2022年2022年函数 .pdf

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1、函数（function ）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。函数 f 中对应输入值的输出值x 的标准符号为 f(x) 。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的 定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。若先定义映射的概念，可以简单定义函数为，定义在非空数集之间的映射称为函数。在某变化过程中设有两个变量x,y，按照某个对应法则，对于每一个给定的x 值，都有唯一确定的 y 值与之对应，那么y 就是 x 的函数。其中x 叫自变量， y 叫因变量。另外，若对于每一个给定的x 值，也都有唯一的y 值与之对应，那么x 也是 y 的函数。现代定义：一般地，给定非空数集A,B, 按照某个对应

2、法则f，使得 A 中任一元素x，都有 B 中唯一确定的 y 与之对应， 那么从集合 A 到集合 B 的这个对应， 叫做从集合A 到集合 B 的一个函数。记作： xy=f(x),x A. 集合 A 叫做函数的定义域，记为D,集合 y y=f(x),x A 叫做值域，记为 C。定义域，值域，对应法则称为函数的三要素。一般书写为y=f(x),x D.若省略定义域，则指使函数有意义的一切实数所组成的集合。用映射的定义：一般地，给定非空数集A,B ，从集合 A 到集合 B 的一个映射，叫做从集合A 到集合 B的一个函数。向量函数 :自变量是向量的函数叫向量函数f（a1.a2，a3.an）=y 对应、映射

3、、函数三者的重要关系：函数是数集上的映射，映射是特指的对应。即：函数 包含于 映射 包含于 对应 编辑本段计算机定义函数过程中的这些语句用于完成某些有意义的工作通常是处理文本， 控制输入或计算数值。通过在程序代码中引入函数名称和所需的参数，可在该程序中执行（或称调用）该函数。类似过程， 不过函数一般都有一个返回值。它们都可在自己结构里面调用自己，称为递归。大多数编程语言构建函数的方法里都含有Function 关键字（或称保留字） 。与数学上的函数类似，函数多用于一个等式，如y=f(x) （f 是任意合理表达式） 。编辑本段简介函数是数学中的一个基本概念，也是代数学里面最重要的概念之一。首先要理

4、解，函数是发生在非空数集之间的一种对应关系。然后，要理解发生在A、B之间的函数关系不止一个。最后，要重点理解函数的三要素。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - 函数的对应法则通常用解析式表示，但大量的函

5、数关系是无法用解析式表示的，可以用图象，表格及其他形式表示。编辑本段与函数有关的概念在一个变化过程中，发生变化的量叫变量，有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。自变量， 函数一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。因变量 (函数 )，随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量(函数 )有且只有唯一值与其相对应。函数值，在y 是 x 的函数中， x 确定一个值， Y 就随之确定一个值，当x 取 a 时， Y 就随之确定为b，b 就叫做 a的函数值。映射定义设 A 和 B 是两个非空集合， 如果按照某种对应关系f， 对于集合A 中的任何一个元素a，在

6、集合 B 中都存在唯一的一个元素b 与之对应，那么，这样的对应（包括集合A，B，以及集合 A 到集合 B 的对应关系f）叫做集合A 到集合 B 的映射 (Mapping) ，记作 f： AB 。其名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - 中， b 称为 a 在映射 f 下的象，记作：b=f(a); a 称为 b 关于映射f 的原象。集合A 中所有元素的象的集合记作f(A) 。则有：定义在非空数集之间的映射称为函数。（函数

7、的自变量是一种特殊的原象，因变量是特殊的象）几何含义函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图象与X 轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成 “”，再把 “Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。函数的集合论如果 X 到 Y 的二元关系f：XY，对于每个xX，都有唯一的yY，使得 f，则称 f 为 X 到 Y 的函数，记做：f:X Y 。当 X=X1 Xn 时，称 f 为 n 元函数。其特点：前域和定义域重合单值性： f f y=y 编辑本段定义域、对

8、应域和值域输入值的集合X 被称为 f 的定义域；可能的输出值的集合Y 被称为 f 的值域。函数的值域是指定义域中全部元素通过映射f 得到的实际输出值的集合。注意， 把对应域称作值域是不正确的，函数的值域是函数的对应域的子集。计算机科学中， 参数和返回值的数据类型分别确定了子程序的定义域和对应域。因此定义域和对应域是函数一开始就确定的强制进行约束。另一方面，值域是和实际的实现有关。编辑本段单射、满射与双射函数单射函数，将不同的变量映射到不同的值。即：若x 和 y 属于定义域，则仅当x 不等于 y 时有 f（x）不等于f（y） 。单射满射双射满射函数，其值域即为其对映域。即：对映射f 的对映域中之

