《2022年2022年矩阵函数和函数矩阵 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年2022年矩阵函数和函数矩阵 .pdf（6页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、矩阵函数求导首先要区分两个概念：矩阵函数和函数矩阵（1）函数矩阵，简单地说就是多个一般函数的阵列，包括单变量和多变量函数。函数矩阵的求导和积分是作用在各个矩阵元素上，没有更多的规则。单变量函数矩阵的微分与积分考虑实变量 t 的实函数矩阵()()()ijm nX txt=，所有分量函数()ijxt 定义域相同。定义函数矩阵的微分与积分00()(),()().ttijijttddX txtXdxddxdx?=?函数矩阵的微分有以下性质：（1）()()()()()dddX tY tX tY tdtdtdt+=+；（2）()()()()()()()ddX tdY tX t Y tY tX tdtdtd
2、t=+；特殊情形（a）若 K 是常数矩阵，则()()()ddKX tKX tdtdt=；（b）若()X t 是方阵，则2()()()()()ddX tdX tXtX tX tdtdtdt=+；（3）()111()()()()ddX tXtXtXtdtdt=；（4）对任意的方阵 A 和时变量 t，恒有AtAtAtdeAee Adt=；（5）若 ABBA=，则ABBAABe ee ee+=。如果,A B 可交换，则许多三角不等式可以推广到矩阵上。如sin(),sin(2)AbA+等。参考文献：余鄂西，矩阵论，高等教育出版社。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 6 页 -（
3、2）矩阵函数，就是自变量为矩阵的函数映射；根据函数的自变量和因变量的形式可分为多种。矩阵函数的导数定义（向量导数）：映射:nmf，()()12(),(),()(),1.Tmiff xfxfxf xim=，定义映射的导数为一个mn的偏导数矩阵(),1.,1.iijjdf xDfim jndx?=?.例如dAxAdx=，?()()()(),Df xg xDf xDg x?+=+?()()()()()D f g xfg xg x?=?()()()()()(),TTTnmD fx g xgx f xfx g xf g?=+?()()TTTTTdx Axx AAxxAAdx=+=+定义（矩阵导数）：()
4、vec()()vec()dA XdA XdXdX有名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 6 页 -符号说明?d/dx(y)是一个向量，其第(i)个元素是dy(i)/dx?d/dx(y)是一个向量，其第(i)个元素是dy/dx(i)?d/dx(yT)是一个矩阵，其第(i,j)个元素是dy(j)/dx(i)?d/dx(Y)是一个矩阵，其第(i,j)个元素是dy(i,j)/dx?d/dX(y)是一个矩阵，其第(i,j)个元素是 dy/dx(i,j)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 6 页 -注意 Hermitian 转置不能应用，因为复共轭不可解析
5、，x,y 是向量，X，Y 是矩阵，x,y 是标量。在下面的表达中 A,B,C 是不依赖于 X的矩阵，a,b 是不依赖于 x 的向量，线性积?d/dx(AYB)=A*d/dx(Y)*Bod/dx(Ay)=A*d/dx(y)?d/dx(xTA)=Aod/dx(xT)=Iod/dx(xTa)=d/d x(aTx)=a?d/dX(aTXb)=abTod/dX(aTXa)=d/dX(aTXTa)=aaT?d/dX(aTXTb)=baT?d/dx(YZ)=Y *d/dx(Z)+d/dx(Y)*Z二次积?d/dx(Ax+b)TC(Dx+e)=ATC(Dx+e)+DTCT(Ax+b)od/dx(xTCx)=(
6、C+CT)x C:symmetric:d/dx(xTCx)=2Cx d/dx(xTx)=2xod/dx(Ax+b)T(Dx+e)=AT(Dx+e)+DT(Ax+b)d/dx(Ax+b)T(Ax+b)=2AT(Ax+b)oC:symmetric:d/dx(Ax+b)TC(A x+b)=2ATC(Ax+b)?d/dX(aTXTXb)=X(abT+baT)od/dX(aTXTXa)=2XaaT?d/dX(aTXTCXb)=CTXabT+CXbaTod/dX(aTXTCXa)=(C+CT)XaaToC:Symmetric d/dX(aTXTCXa)=2CXaaT?d/dX(Xa+b)TC(Xa+b)=
7、(C+CT)(Xa+b)aT三次积?d/dx(xTAxxT)=(A+AT)xxT+xTAxI逆?d/dx(Y-1)=-Y-1d/dx(Y)Y-1名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 6 页 -迹Note:matrix dimensions must result in an n*n argument for tr().?d/dX(tr(X)=I?d/dX(tr(Xk)=k(Xk-1)T?d/dX(tr(AXk)=SUMr=0:k-1(XrAXk-r-1)T?d/dX(tr(AX-1B)=-(X-1BAX-1)Tod/dX(tr(AX-1)=d/dX(tr(X-1A)=-
8、X-TATX-T?d/dX(tr(ATXBT)=d/dX(tr(BXTA)=ABod/dX(tr(XAT)=d/dX(tr(ATX)=d/dX(tr(XTA)=d/dX(tr(AXT)=A?d/dX(tr(AXBXT)=ATXBT+AXBod/dX(tr(XAXT)=X(A+AT)od/dX(tr(XTAX)=XT(A+AT)od/dX(tr(AXTX)=(A+AT)X?d/dX(tr(AXBX)=ATXTBT+BTXTAT?C:symmetric d/dX(tr(XTCX)-1A)=d/dX(tr(A(XTCX)-1)=-(CX(XTCX)-1)(A+AT)(XTCX)-1?B,C:symm
9、etric d/dX(tr(XTCX)-1(XTBX)=d/dX(tr(XTBX)(XTCX)-1)=-2(CX(XTCX)-1)XTBX(XTCX)-1+2BX(XTCX)-1?行列式?d/dX(det(X)=d/dX(det(XT)=det(X)*X-Tod/dX(det(AXB)=det(AXB)*X-Tod/dX(ln(det(AXB)=X-T?d/dX(det(Xk)=k*det(Xk)*X-Tod/dX(ln(det(Xk)=kX-T?Real d/dX(det(XTCX)=det(XTCX)*(C+CT)X(XTCX)-1oC:Real,Symmetric d/dX(det(XT
10、CX)=2det(XTCX)*CX(XTCX)-1?C:Real,Symmetricc d/dX(ln(det(XTCX)=2CX(XTCX)-1Jacobian如果 y 是 x 的函数，则dyT/d x 是 y 关于 x 的 Jacobian 矩阵。其行列式|dyT/d x|是表示了dy 和dx 的超体积比值.Jacobian行列式出现在变元积分中:Integral(f(y)d y)=Integral(f(y(x)|dyT/dx|d x).名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 6 页 -Hessian 矩阵如果 f 是 x 的函数，则对称矩阵d2f/d x2=d/d xT(df/d x)就是 f(x)的Hessian 矩阵。满足 df/d x=0 的 x 的值，当 Hessian 是正定、负定、不定时，就是相应的最小值、最大值、或者是鞍点。?d2/dx2(aTx)=0?d2/dx2(Ax+b)TC(Dx+e)=ATCD+DTCTA od2/dx2(xTCx)=C+CT d2/dx2(xTx)=2Iod2/dx2(Ax+b)T(Dx+e)=ATD+DTA d2/dx2(Ax+b)T(A x+b)=2ATAoC:symmetric:d2/dx2(Ax+b)TC(Ax+b)=2ATCA名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 6 页 -