13 页由2知, CF=EF,而 CF=1/4 R ,PC2=PD PE=4所以 EF=1/4 PA 所以 EF/PA=1/4 又 BC=63AB=6 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载a a 第 3 页,共 13 页PD=23格较廉价的花草？请说明理由；PD+PE=2383103解（1）P Q a 以 PD、PE 为两根的一元二次方程为x248x 103 =0 图例：P （Q）3 当 G 为 BC 中点, OGBC , OG AC或 BOG= BAC时,结论M N b 或b BG2=BF BO
8、 成立；要让此结论成立,只要证明 BFG BGO即可,凡是能M N 使 BFG BGO的条件都可以；（2）5. （2005 陕西）已知：直线a b,P、Q 是直线 a 上的两点, M 、N 是直线 b 上两Q 图例：P Q a 或P 点；（1）如图,线段PM、QN 夹在平行直线 a 和 b 之间,四边形PMNQ P Q a 为等腰梯形,其两腰PM QN ；M N b M N b 请你参照图,在图中画出异于图的一种图形,使夹在平行M N b 直线 a 和 b 之间的两条线段相等；（3） PMN 和 QMN 同底等高；（2）我们连续探究,发觉用两条平行直图SPMNSQMN； S3+S2=S4+S2
9、.S3=S4线 a、b 去截一些我们学过的图形, POQ NOM ,S 1OQ22 m会有两条“ 曲线段相等”（曲线上两a S 2OMn2点和它们之间的部分叫做“ 曲线段”；把经过全等变换后能重合的两条曲线b S2n2S 1段叫做“ 曲线段相等”）；2 m请你在图中画出一种图形,使夹在 平行直线 a 和 b 之间的两条曲线段相等；图S 1OQm,S 3nS 1a P m S1 S3 Q a S 3OMnmS4 S 1S 2S 3S 4S 1n2S 12nS 1b M S2 N b n m2m（3）如图,如梯形PMNQ 是一块绿化地,梯形的上底 图PQm,下底 MN n,S 11n22nS 11
10、n2且 mn；现方案把价格不同的两种花草种植在S1、S2、S3、S4 四块地里,m2mm使得价格相同的花草不相邻；为了节约费用,园艺师应挑选哪两块地种植价名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载S矩形PEAMS矩形PNCFABEFDNmn,1n20S1+S2S3+S4mab故园艺师应挑选S1 和 S2 两块地种植价格较廉价的花草,由于这两块的的面积之和大（2）成立,理由如下：于另两块地的面积之和；ABCD 是平行四边形,MN AD ,EF CD 6.（2005 重庆） 已知四边形ABCD 中,P 是对角线 BD 上的一点, 过
11、P 作 MN AD ,四边形 PEAM 、PNCF 也均为平行四边形EF CD ,分别交 AB 、CD、AD 、BC 于点 M 、N、E、F,设 a PM PE,b PN PF,仿（ 1）可证S平行四边形PEAMS平行四边形PNCFMH解答以下问题：P（1）当四边形ABCD 是矩形时,见图1,请判定 a 与 b 的大小关系,并说明理由；过 E 作 EHMN 于点 H,就sinMPEEHMPEC（2）当四边形ABCD 是平行四边形,且A 为锐角时,见图2,（1）中的结论是否PE成立？并说明理由；EHPEsinMPE（3）在（2）的条件下, 设BPk,是否存在这样的实数k ,使得S平行四边形PEA
12、M4？S 平行四边形PEAMPMEHPMPEsinPDSABD9同理可得S 平行四边形PNCFPNPFsinFPN如存在,恳求出满意条件的全部k 的值；如不存在,请说明理由；又 MPE FPN A sinMPEsinFPNabPMPEPNPF,即（3）方法 1：存在,理由如下：解 （1） ABCD 是矩形, MN AD ,EF CD ,S 平行四边形ABCD由（2）可知S 平行四边形PEAMAEAMsinA,ADABsinAPEAMS 平行四边形PEAM2 S 平行四边形PEAM2 S 平行四边形SABD2SABDS 平行四边形ABCD第 4 页,共 13 页四边形 PEAM 、PNCF 也均
13、为矩形2AEAMsinA2AEAM a PM PES矩形PEAM, b PNPFS矩形PNCFADABsinAADAB又 BD 是对角线又BPk,即BPkk1,PDk11 PMB BFP, PDE DPN , DBA DBC PDBDBD而AEBPkk1,AMPDk11S矩形PEAMSBDASPMBSPDEADBDABBDS矩形PNCFSDBCSBFPSDPN2kk1k1149名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载M即2k25 k20是 CD 、AD 上的点, BM 与 CN 相交于点 O,如 BON = 90 ,就 BM =
14、 CN. 然后运用类比的思想提出了如下的命题：k12,k21如图 3,在正五边形ABCDE 中, M、AENDFEN2N 分别是 CD 、DE 上的点, BM 与 CN故存在实数k2或1 ,使得 2S平行四边形PEAM4相交于点O,如 BON = 108 ,就BM = CN. OMAOD MSABD9任务要求方法 2：存在,理由如下：（1）请你从、 、三个命题中挑选一B图 3CB图4C连结 AP,设 PMB 、 PMA 、 PEA、 PED 的面积分别为S 、S 、个进行证明； （说明 ：选做对的得4 分,选做对的得3 分,选做对的得5 分）ANEMDS 、3S ,即S 1BMBP,S 3AE
15、BP（2）请你连续完成下面的探究：如图 4,在正 n（n3）边形 ABCDEF 中, M、NS 2AMPDS 4DEPDO分别是 CD 、DE 上的点, BM 与 CN 相交于点O,即S 1kS 2S 1k2S 4kS 4问当 BON 等于多少度时,结论BM = CN 成立？B图 5C（不要求证明）S3kS4S 2S 3如图 5,在五边形ABCDE 中, M、N 分别是 DE、S2S 3AE 上的点, BM 与 CN 相交于点 O,当 BON = 108 时,请问结论S 平行四边形PEAMS 1S 2S 3S 44BM = CN 是否仍成立？如成立,请赐予证明；如不成立,请说明理由 . SAB
16、DS 2S 39解 （1）选命题即k22 kS 41S 44证明：在图1 中, BON = 60 , CBM +BCN = 60 . 2 k9 BCN +ACN = 60 , CBM =ACN . 2k25 k201k2,k21又 BC = CA, BCM =CAN = 60 ,2 BCM CAN. 故存在实数k2或1 ,使得 2S平行四边形PEAM4 BM = CN. SABDAANDENNE97.（ 2006 江西南昌） 问题背景某课外学习小组在一次学习研讨中,得到如下两NOMOMAODAO个命题 ：M如图 1,在正三角形ABC 中, M、N 分别AANDB图1CB图 2CB图3CB图5是
17、 AC、AB 上的点,BM 与 CN 相交于点 O,如 BON = 60 ,就 BM = CN. NOMOM如图 2,在正方形ABCD 中, M、N 分别C名师归纳总结 B图1CB图 2第 5 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 选命题学习必备欢迎下载APAC+BP BD=AB2 是否成立？为什（1）如图（ 2）当点 P 在半圆周外时,结论证明：在图2 中, BON = 90 , CBM +BCN = 90 . 么？ BCN +DCN = 90 , CBM =DCN. （2）如图（ 3）当点 P 在切线 BE 外侧时, 你能得到什么结论？
18、将你得到的结论写出又 BC = CD , BCM =CDN = 90 ,来 BCM CDN. BM = CN. 选命题证明：在图 3 中, BON = 108 , CBM +BCN = 108 BCN +DCN = 108 , CBM =DCN. 又 BC = CD , BCM =CDN = 108 , BCM CDN. BM = CN. （2） 当 BON = n2180时,结论 BM = CN 成立 . O 于解（1）APAC+BP BD=AB2 仍成立n BM = CN 成立 . 证明：如图（ 2）, PCM= PDM=900,证明：如图5,连结 BD 、CE. 点 C、D 在以 PM
19、为直径的圆上,在 BCD 和 CDE 中,ACAP=AM MD ,BD BP=BM BC, BC = CD, BCD =CDE = 108 , CD = DE,ACAP+BD BP=AM MD+BM BC, BCD CDE. 由已知, AM MD+BM BC=AB2, BD = CE, BDC =CED, DBC =ECD. AP AC+BP BD=AB2 OBC + OCB = 108 , OCB +OCD = 108 ,（2）如图（ 3）,过 P 作 PMAB ,交 AB 的延长线于M ,连结 AD 、BC, MBC =NCD. 就 C、M 在以 PB 为直径的圆上,APAC=AB AM
20、,又 DBC =ECD = 36 , DBM =ECN. D、M 在以 PA 为直径的圆上,BP BD=AB BM , BDM ECN. 由图象可知： AB=AM-BM, 点评 此题是一道特别典型的几何探究题,很好地表达了从一般到特别的数学思想由可得：AP AC-BP BD=AB （AM-BM ）=AB2方法,引导同学慢慢地从易走到难,是新课标形势下的成熟压轴题；9.（ 2006 江苏宿迁）设边长为2a 的正方形的中心A 在直线 l 上,它的一组对边垂直8.（ 2006 山东日照）阅读下面的材料：于直线 l ,半径为 r 的 O 的圆心 O 在直线 l 上运动,点 A、O 间距离为 d如图（
21、1）,在以 AB 为直径的半圆O 内有一点 P,AP、BP 的延长线分别交半圆（1）如图,当ra 时,依据d 与 a、r 之间关系,将O 与正方形的公共点个数点 C、D求证： AP AC+BP BD=AB2填入下表：证明：连结AD、BC,过 P 作 PM AB,就 ADB =AMP =90,d、a、r 之间关系公共点的个数点 D、M 在以 AP 为直径的圆上；同理：M、C 在以 BP 为直径的圆上da r由割线定理得：AP AC=AM AB,BPBD=BM BA,da rAOl所以, APAC+BP BD=AM AB+BM AB=AB （AM+BM ）=AB 2BD=AP 2+BP 2=AB
22、2 成立,那么：ardar当点 P 在半圆周上时,也有APAC+BP da r名师归纳总结 图第 6 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载dar所以,当 ra 时,O 与正方形的公共点的个数可能有 个；（2）如图,当 ra 时,依据 d 与 a、r 之间关系,将O 与正方形的公共点个数填入下表：d、a、r 之间关系公共点的个数l所以,当 ra 时, O 与正方形的公共点的个数可能有0、 1、2 个；AB d、a、r 之间关系公共点的个数AO（2）dar0 dar1 图AOlE ada r2 da4 图dardarF ad
23、 arOda所以,当ra 时, O 与正方形的公共点个数可能有个；所以,当 r a 时, O 与正方形的公共点个数可能有D lC （3）如图,当O 与正方形有5 个公共点时,试说明r5 4a；0、1、2、4 个；（3）方法一：如下列图,连结OCAOl就 OEOCr ,OF EFOE2ar在 Rt OCF 中,由勾股定理得：OF2FC2OC2图即（ 2ar）2a2r2 （4）就 ra 的情形,请你仿照“ 当 时,O 与正方形的公共点个数可能有4a24arr2a 2r2B 个” 的形式,至少给出一个关于“ O 与正方形的公共点个数” 的5a 24ar正确d、a、r 之间关系公共点的个数结论5a4r
24、r 5 4a 解 darO0 l（1）dar1 方法二：如图,连结BD、OE、BE、DEN ar da r A2 四边形 BCMN 为正方形dar 图 dar1 0 C M N90BD 为 O 的直径, BED90E 名师归纳总结 AO第 7 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载A D E BEN DEM 90求证： BCADAC BEN EBN90M D C 证明：过点 D 作 DFAC,在 DF 上截取 DE ,使 DEAC连结 CE , BE DEM EBN BNE EMD 故EDO60,四边形 ACED 是平行四边
25、形BN NEEM MD所以BDE是等边三角形,CEAD DM 1 2a所以 DEBEACO 当 BC 与 CE 不在同一条直线上时（如图1）,由 OE 是梯形 BDMN 的中位线在BCE中,有 BCCEBE B 得 OE1 2（BNMD ）5 4a所以 BCADAC C 图 1 F 当 BC 与 CE 在同一条直线上时（如图2）,就 BCCEBEA （4）当 ar5 4a时, O 与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4、6、7、D 因此 BCADAC 8 个；综合、,得BCADACO 当 r5 4a 时, O 与正方形的公共点个数可能有0、1、2、 5、8 个；即等对角线四边形中两条对角线所
26、夹角为60 时,这对 60 角所B C E 当5 4ar2a 时, O 与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4、6、8 个；对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长图 2 点评 此题是一道探究题,是近年来中考命题的热点问题,在第2 小当r=2 a时, O 与正方形的公共点个数可能有0、 1、2、3、4 个；题中要求同学先猜想可能的结论,再进行证明,这对同学的确有较高的才能要求,当r2a时, O 与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4 个而在探究结论前可以自己先画几个草图,做到心中有数再去努力求证；许多同学往往会忽视特别情形没有进行争论,应当予以关注,总之这是一道新课标形势下的优1、
27、（北京课改B 卷）我们给出如下定义：如一个四边形的两条对角线相等,秀压轴题；就称这个四边形为等对角线四边形请解答以下问题：（1）写出你所学过的特别四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60 时,这对 60 角所对的5、（福建漳州卷） 如图,已知矩形ABCD,AB3,BC3,在 BC 上取两点 E,F（ E 在 F 左边）,以 EF 为边作等边三角形PEF,使顶点P在AD上,PE,PF分两边之和与其中一条对角线的大小关系,并证明你的结论解 （1）答案不唯独,如正方形、矩形、等腰梯形等等别交 AC 于点 G,H（1）求PEF的边长；（ 2）结论
28、：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60 时,这对 60 角所对（2）在不添加帮助线的情形下,当F 与 C 不重合时,从图中找出一对相像三角形,的两边之和大于或等于一条对角线的长并说明理由；（3）如PEF的边 EF 在线段 BC 上移动试猜想：PH与BE有何数量关系？已知：四边形ABCD 中,对角线 AC , BD 交于点 O , ACBD ,并证明你猜想的结论AGPD且AOD60名师归纳总结 - - - - - - -H第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解 （1）过 P 作 PQBC 于 QBCFBEDAE2 GP学习必备D欢迎下载BC3AEP G
29、8 5 6 7 H1 D证法一：在 RtABC中,AB3,矩形 ABCDtan1AB3BC3 2 FB90,即 ABBC ,又 AD4 BC3PQAB3130PPEF是等边三角形PEF是等边三角形PFQ60AG260,PFEF2在 RtPQF中HCB3 HC213BC3第 9 页,共 13 页4 F1 330sin 603BEQ13PFFCFHPF2PHFH2,BEEFFC3PEF的边长为 2 PHBE1（2）正确找出一对相像三角形证法二：在 RtABC中,AB3,正确说明理由方法一：ABCCDAtan1AB3理由：矩形 ABCDBC3ADBC121301PHBD90PEF是等边三角形,PE2
30、ABCCDA24560方法二：APHCFH理由：矩形 ABCD690ADBC21在 RtCEG中,130又34EG1EC ,即EG1 3 2BEAPHCFH（3）猜想： PH 与 BE的数量关系是：2名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 在 RtPGH中,7301PH23学习必备欢迎下载把代入得,3PH211 23BEPG1PHBEBE322PEEGPG13BEPHBE122 点评 此题是一道很典型的几何型探究题,在近几年的中考压轴题中稳占一席之地,PHBE1估计 20XX年仍会保持这一趋势；在此题中,第1 小题较简洁,第2 小题就需同学仔3
31、,BC细观看图形,做出精确猜想后再验证,第3 小题对同学的探究才能的要求更高一些,证法三：在 RtABC中,AB但由于解法较多,入题的通道较宽,因此难度并非特别大；tan1AB3,AC2AB2BC220、（湖南常德卷）把两块全等的直角三角形ABC 和 DEF 叠放在一起,使三角板BC3DEF的 锐 角 顶 点 D 与 三 角 板 ABC 的 斜 边 中 点 O 重 合 , 其 中130,AC2 3ABCDEF90,CF45,ABDE4,把三角板 ABC 固定不PEF是等边三角形动,让三角板DEF 绕点 O 旋转,设射线DE 与射线 AB 相交于点 P ,射线 DF 与线段 BC 相交于点 Q
32、45606890（ 1 ） 如 图1 , 当 射 线 DF 经 过 点 B , 即 点 Q 与 点 B 重 合 时 , 易 证EGCPGHAPDCDQ此时, AP CQPHPG（2）将三角板 DEF 由图 1 所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转, 设旋转角为其ECEG3PH2EG中BEEG090 ,问 AP CQ的值是否转变？说明你的理由1 ,B690（3）在（ 2）的条件下,设 CQx ,两块三角板重叠面积为y ,求 y 与 x 的函数关CEGCABEGEC即EG3BE系式（图 2,图 3 供解题用）ABAC32 3A EG1 3 2BEEP 名师归纳总结 BQ C第 10 页,共 13 页-
33、 - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备解 （1）8 （2） AP CQ 的值不会转变欢迎下载8x82x4x情形 2：当 45a90时, 0CQ 2时,即 0x2,此时两三角板重叠部分为DMQ,由于AP8,PB84,易证：PBMDNM,xx理由如下：在APD与CDQ中,AC45B MP B 即D N2BMPB解得BM2PB84xM NBM22PB4xA P D1 8 04 5 4 5aMQ4BMCQ4x84x4xCDQ90a于是y1MQ DN4x84x0x224x即APDCDQ（）综上所述,当 2x4时,y8x8xAPDCDQ当 0x2时,y4x84x4xAPCD或y2 x44x8ADCQxA PC QA D2 C D1 A D228A C法 二 ： 连 结 BD , 并 过 D 作 DNBC于 点 N , 在DBQ与MCD中 ,DBQMCD45（3）情形 1：当 0a45时, 2CQ4,即 2x4,此时两三角板重叠部分为四边形 DPBQ ,过 D 作 DGAP于 G , DNBC 于 N ,DQBQCB