9、任意y，都存在至少一个x 满足 f（x）= y。双射函数，既是单射的又是满射的。也叫一一对应。双射函数经常被用于表明集合X和 Y 是等势的，即有一样的基数。如果在两个集合之间可以建立一个一一对应，则说这两个集合等势。编辑本段象和原象元素 xX 在 f 的象就是 f（x） ，他们所取的式值为0。子集 A?X 在 f 的象是以其元素的象组成Y 的子集，即f( 编辑本段函数图象函数 f 的图象是平面上点对（x,f（ x） ）的集合，其中x 取定义域上所有成员的。函数图象可以帮助理解证明一些定理。如果 X 和 Y 都是连续的线， 则函数的图象有很直观表示注意两个集合X 和 Y 的二元关名师资料总结 -

10、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - 系有两个定义：一是三元组（X,Y,G） ，其中G 是关系的图；二是索性以关系的图定义。用第二个定义则函数f 等于其图象。当 k0 时，直线为降，过二四象限，向上或向下平移象限。编辑本段性质函数的有界性设函数 f(x) 的定义域为D，数集 X 包含于 D。如果存在数K1，使得 f(x) K1 对任一xX 都成立，则称函数f(x) 在 X 上有上界，而K1 称为函数f(x) 在 X 上的一个上界。如

11、果存在数 K2，使得 f(x) K2 对任一 xX 都成立，则称函数f(x) 在 X 上有下界，而K2 称为函数f(x) 在 X 上的一个下界。 如果存在正数M， 使得|f(x)|=M 对任一 xX 都成立，则称函数f(x)在 X 上有界，如果这样的M 不存在，就称函数f(x) 在 X 上无界。函数 f(x) 在 X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界。函数的单调性设函数 f(x) 的定义域为D，区间 I 包含于 D。如果对于区间I 上任意两点x1 及 x2，当x1x2 时，恒有 f(x1)f(x2) ，则称函数f(x) 在区间 I 上是单调增加的；如果对于区间I 上任意两点 x

12、1 及 x2，当 x1f(x2) ，则称函数f(x) 在区间 I 上是单调减少的。单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。函数的奇偶性设 f(x) 为一个实变量实值函数，则f 为奇函数若下列的方程对所有实数x 都成立：f( -x) = - f(x) 几何上，一个奇函数与原点对称，亦即其图在绕原点做180 度旋转后不会改变。奇函数的例子有x、 sin(x)、sinh(x) 和 erf(x) 。设 f(x) 为一实变量实值函数，则f 为偶函数若下列的方程对所有实数x 都成立：f(x) = f( - x) 几何上， 一个偶函数会对y 轴对称， 亦即其图在对y 轴为镜射后不会改变。偶函数的例子有|x|

13、、x2 、cos(x)和 cosh(sec)(x)。偶函数不可能是个双射映射。函数的周期性狄利克雷函数设函数 f(x) 的定义域为 D。 如果存在一个正数l， 使得对于任一xD 有(x 士 l)D， 且 f(x+l)=f(x)恒成立， 则称 f(x) 为周期函数， l 称为 f(x) 的周期， 通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。周期函数的定义域D 为至少一边的无界区间，若D 为有界的，则改函数不具周期性。并非每个周期函数都有最小正周期，例如狄利克雷（Dirichlet ）函数。函数的连续性在数学中， 连续是函数的一种属性。直观上来说， 连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候， 输出的变

14、化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - 性） 。设 f 是一个从实数集的子集射到的函数：。f 在中的某个点c 处是连续的当且仅当以下的两个条件满足：f 在点 c 上有定义。c 是中的一个聚点， 并且无论自变量x 在中以什么方式接近c， f(x) 的极限都存在且等于f(c)。我们称函

15、数到处连续或处处连续，或者简单的连续，如果它在其定义域中的任意点处都连续。更一般地， 我们说一个函数在它定义域的子集上是连续的当它在这个子集的每一点处都连续。不用极限的概念，也可以用下面所谓的方法来定义实值函数的连续性。仍然考虑函数。假设c 是 f 的定义域中的元素。函数f 被称为是在c 点连续当且仅当以下条件成立：对于任意的正实数，存在一个正实数 0 使得对于任意定义域中的，只要 x 满足 c - x c + ，就有成立。函数的凹凸性设函数 f(x) 在 I 上连续。如果对于I 上的两点x1x2 ，恒有 f(x1+x2)/2)(f(x1)+f(x2)/2 ，（ f(x1+x2)/2)(f(x

16、1)+f(x2)/2）那么称f(x) 是区间上的 (严格 )凹函数。实函数或虚函数实函数 （Real function ） ，指定义域和值域均为实数域的函数。实函数的特性之一是可以在坐标上画出图形。虚函数是面向对象程序设计中的一个重要的概念。当从父类中继承的时候，虚函数和被继承的函数具有相同的签名。但是在运行过程中，运行系统将根据对象的类型，自动地选择适当的具体实现运行。虚函数是面向对象编程实现多态的基本手段。编辑本段函数概念的发展历史早期函数概念十七世纪伽俐略(GGalileo，意， 15641642)在两门新科学一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的

17、关系。1637 年前后笛卡尔 (Descartes，法， 15961650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17 世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。1673 年，莱布尼兹首次使用“function ”（函数）表示 “ 幂” ，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用“ 流量 ” 来表示变量间的关系。十八世纪函数概念1718 年约翰 柏努利 (Johann Bernoulli ，瑞士， 16671748

18、)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“ 由任一变量和常数的任一形式所构成的量。” 他的意思是凡变量x 和常量构成的式子都叫做x 的函数，并强调函数要用公式来表示。1748 年，柏努利的学生欧拉在无穷分析引论一书中说：“ 一个变量的函数是由该变量的一些数或常量与任何一种方式构成的解析表达式。1755，欧拉 (L Euler，瑞士， 17071783) 把函数定义为“ 如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。” 18 世纪中叶欧拉(L Euler，瑞士， 17071783)给出了定义：“ 一个变量

19、的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。” 他把约翰 贝努利给出的函数定义称名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - 为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“ 随意函数 ” 。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰 贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。十九世纪函数概念1821 年，柯西 (Cauchy，法， 17891857) 从定义变量起给出了定义：“ 在某些变数间存在着一定的关系，

20、当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。” 在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。1822 年傅里叶（ Fourier，法国， 1768 1830）发现某些函数也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。1837 年狄利克雷 (Dirichlet ，德国， 18051859) 突破了这一局限，认为怎样去建立x与 y 之间的关系无关紧要，他

21、拓广了函数概念，指出：“ 对于在某区间上的每一个确定的x值， y 都有一个确定的值，那么y 叫做 x 的函数。 ” 这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义。等到康托 (Cantor，德国， 18451918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美， 18801960)用“ 集合 ” 和“ 对应 ” 的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“ 变量是数 ” 的极限， 变量可以是数，也可以是其它对象。现代函数概念1914 年豪斯道夫 (FHausdorff) 在

22、集合论纲要中用不明确的概念“ 序偶 ” 来定义函数，其避开了意义不明确的“ 变量 ” 、“ 对应 ” 概念。库拉托夫斯基(Kuratowski) 于 1921 年用集合概念来定义 “ 序偶 ” 使豪斯道夫的定义很严谨了。1930 年新的现代函数定义为“ 若对集合M 的任意元素x，总有集合N 确定的元素y 与之对应，则称在集合M 上定义一个函数，记为y=f(x) 。元素x 称为自变元，元素y 称为因变元。 ” 编辑本段特殊的函数反函数一般地，设函数y=f(x)(x A) 的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把 x 表示出，得到 x= f(y). 若对于 y 在 C 中的任何一个值，通

23、过 x= f(y) ，x 在 A 中都有唯一的值和它对应，那么， x= f(y) 就表示 y 是自变量， x 是自变量y 的函数，这样的函数x= f(y)(y C)叫做函数y=f(x)(x A) 的反函数，记作x=f-1(y). 。反函数y=f-1(x) 的定义域、值域分别是函数 y=f(x) 的值域、定义域。说明：在函数x=f-1(y) 中， y 是自变量， x 是函数，但习惯上，我们一般用x 表示自变量，用 y 表示函数， 为此我们常常对调函数x=f-1(y) 中的字母x,y， 把它改写成y=f-1(x) ，今后凡无特别说明，函数y=f(x) 的反函数都采用这种经过改写的形式。反函数也是函

24、数，因为它符合函数的定义。从反函数的定义可知，对于任意一个函数 y=f(x) 来说，不一定有反函数，若函数y=f(x) 有反函数y=f-1(x) ，那么函数y=f-1(x) 的反函数就是y=f(x) ，这就是说，函数y=f(x) 与 y=f-1(x) 互为反函数。 。从映射的定义可知，函数 y=f(x) 是定义域A 到值域 C 的映射，而它的反函数y=f-1(x)是集合 C 到集合 A 的映射， 因此， 函数 y=f(x) 的定义域正好是它的反函数y=f-1(x) 的值域；函数 y=f(x) 的值域正好是它的反函数y=f-1(x) 的定义域（如下表） ：函数 y=f(x) 反函数 y=f-1(

25、x) 定义域 A C 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - - 值域 C A 上述定义用“ 逆” 映射概念可叙述为：若确定函数y=f(x) 的映射 f 是函数的定义域到值域“ 上” 的“ 一一映射 ” ，那么由f 的“ 逆”映射 f-1 所确定的函数x=f-1(x) 就叫做函数y=f(x) 的反函数 . 反函数 x=f-1(x) 的定义域、 值域分别是函数y=f(x) 的值域、定义域。 。开始的两个例子：s=vt 记为

26、f(t)=vt, 则它的反函数就可以写为f-1(t)=t/v ，同样y=2x+6记为 f(x)=2x+6 ，则它的反函数为：f-1(x)=x/2-3 。有时是反函数需要进行分类讨论，如：f(x)=X+1/X ，需将 X 进行分类讨论： 在 X 大于 0时的情况，X 小于 0 的情况，多是要注意的。 一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于 b/d)-y=b-dx/cx+a 反函数的应用：直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域，求反函数的步骤是这样的：1先求出原函数的值域，因为原函数的值域就是反函数的定义域（我们知道函数的三要素是定义域，值域

27、，对应法则，所以先求反函数的定义域是求反函数的第一步）2反解 x，也就是用y 来表示 x 3改写，交换位置，也就是把x 改成 y，把 y 改成 x 4写出反函数及其定义域就关系而言，一般是双向的，函数也如此，设y=f （x）为已知的函数，若对每个yY，有唯一的xX，使 f（x）=y，这是一个由y 找 x 的过程，即 x 成了 y 的函数，记为x=f -1 （y） 。则 f -1 为 f 的反函数。习惯上用x 表示自变量，故这个函数仍记为y=f -1 （x） ，例如y=sinx 与 y=arcsinx 互为反函数。在同一坐标系中，y=f（x）与 y=f -1（x）的图形关于直线 y=x 对称。隐

28、函数若能由方程F（x，y）=0 确定 y 为 x 的函数 y=f（x） ，即 F（x，f（x） ）0 ，就称 y 是x 的隐函数。注意：此处为方程F（x,y ）= 0 并非函数。思考：隐函数是否为函数？不是，因为在其变化的过程中并不满足“ 一对一 ” 和“ 多对一 ” 。多元函数设点（ x1，x2，xn） GÍRn ，UÍR1 ，若对每一点（x1，x2， ，xn） G，由某规则f 有唯一的uU 与之对应： f：GU，u=f（x1，x2， ，xn） ，则称 f为一个 n 元函数， G 为定义域， U 为值域。基本初等函数及其图象幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反

29、三角函数称为基本初等函数。幂函数： y=x （0，为任意实数）定义域：为正整数时为（ ，+） ，为负整数时是（ ，0）（ 0，+） ；=(a 为整数 )，当 是奇数时为（ ，+） ，当 是偶数时为（ 0，+） ；=p/q,p,q互素，作为的复合函数进行讨论。略图如图2、图 3。指数函数： y=ax（a0 ，a1 ） ，定义域为（ ，+） ，值域为（ 0 ，+） ，a1 时是严格单调增加的函数（即当x2x1 时， ） ，0对数函数： y=logax （a0） ，称 a 为底，定义域为（ 0，+） ，值域为（ ， +） 。a1 时是严格单调增加的，0a1 时是严格单减的。不论a 为何值，对数函数的

30、图形均过点（1，0） ，对数函数与指数函数互为反函数。如图 5。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - 以 10 为底的对数称为常用对数，简记为lgx 。在科学技术中普遍使用的是以e 为底的对数，即 自然对数，记作lnx。三角函数：见表2。正弦函数、余弦函数如图6，图 7 所示。反三角函数：见表3。双曲正、余弦如图8。双曲函数： 双曲正弦 （ exe-x） ，双曲余弦 ? （ex+e-x） ，双曲正切（ exe-x）

31、/ （ex+e-x） ，双曲余切（ex+e-x）/（exe-x） 。编辑本段按照未知数次数分类常函数x 取定义域内任意数时，都有y=C (C 是常数 )，则函数y=C 称为常函数，其图象是平行于x 轴的直线或直线的一部分。一次函数I、定义与定义式：自变量x 和因变量y 有如下关系：y=kx+b（ k，b 为常数， k0 ）则称 y 是 x 的一次函数。特别地，当b=0 时，即 y=kx 时， y 是 x 的正比例函数。II、 一次函数的性质：y 的变化值与对应的x 的变化值成正比例，比值为 k 即 y/x=k III 、一次函数的图象及性质：1 作法与图形：通过如下3 个步骤（1）列表（一般找

32、4-6 个点） ；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图象。（用平滑的曲线连接）2性质：在一次函数图象上的任意一点P（x，y） ，都满足等式：y=kx+b 。3 k， b 与函数图象所在象限。当k0 时，直线必通过一、三象限，y 随 x 的增大而增大；当 k0 时，直线必通过一、二象限当b0 时，直线只通过一、三象限与原点。当k0 时，开口方向向上，a0 时，抛物线向上开口；当a0） ，对称轴在y 轴左当 a 与 b 异号时（即ab0 时，抛物线与x 轴有 2 个交点。= b2 -4ac=0 时，抛物线与x 轴有 1 个交点。= b2 -4ac0 时， 函数在 x= -b/2a 处取得最

33、小值f(-b/2a)=4ac-b2/4a ； 在x|x-b/2a 上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是x|x 4ac-b2/4a 相反不变当 b=0 时，抛物线的对称轴是y 轴，这时， 函数是偶函数， 解析式变形为y=ax2+c(a0) 二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c ，当 y=0 时，二次函数为关于x 的一元二次方程（以下称方程），即 ax2+bx+c=0 此时，函数图象与x 轴有无交点即方程有无实数根。函数与 x 轴交点的横坐标即为方程的根。1二次函数y=ax2 ，y=a(x-h)2 ，y=a(x-h)2 +k ，y=ax2+bx+c( 各式

34、中， a0) 的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：解析式y=ax2 ；y=a(x-h)2 ； y=a(x-h)2+k ； y=ax2+bx+c 对应顶点坐标(0，0) ； (h，0) ； (h，k) ； (-b/2a， (4ac-b2)/4a) 对应对称轴x=0 ； x=h ； x=h ； x=-b/2a 当 h0 时， y=a(x-h)2 的图象可由抛物线y=ax2 向右平行移动h 个单位得到，当 h0,k0 时，将抛物线y=ax2 向右平行移动h 个单位，再向上移动k 个单位，就可以得到 y=a(x-h)2 +k 的图象当 h0,k0 时，将抛物线y=ax2 向右平

35、行移动h 个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k 的图象当h0 时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k 个单位可得到y=a(x-h)2+k 的图象当h0,k0 时，开口向上，当a0，当 x -b/2a 时， y 随 x 的增大而减小，函数是减函数；当 x -b/2a 时， y 随 x 的增大而增大，函数是增函数若a0 ，图象与 x 轴交于两点A(x? ，0)和 B(x?，0)，其中的 x1,x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0) 的两根这两点间的距离AB=|x?-x?| 另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2 （-b/2a） A |（A 为其

36、中一点）当 =0图象与x 轴只有一个交点当 0 时，图象落在x 轴的上方， x 为任何实数时，都有 y0；当 a0 时，图象落在x 轴的下方， x 为任何实数时，都有y0(a0，则 a可以是任意实数排除了为 0 这种可能，即对于x0 的所有实数， q 不能是偶数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 18 页 - - - - - - - - - 排除了为负数这种可能，即对于x 为大于且等于0 的所有实数，a就不能是负数。总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂

37、函数的定义域的不同情况如下：如果 a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数如果 a为负数，则x 肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q 的奇偶性来确定，即如果同时q 为偶数，则x 不能小于0，这时函数的定义域为大于0 的所有实数；如果同时 q 为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。在 x 大于 0 时，函数的值域总是大于0 的实数。在 x 小于 0 时，则只有同时q 为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有 a 为正数， 0 才进入函数的值域。由于 x 大于 0 是对 a 的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况。可以看到：（1）所有的图形都通过（1，

38、1）这点。（2）当 a 大于 0 时，幂函数为单调递增的，而a 小于 0 时，幂函数为单调递减函数。（3）当 a 大于 1 时，幂函数图形下凹；当a 小于 1 大于 0 时，幂函数图形上凸。（4）当 a 小于 0 时， a 越小，图形倾斜程度越大。（5）a 大于 0，函数过（ 0，0） ；a 小于 0，函数不过（0，0）点。（6）显然幂函数无界。编辑本段复变函数复变函数是定义域为复数集合的函数。复数的概念起源于求方程的根，在二次、 三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。 在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是：a+bi，其中

39、 i 是虚数单位。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。复变函数论的发展简况复变函数论产生于十八世纪。1774 年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时， 法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“ 达朗贝尔 -欧拉方程 ” 。到了十九世纪， 上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做 “ 柯西 -黎曼条件 ”

40、 。复变函数论的全面发展是在十九世纪，就象微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支， 并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔， 法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初， 复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、 阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔

41、的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。复变函数论在应用方面，涉及的面很广， 有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 18 页 - - - - - - - - - 比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。复变函数论不

42、但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。 它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。复变函数论的内容复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、 留数理论、 广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面， 可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果

43、能作出它的黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映象就都是共形映象，共形映象也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数

44、理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。从柯西算起， 复变函数论已有

45、170 多年的历史了。 它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在， 复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。upcase 字符型使小写英文字母变为大写字符型downcase 字符型使大写英文字母变为小写字符型编辑本段程序设计中的函数介绍许多程序设计语言中，可以将一段经常需要使用的代码封装起来，在需要使用时可以直接调用，这就是程序中的函数。比如在C 语言中：int max(int x,int y) return(xy?x:

46、y;); 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - - 就是一段比较两数大小的函数，函数有参数与返回值。C+程序设计中的函数可以分为两类：带参数的函数和不带参数的函数。这两种参数的声明、定义也不一样。带有（一个）参数的函数的声明：类型名标示符+函数名 +（类型标示符 +参数） / 程序代码 没有返回值且不带参数的函数的声明：void+函数名（） / 程序代码 花括号内为函数体。如果没有返回值类型名为void, int 类型

47、返回值为int,以此类推 类型名有： void int long float int* long* float* C+中函数的调用：函数必须声明后才可以被调用。调用格式为：函数名（实参）调用时函数名后的小括号中的实参必须和声明函数时的函数括号中的形参个数相同。有返回值的函数可以进行计算，也可以做为右值进行赋值。#include using namespace std; int f1(int x, int y) int z; return x+y; void main() coutf1(50,660)0 时，直线必通过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大当 k0,b0, 这时此函数的图象经过第

48、一、二、三象限。当 k0,b0, 这时此函数的图象经过第一、三、四象限。当 k0, 这时此函数的图象经过第一、二、四象限。当 k0,b0 时，直线必通过第一、二象限当 b0 时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。当k0 时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。4、特殊位置关系当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K 值（即一次项系数）相等当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K 值互为负倒数（即两个K 值的乘积为 -1）5 应用可用于求圆的切线、立体几何绘图等。编辑本段 Word 中创建函数公式在 Microsoft Word、WPS 等软件插入函数时，一

49、般需要借助其编辑公式功能。以Word文档为例介绍Word 中创建函数公式的方法：第 1 步，打开Word2010 文档窗口，切换到“ 插入 ” 功能区。在 “ 符号 ” 分组中单击 “ 公式 ”按钮（非 “ 公式 ” 下拉三角按钮） 。第 2 步，在 Word2010 文档中创建一个空白公式框架，在“ 公式工具 /设计 ” 功能区中，单击“ 结构 ” 分组中的 “ 函数 ” 按钮。在打开的函数结构列表中会显示三角函数、反函数、双曲函数、反双曲函数等多种类型的函数。根据需要选择合适的函数形式（例如选择 “ 正弦函数 ” ） 。第 3 步， 在空白公式框架中将插入函数结构， 单击占位符框并输入具体

50、函数数值即可。高中生数学集合与函数的公式定理口诀内容子交并补集，还有幂指对函数。性质奇偶与增减，观察图象最明显。复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。指数与对数函数，两者互为反函数。底数非1 的正数， 1 两边增减变故。函数定义域好求。分母不能等于0，偶次方根须非负，零和负数无对数; 正切函数角不直，余切函数角不平;其余函数实数集，多种情况求交集。两个互为反函数，单调性质都相同;图象互为轴对称，Y=X 是对称轴 ; 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -