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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载等比数列的前 n 项和（第一课时）一、教材分析1. 从在教材中的位置与作用来看等比数列的前 n 项和是数列这一章中的一个重要内容,从教材的编写次序上来看,等比数列的前 n 项和是第三章“ 数列” 第五节的内容,一方面它是“ 等差数列的前 n 项和”与“ 等比数列”内容的连续、与前面学习的函数等学问也有着亲密的联系,另一方面它又为进一步学习 “ 数列的极限” 等内容作预备；就学问的应用价值上来看,它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、 分期付款的有关运算等等,而且公式推导过程中所渗透的
2、类比、化归、 分类争论、 整体变换和方程等思想方法,都是同学今后学习和工作中必备的数学素养； 就内容的人文价值上来看,等比数列的前 n 项和公式的探究与推导需要同学观看、分析、归纳、猜想,有助于培育同学的创新思维和探究精神 的良好载体；2. 从同学认知角度来看, 是培育同学应用意识和数学才能从同学的思维特点看,很简洁把本节内容与等差数列前 n 项和从公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导不利因素是：本节公式的推导与等差数列前 n 项和公式的推导有着本质的不同,这对同学的思维是一个突破,另外,对于 q = 1 这一特别 情形,同学往往简洁忽视,特别是在后面使用的过程中简洁出错；
3、3. 学情分析教学对象是刚进入高中的同学,虽然具有肯定的分析问题和解决问题的才能,规律思维才能也初步形成,但由于年龄的缘由,对问题的分析缺乏深刻性和严谨性；4. 重点、难点 教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用教学难点：公式的推导方法和公式的敏捷运用公式推导所使用的“ 错位相减法” 是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一,它 包蕴了重要的数学思想,所以既是重点也是难点；二、目标分析1学问与技能目标：懂得等比数列的前n 项和公式的推导方法；把握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简洁问题；2. 过程与方法目标：通过公式的推导过程,培育同学猜想、分析、综合的思维才能,提高同学的建模
4、意识及探究问题、分析与解决问题的才能,体会公式探求过程中从特别到一般的思维方法,渗透方程思想、分类争论思想及转化思想,优化思维品质；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载3情感态度与价值观：通过经受对公式的探究,激发同学的求知欲,勉励同学大胆尝试、勇于探究、敢于创新,磨练思维品质,从中获得胜利的体验,感受思维的奇特美、结构的对称美、 形式的简洁美、数学的严谨美；用数学的观点看问题,可
5、以给出合理的说明,从而帮忙我们用科学的态度熟悉世界；三、教学方法与教学手段本节课属于新授课型,主要利用运算机和实物投影等帮助教学,采纳启示探究,合作学习,自主学习等的教学模式 . 四、教学过程分析一些所谓不行懂得的事就同学是认知的主体,也是教学活动的主体,设计教学过程必需遵循同学的认知规律,引导同学去经受学问的形成与进展过程,结合本节课的特点,我依据自主学习的教学模式来设计如下的教学过程, 目的是在教学过程中促使同学自主学习,形成自主学习的才能；1创设情境,提出问题培育自主学习的习惯和意识,在古印度,有个名叫西萨的人,创造了国际象棋,当时的印度国王大舍罕为称赞,对他说： 我可以满意你的任何要求
6、；西萨说：请给我棋盘的 64 个方格上, 第一格放 1 粒小麦,其次格放 2 粒,第三格放 4 粒,往后每一格都是前一格的两倍,直至第 64 格国王觉得太简洁了,就同意了他的要求；国王令宫廷数学家运算,结果出来后,国王大吃一惊为什么呢？大家想一下,这个国王能够满意宰相的要求吗？【老师提问】同学们,你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导同学写出麦粒总数带着这样的问题,同学会动手算了起来,他们想到用运算器依次算出各项的值,然后再求和 这时我对他们的这种思路赐予确定2同学探究,解决情境1 , 2, 22, , 263 是什么数列？有何特点？在确定他们的思路后,我接着问：应归结为什么数学问题呢？探讨 1
7、：设s 64 =1+ 2+ 2 + 2 + 2 3+ 2 63,记为（ 1）式,留意观看每一项的特点,有何联系？（同学会发觉,后一项都是前一项的 2 倍）探讨 2： 假如我们把每一项都乘以 2,就变成了它的后一项,（1）式两边同乘以 2 就有 2 s 64 = 2 + 2 + 2 + 2 3 + 2 63 + 2 64,记为（ 2）式比较（ 1）2 ）两式,你有什么发觉？【设计意图 】留出时间让同学充分地比较,等比数列前 n 项和的公式推导关键是变“ 加”为“ 减” ,在老师看来这是很明显的事,但在同学看来却是“ 不行思议” 的,因此教学中应着力在这儿做文章,从而培育同学的辩证思维才能解决情境
8、问题：经过比较、争论,同学发觉：（1）、（ 2）两式有很多相同的项,把两式相减,相同的项就可以消去了,得到：s 6464 21；老师强调指出：这就是错位相减法,并 第 2 页,共 6 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -要求同学纵观全过程,反思：为什么（学习必备欢迎下载2 呢？1）式两边要同乘以【设计意图 】经过繁难的运算之苦后,突然发觉上述解法,不禁惊呼：真是太简洁了,让同学在探究过程中,充分感受到胜利的情感体验,从
9、而增强学习数学的爱好和学好数学的 信心,同时也为推导一般等比数列前 n 项和供应了方法；3类比联想,解决问题这时我再顺势引导同学将结论一般化,设等比数列为an,公比为 q,如何求它的前n项和？让同学自主完成,然后对个别同学进行指导；一般等比数列前n 项和：S na 1a 2qa 31q2a n1na n.n1.即S na1a 1aa 1q2a 1q方法 1：错位相减法S na1a1 qa 1q2a1 qn2a 1qn1n1？ q=1 时是什么数列？此时s n=？qS na 1qa1 q2a 1q3a 1qn1a 1qn1qS na1a1 qna1 1qn1q这里的 q 能不能等于 1？等比数列
10、中的公比能不能为S na 1 1qnq11q得S na 11a 1qnna 1q1在同学推导完成之后,我再问：由 1qS na 1a1 qq【设计意图 】在老师的指导下,让同学从特别到一般,从已知到未知,步步深化,让学 生自己探究公式,从而体验到学习的开心和成就感；4争论沟通,延长拓展探究等比数列前n 项和公式,仍有其它方法吗？我们知道, sn2 s = a +a q+a q +n-1 +a q= a +qa +a q+n-2 +a q那么我们能否利用这个关系而求出Sn 呢？方法 2：提取公比q Sna 1a 1qa 1 q2a 1qn2a1qn1a1q（a 1a 1qa1qn2）a1q（S
11、na1 qn1）1qSna1a1 qn依据等比数列的定义又有a 2=a3=a4=an= q,能否联想到等比定理从而求出23a 1aaa n-1呢？方法 3：利用等比定理细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -a2a3a 4an1学习必备欢迎下载qa 1a2a 3a na2aa3anqSna1 1q S na 1anq2anaa1S nn1 【设计意图 】以疑导思,激发同学的探究欲望,营造一个让同学主动观
12、看、摸索、争论的氛围. 以上两种方法都可以化归到 S n a 1 qs n 1 , 这其实就是关于 S 的一个递推式, 递推数列有特别重要的争论价值,是争论性学习和课外拓展的极佳资源,它源于课本, 又高于课本,对同学的思维进展有促进作用 . 领悟数学应用价值,从特别到一般 , 从仿照到创新,有利于学生的学问迁移和才能提高；5巩固提高,深化熟悉（1）口答：在公比为 q 的等比数列an中, 并加强计如a 12,q1,就S n_,如a 11,q1,就S n_ 33如a = 15,a =96,求 q 及S 4,如a 311,S 341,求1a 及 q. 22（2）判定是非：124812n111 12n
13、（）12 2 n12222 32 n 1（）12如c0且c,就c2c4c6c2nc21c2n（）1c2【设计意图 】对公式的再熟悉,剖析公式中的基本量及结构特点,识记公式算才能的训练；6例题讲解,形成技能细心整理归纳 精选学习资料 例 1求和1aa2a3an 第 4 页,共 6 页 例 2求等比数列1,1,1,1,的第 5 项到第 10 项的和24816方法 1： 观看、发觉：a5a6a 10S 10S 4方法2： 此等比数列的连续项从第5 项到第10 项构成一个新的等比数列：首项为a516,公比为q2,项数为n6变式 1：求1 1 ,21,31, 41, 51的前 n 项和481632变式
14、2：求1,2,3,4,5的前 n 项和2481632【设计意图 】采纳变式教学设计题组,深化同学对公式的熟悉和懂得,通过直接套用公 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载式、变式运用公式、 争论公式特点这三个层次的问题解决,促进同学新的数学认知结构的形成通过以上形式,让全体同学都参加教学,以此培育同学自主学习的意识解题时,以学生分析为主,老师适时赐予点拨；7. 总结归纳,加深懂得以问题的形式显现,引导同学回忆公式、推导方法,勉励同学积
15、极回答,然后老师再从学问点及数学思想方法两方面总结；【设计意图 】以此培育同学的口头表达才能,归纳概括才能；8课后作业,分层练习必做：练习 3（1）习题 3.5 第 1 题选作：摸索题 1: 求和 x + 2x +3x 2 3+ + nx n.（2）画一个边长为 2cm 的正方形 , 再将这个正方形各边的中点相连得到第 2 个正方形 ,依此类推 ,这样一共画了 10 个正方形 , 求这 10 个正方形的面积的和；【设计意图 】布置弹性作业以使各个层次的同学都有所进展 的空间,便于同学开展自主学习；五、评判分析. 让学有余力的同学有摸索本节课通过三种推导方法的争论,使同学从不同的思维角度把握了等
16、比数列前 n 项和 公式错位相减：变加为减,等价转化；递推思想：纵横联系,揭示本质；等比定理：回来 定义, 自然淳朴 同学从中深刻地领悟到推导过程中所包蕴的数学思想,培育了同学思维的 深刻性、敏捷性、宽阔性、批判性同时通过精讲一题,发散一串的变式教学,使同学既巩 固了学问,又形成了技能,在此基础上,通过民主和谐的课堂氛围,培育了同学自主学习、合作沟通的学习习惯,也培育了同学勇于探究、不断创新的思维品质,形成学习才能；六、教学设计说明 1情境设置生活化 . 本着新课程的教学理念,考虑到高一同学的心理特点以及初、高中教学的连接,让同学, 采纳故事的形式创设问题情形,意在营造和谐、积极的 同学初步明
17、白“ 数学来源于生活”学习气氛,激发同学主动探究的欲望；2问题探究活动化教学中本着以同学进展为本的理念,充分给同学想的时间、说的机会以及展现思维过程的舞台,通过他们自主学习、合作探究, 展现同学解决问题的思想方法,共享学习成果,体验数学学习胜利的欢乐 . 通过师生之间不断合作和沟通,进展同学的数学观看才能和语言表达才能,培育同学思维的发散性和严谨性；3辨析质疑结构化在懂得公式的基础上, 准时进行正反两方面的“ 短、平、快” 填空和判定是非练习. 通过 第 5 页,共 6 页 - - - - - - - - - 总结、辨析和反思, 强化了公式的结构特点,促进同学主动建构,有助于同学形成学问模块,
18、细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载优化学问体系；4巩固提高梯度化例题通过公式的正用和逆用进一步提高同学运用学问的才能；由教科书中的例题改编而成,并进行适当的变式 , 可以提高同学的模式识别的才能,培育同学思维的深刻性和敏捷性；5思路拓广数学化从整理学问提升到强化方法,由课内巩固延长到课外摸索,变“ 学问本位” 为“ 同学本 位” ,使数学学习成为提高同学素养的有效途径；以生活中的实例作为摸索,让同学熟悉到 数学来源于生活并应用于生活,生活中到处有数学6作业布置弹性化通过布置弹性作业, 为学有余力的同学供应进一步进展的空间,有利于丰富同学的学问,拓展同学的视野,提高同学的数学素养细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - -