2022年中考数学专题复习第二十一讲矩形菱形正方形.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载矩形菱形 正方形20XX 年中考数学专题复习其次十一讲【基础学问回忆】一、矩形：1、定义：有一个角是 2、矩形的性质：矩形的四个角都 矩形的对角线 3、矩形的判定：用定义判定角的平行四边形叫做矩形有三个角是直角的是矩形又是对称对角线相等的是矩形【名师提示： 1、矩形是对称到对称中心是图形对称轴有条等的2、矩形被它的对角线分成四个全等的 三角形3、矩形中常见题目是对角线相交成 三角形、等边三角形等学问解决问题】菱形：三角形和两个全 60 0或 120 0 角时,利用直角1、定义：有一组邻边 的平行四边形叫做菱形 2、菱形的性质：菱

2、形的四条边都 菱形的对角线 且每条对角线 3、菱形的判定：用定义判定对角线相互垂直的是菱形对称图形, 它有条四条边都相等的是菱形【名师提示： 1、菱形即是对称图形,也是对称轴,分别是 2、菱形被对角线分成四个全等的 三角形和两对全等的 三角形 3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式运算,也可以用两对角 线积的 来运算 4、菱形常见题目是内角为 120 0或 60 0 时,利用等边三角形或直角 三角形学问洁具的题目】三、正方形：1、定义：有一组邻边相等的 正方形2、性质：正方形四个角都 正方形四边条都 正方形两对角线是正方形, 或有一个角是直角的是都是角,、且每条对角线平分一组内角 3、判定：先

3、证是矩形,再证 先证是菱形,再证【名师提示：菱形、正方形具有平行四边形的全部性质,正方形具有以上特殊 四边形的全部性质；这四者之间的关系可表示为：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 正方形也即是学习必备欢迎下载对称图形,有条对称轴对称图形,又是几种特殊四边形的性质和判定都是从、三个方面来看的,要留意它们的和联系】【重点考点例析】考点一：和矩形有关的折量问题例 1 （ 2022.肇庆）如图,四边形ABCD 是矩形,对角线AC 、BD 相交于点 O,BE AC交 DC 的延长线于点E（1）求证： BD=BE ；（2）如

4、DBC=30 , BO=4 ,求四边形ABED 的面积ABEC 是平行四边形,思路分析：（1）依据矩形的对角线相等可得AC=BD ,然后证明四边形再依据平行四边形的对边相等可得AC=BE ,从而得证；30 角所对的直角边等于斜边的（2）依据矩形的对角线相互平分求出BD 的长度,再依据一半求出 CD 的长度,然后利用勾股定理求出 即可得解BC 的长度,再利用梯形的面积公式列式运算解答：（1）证明：四边形 ABCD 是矩形,AC=BD ,AB CD ,BE AC ,四边形 ABEC 是平行四边形,AC=BE ,BD=BE ；（2）解：在矩形 ABCD 中, BO=4,BD=2BO=2 4=8, D

5、BC=30 ,名师归纳总结 CD=1 2BD=1 2 8=4,3 ,30 角第 2 页,共 36 页AB=CD=4 ,DE=CD+CE=CD+AB=4+4=8,在 Rt BCD 中, BC= BD2-CD22 8 -42=4四边形 ABED 的面积 =1 2（4+8） 43 =243 平行四边形的判定与性质,点评： 此题考查了矩形的对角线相互平分且相等的性质,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载所对的直角边等于斜边的一半的性质,熟记性质是解题的关键对应训练1（ 2022.哈尔滨）如图,四边形 ABCD 是矩形,点 E 在线段 CB 的延

6、长线上,连接 DE 交AB 于点 F,AED=2 CED ,点 G 是 DF 的中点, 如 BE=1,AG=4 ,就 AB 的长为115考点：矩形的性质；勾股定理专题：运算题分析：依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AG=DG ,然后依据等边对等角的性质可得 ADG= DAG ,再结合两直线平行,内错角相等可得ADG= CED,再依据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得AGE=2 ADG ,从而得到AED=AGR ,再利用等角对等边的性质得到AE=AG ,然后利用勾股定理列式运算即可得解解：四边形ABCD 是矩形,点G 是 DF 的中点,AG=DG , ADG= DAG ,

7、AD BC, ADG= CED, AGE= ADG+ DAG=2 CED, AED=2 CED , AGE= AED ,AE=AG=4 ,在 Rt ABE 中, AB= AE 2-BE 2 4 -1 2 2 = 15 故答案为：15 点评： 此题考查了矩形的性质,等边对等角的性质,等角对等边的性质,以及勾股定理的应 用,求出 AE=AG 是解题的关键考点二：和菱形有关的对角线、周长、面积的运算问题例 2 （2022.衡阳）如图,菱形ABCD 的周长为 20cm,且 tanABD=3 4,就菱形 ABCD的面积为cm2思路分析： 连接 AC 交 BD 于点 O,就可设 BO=3x ,AO=4x

8、,继而在 RT ABO 中利用勾股名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载定理求出 AB ,结合菱形的周长为20cm 可得出 x 的值,再由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得出答案解答：解：连接 AC 交 BD 于点 O,就 ACBD ,AO=OC ,BO=DO ,设 BO=3x ,AO=4x ,就 AB=5x ,又菱形 ABCD 的周长为 20cm,4 5x=20cm ,解得： x=1 ,故可得 AO=4 ,BO=3 ,AC=2AO=8cm ,BD=2BO=6cm ,故可得1 2AC BD=24cm

9、2 把握菱形的对角线相互垂直且平分的性质,及菱形的面积等故答案为： 24点评： 此题考查了菱形的性质,于对角线乘积的一半是解答此题的关键对应训练2（ 2022.山西）如图,已知菱形ABCD的对角线AC、 BD 的长分别为6cm、8cm,AE BC 于点 E,就 AE 的长是（）D24 5cm C48 5cm A53 cm B25 cm 2考点：菱形的性质；勾股定理分析：依据菱形的性质得出BO 、CO 的长,在 RT BOC 中求出 BC,利用菱形面积等于对角线乘积的一半, 也等于 BC AE,可得出 AE 的长度 解答：解：四边形 ABCD 是菱形,CO=1 AC=3cm ,BO=1 BD=4

10、cm ,AO BO,2 2BC= AO +BO 2 2 =5cm,S 菱形 ABCD=BD .AC 2 =1 6 8=24cm2,2S 菱形 ABCD=BC AD ,BC AE=24 ,AE=24 5cm,应选 D名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载点评： 此题考查了菱形的性质,也涉及了勾股定理,要求我们把握菱形的面积的两种表示方 法,及菱形的对角线相互垂直且平分考点三：和正方形有关的证明题 例 3 （2022.黄冈）如图,在正方形 ABCD 中,对角线 AC 、BD 相交于点 O,E、F 分别 在

11、 OD、 OC 上,且 DE=CF ,连接 DF、AE ,AE 的延长线交 DF 于点 M 求证： AM DF考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质专题：证明题分析：依据 DE=CF ,可得出 OE=OF ,继而证明AOE DOF ,得出 OAE= ODF,然 后利用等角代换可得出DME=90 ,即得出了结论解答：证明：ABCD 是正方形,OD=OC ,又 DE=CF ,OD-DE=OC-CF ,即 OF=OE,AO=DO 在 RT AOE 和 RT DOF 中,AOD= DOF,OE=OF AOE DOF , OAE= ODF, OAE+ AEO=90 , AEO= DEM , ODF+

12、 DEM=90 ,即可得 AM DF点评： 此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质,解答此题的关键是通过全等的证明得出 OAE= ODF ,利用等角代换解题对应训练12（2022.贵阳）如图,在正方形ABCD 中,等边三角形AEF 的顶点 E、F 分别在 BC 和CD 上（1） 求证： CE=CF ；名师归纳总结 （2）如等边三角形AEF 的边长为 2,求正方形ABCD 的周长第 5 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形分析：（1）依据正

13、方形可知 AB=AD ,由等边三角形可知 AE=AF ,于是可以证明出ABE ADF ,即可得出 CE=CF；（2）连接 AC,交 EF 与 G 点,由三角形 AEF 是等边三角形,三角形 ECF 是等腰直角三角形,于是可知 AC EF,求出 EG=1,设 BE=x,利用勾股定理求出 x,即可求出 BC 的上,进而求出正方形的周长解答：（1）证明：四边形 ABCD 是正方形,AB=AD , AEF 是等边三角形,AE=AF ,在 Rt ABE 和 Rt ADF 中, AB=AD AE=AF ,Rt ABE Rt ADF ,CE=CF ,（2）解：连接 AC ,交 EF 于 G 点, AEF 是

14、等边三角形,ECF 是等腰直角三角形,AC EF,在 Rt AGE 中, EG=sin30 AE=1 2 2=1,等边三角形的性质和等腰三角EC=2 ,设 BE=x ,就 AB=x+2 ,在 Rt ABE 中, AB2+BE2=AE2,即（ x+2 ）2+x2=4,解得 x=26,2AB=262 =226,2正方形 ABCD 的周长为 4AB= 2 26 点评： 此题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,形的性质, 解答此题的关键是对正方形和三角形的性质的娴熟运用,比较不错的试题此题难度不大, 是一道名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 36 页精选学习资料 - - -

15、 - - - - - - 学习必备 欢迎下载考点四：四边形综合性题目例 4 （2022.江西）如图,正方形 ABCD 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合,将AEF 绕顶点 A 旋转,在旋转过程中,当 BE=DF 时, BAE 的大小可以是715 或 16515 或 165 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质专题：分类讨论分析：利用正方形的性质和等边三角形的性质证明ABE ADF （SSS）,有相像三角形的性质和已知条件即可求出当BE=DF 时, BAE 的大小,应当留意的是,正三角形AEF可以再正方形的内部也可以在正方形的外部,所以要分两种情形分别求解解答：解：当正三角形

16、 AEF 在正方形 ABCD 的内部时,如图 1,正方形 ABCD 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合,当 BE=DF 时,AB=AD BE=DF ,AE=AF ABE ADF （ SSS）, BAE= FAD , EAF=60 , BAE+ FAE=30 , BAE= FAD=15 ,当正三角形 AEF 在正方形 ABCD 的外部时正方形 ABCD 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合,当 BE=DF 时,名师归纳总结 AB=AD BE=DF AE=AF,第 7 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 ABE ADF

17、（ SSS）, BAE= FAD , EAF=60 , BAE= （360 -90 -60 ）1+60 =165 ,2 BAE= FAD=165 故答案为： 15 或 165 点评： 此题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、旋转的性质以及全等三角形的判定和全等三角形的性质和分类争论的数学思想,题目的综合性不小对应训练 4（2022.铜仁地区）以边长为 2 的正方形的中心 O 为端点,引两条相互垂直的射线,分别与正方形的边交于 A 、B 两点,就线段 AB 的最小值是42考点：正方形的性质； 垂线段最短； 全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线专题：证明题分析：证COA DOB ,推出

18、等腰直角三角形 AOB ,求出 AB= 2 OA ,得出要使 AB 最小,只要 OA 取最小值即可,当 OA CD 时, OA 最小,求出 OA 的 值即可解答：解：四边形 CDEF 是正方形, OCD= ODB=45 , COD=90 , OC=OD ,AO OB , AOB=90 , CAO+ AOD=90 , AOD+ DOB=90 , COA= DOB ,在 COA 和 DOB 中OCA= ODB, OC=OD DOBAOC= COA DOB ,OA=OB , AOB=90 , AOB 是等腰直角三角形,名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 36 页精选学习资料 -

19、- - - - - - - - 由勾股定理得：AB= 学习必备欢迎下载2 2OA +OB = 2 OA ,要使 AB 最小,只要 OA 取最小值即可,依据垂线段最短,OACD 时, OA 最小,正方形 CDEF ,FCCD ,OD=OF ,CA=DA ,OA=1 2CF=1,正方形的性质,垂线段最短等学问即 AB=2 ,故答案为：2 点评： 此题考查了勾股定理,全等三角形的性质和判定,点的应用,关键是求出AB=2OA 和得出 OA CD 时 OA 最小,题目具有肯定的代表性,有肯定的难度【聚焦山东中考】2（ 2022.青岛）已知：如图,四边形ABCD 的对角线 AC、 BD 交于点 O,BEA

20、C 于 E,名师归纳总结 DFAC 于 F,点 O 既是 AC 的中点,又是EF 的中点第 9 页,共 36 页（1）求证：BOE DOF ；（2）如 OA=1 2BD ,就四边形ABCD 是什么特殊四边形？说明理由- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质分析：（1）第一依据垂直可得BEO= DFO=90 , 再由点 O 是 EF 的中点可得 OE=OF ,再加上对顶角DOF= BOE ,可利用 ASA 证明 BOE DOF ；AO=CO 可得四边形 ABCD 是平（2）第一依据BOE DOF 可得

21、DO=BO ,再加上条件 行四边形,再证明 DB=AC ,可依据对角线相等的平行四边形是矩形证出结论解答：（1）证明： BEAC DF AC, BEO= DFO=90 ,点 O 是 EF 的中点,OE=OF ,又 DOF= BOE , BOE DOF（ ASA ）；（2）解：四边形 ABCD 是矩形理由如下： BOE DOF,OB=OD ,又 OA=OC ,四边形 ABCD 是平行四边形,OA=1 2BD ,OA=1 2AC ,BD=AC ,.ABCD 是矩形点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质,以及矩形的判定, 关键是娴熟把握矩形的判定定理： 矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形

22、是矩形；有三个角是直角的四边 形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形（或“ 对角线相互平分且相等的四边形是矩 形” ）3（ 2022.威海）如图,在.ABCD 中, AE,CF 分别是 BAD 和 BCD 的平分线,添加一个条件,仍无法判定四边形 AECF 为菱形的是（）AAE=AF BEF AC C B=60 DAC 是 EAF 的平分线考点：菱形的判定； 平行四边形的性质分析：依据平行四边形性质推出B=D, DAB=DCB ,AB=CD ,AD=BC ,求出 BAE= DCF,证 ABE CDF,推出 AE=CF ,BE=DF ,求出 AF=CE ,得出四边形AECF 是平行四边形,再依据

23、菱形的判定判定即可解答：解：四边形 ABCD 是平行四边形,名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 B=D, DAB= DCB ,AB=CD ,AD=BC ,AE ,CF 分别是 BAD 和 BCD 的平分线, DCF=1 2DCB , BAE=1 2BAD , BAE= DCF,在 ABE 和 CDF 中D= B AB=CD DCF= BAE , ABE CDF,AE=CF ,BE=DF ,AD=BC ,AF=CE ,四边形 AECF 是平行四边形,A、四边形 AECF 是平行四边形,AE=AF

24、,平行四边形 AECF 是菱形,故本选项正确；B、 EFAC,四边形 AECF 是平行四边形,平行四边形 AECF 是菱形,故本选项正确；C、依据 B=60 和平行四边形AECF 不能推出四边形是菱形,故本选项错误；D、四边形 AECF 是平行四边形,AF BC, FAC=ACE ,AC 平分 EAF , FAC=EAC , EAC= ECA ,AE=EC ,四边形 AECF 是平行四边形,四边形 AECF 是菱形,故本选项正确；应选 C点评：此题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定、全等三角形的性质和判 定、平行线的性质等学问点,主要考查同学的推理才能4（ 2022.聊城）如图,矩形 A

25、BCD 的对角线相交于点 O,DE AC,CE BD求证：四边形 OCED 是菱形考点：菱形的判定；矩形的性质专题：证明题分析：第一依据两对边相互平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED 是平行四边形,再依据矩形的性质可得 OC=OD ,即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论解答：证明：DE AC,CE BD ,四边形 OCED 是平行四边形,四边形 ABCD 是矩形,OC=OD ,名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载四边形 OCED 是菱形点评：此题主要考查了菱形的判定,矩形的性质,

26、 关键是把握菱形的判定方法：菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线相互垂直的平行四边形是菱形5（ 2022.济宁）如图, AD 是 ABC 的角平分线,过点 AC、AB 于点 E 和 F（1）在图中画出线段 DE 和 DF；D 作 DE AB ,DF AC ,分别交（2）连接 EF,就线段 AD 和 EF 相互垂直平分,这是为什么？考点：菱形的判定与性质；作图复杂作图分析：（1）依据题目要求画出线段 DE、DF 即可；（2）第一证明四边形 AEDF 是平行四边形,再证明EAD= EDA ,依据等角对等边可得EA=ED ,由有一组邻边相等的平行四边形是菱形可

27、证明四边形 的性质可得线段 AD 和 EF 相互垂直平分解答：解（ 1）如下列图；（2） DE AB ,DF AC ,四边形 AEDF 是平行四边形,AD 是 ABC 的角平分线, FAD= EAD ,AB DE, FAD= EDA , EAD= EDA ,EA=ED ,平行四边形 AEDF 是菱形,AD 与 EF 相互垂直平分AEDF 是菱形,再依据菱形点评： 此题主要考查了画平行线,菱形的判定与性质,关键是把握菱形的判定方法,判定四 边形为菱形可以结合菱形的性质证出线段相等,角相等,线段相互垂直且平分【备考真题过关】一、挑选题名师归纳总结 1（2022.南通）如图,矩形 ABCD 的对角线

28、 AC=8cm ,AOD=120 ,就 AB 的长为（）第 12 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载A 3cm B2cm C2 3 D4cm 考点：矩形的性质；等边三角形的判定与性质分析：依据矩 形的对角线相等且相互平分可得AO=BO=1 2AC ,再依据邻角互补求出AOB的度数,然后得到AOB 是等边三角形,再依据等边三角形的性质即可得解解：在矩形ABCD 中, AO=BO=1 2AC=4cm , AOD=120 , AOB=180 -120 =60 , AOB 是等边三角形,AB=AO=4cm 应选 D点评：此题考

29、查了矩形的性质,等边三角形的判定与性质,判定出AOB是等边三角形是解题的关键2.（2022.黄冈）如顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是矩形,就四边形ABCD肯定是（）B菱形A矩形C对角线相互垂直的四边形D对角线相等的四边形考点：矩形的判定；三角形中位线定理分析： 此题要依据矩形的性质和三角形中位线定理求解；第一依据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等,那么其必为平行四边形,如所得四边形是矩形,那么邻边互相垂直,故原四边形的对角线必相互垂直,由此得解解：已知：如右图,四边形 EFGH 是矩形,且 E、 F、G、H 分别是 AB 、BC、CD、 AD 的中点,求证：四边形

30、ABCD 是对角线垂直的四边形证明：由于 E、F、G、H 分别是 AB 、BC 、CD 、AD 的中点,依据三角形中位线定理得：EH FG BD ,EF AC HG；四边形 EFGH 是矩形,即 EFFG,AC BD ,应选 C名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载点评：此题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理,形的中位线定懂得答解题的关键是构造三角形利用三角3（ 2022.大连）如图,菱形ABCD 中, AC=8, BD=6 ,就菱形的周长是（）A20 B 24 C28 D40 3考点：菱形的性

31、质；勾股定理专题：数形结合分析：据菱形对角线相互垂直平分的性质,可以求得BO=OD ,AO=OC ,在 Rt AOD 中,依据勾股定理可以求得AB 的长,即可求菱形ABCD 的周长解：菱形对角线相互垂直平分,BO=OD=3 ,AO=OC=4 ,AB= AO2BO2=5,故菱形的周长为20应选 A 点评： 此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用,考查了菱形各边长相等的性质,此题中依据勾股定理运算 AB 的长是解题的关键4（ 2022.张家界）顺次连接矩形四边中点所得的四边形肯定是（）A正方形 B矩形 C菱形 D等腰梯形 考点：菱形的判定；三角形中位线定理；矩形的性质分析： 由于题中给出的条件是中

32、点,所以可利用三角形中位线性质,以及矩形对角线相等去证明四条边都相等,从而说明是一个菱形解答：解：连接 AC、BD ,在 ABD 中,AH=HD ,AE=EB EH=1 2BD ,AC ,同理 FG=1 2BD ,HG=1 2AC,EF=1 2又在矩形ABCD 中, AC=BD ,EH=HG=GF=FE ,四边形 EFGH 为菱形应选 C名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5（ 2022.丹东）如图,菱形ABCD学习必备欢迎下载AC 、BD 相交于 O 点, E 是的周长为24cm,对角线AD 的中点,连接 OE,

33、就线段 OE 的长等于（）A3cm B4cm C2.5cm D2cm 考点：菱形的性质；三角形中位线定理分析：先求出菱形的边长AB ,再依据菱形的对角线相互平分判定出OE 是 ABD 的中位线,然后依据三角形的中位线等于第三边的一半解答解：菱形 ABCD 的周长为 24cm,边长 AB=24 4=6cm,对角线 AC 、BD 相交于 O 点,BO=DO ,又 E 是 AD 的中点,OE 是 ABD 的中位线,OE=1 2AB=1 2 6=3cm应选 A 点评：此题考查了菱形的对角线相互平分的性质,三角形的中位线定理,是基础题,求出OE 等于菱形边长的一半是解题的关键6（ 2022.泸州）如图,

34、菱形ABCD 的两条对角线相交于O,如 AC=6 ,BD=4 ,就菱形的周长是（）13D 23A24 B16 C4考点：菱形的性质；勾股定理名师归纳总结 分析：由菱形ABCD 的两条对角线相交于O,AC=6 ,BD=4 ,即可得AC BD,求得OA第 15 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载与 OB 的长,然后利用勾股定理,求得AB 的长,继而求得答案解答：解：四边形ABCD 是菱形, AC=6 ,BD=4 ,AC BD ,OA=1 2AC=3 , OB=1 2D=2 ,AB=BC=CD=AD在 Rt AOB 中, A

35、B=OA +OB = 13 ,2 2菱形的周长是：4AB=413 应选 C点评：此题考查了菱形的性质与勾股定理此题难度不大,留意把握数形结合思想的应用7（ 2022.恩施州）如图,菱形ABCD 和菱形 ECGF 的边长分别为2 和 3, A=120 ,就图中阴影部分的面积是（）A3 B2 C 3 D 2 考点：菱形的性质；解直角三角形专题：常规题型分析： 设 BF、CE 相交于点 M ,依据相像三角形对应边成比例列式求出 CG 的长度, 从而得到 DG 的长度, 再求出菱形 ABCD 边 CD 上的高与菱形 ECGF 边 CE 上的高, 然后依据阴影部分的面积 =S BDM +S DFM ,列

36、式运算即可得解解答：解：如图,设 BF、CE 相交于点 M ,菱形 ABCD 和菱形 ECGF 的边长分别为 2 和 3, BCM BGF,CM GFBC BG,即CM2233解得 CM=1.2 ,DM=2-1.2=0.8 , A=120 , ABC=180 -120 =60 ,名师归纳总结 菱形 ABCD 边 CD 上的高为 2sin60 =233 33,第 16 页,共 36 页2菱形 ECGF 边 CE 上的高为 3sin60 =33 2,2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 阴影部分面积学习必备欢迎下载= 3 =S BDM +S DFM=1 2

37、0.83 +1 2 0.83 3 2应选 A 点评： 此题考查了菱形的性质,解直角三角形,把阴影部分分成两个三角形的面积,然后利用相像三角形对应边成比例求出 CM 的长度是解题的关键8（2022.贵港） 如图, 在菱形 ABCD 中,AB=BD ,点 E、F 分别在 BC、CD 上,且 BE=CF,连接 BF、DE 交于点 M ,延长 ED 到 H 使 DH=BM ,连接 AM ,AH ,就以下四个结论： BDF DCE ； BMD=120 ； AMH 是等边三角形；S四边形 ABCD = 3AM24其中正确结论的个数是（）A1 B 2 C3 D4 考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等

38、边三角形的判定与性质分析：依据菱形的四条边都相等,先判定ABD 是等边三角形,再依据菱形的性质可得BDF= C=60 ,再求出 DF=CE ,然后利用“ 边角边” 即可证明BDF DCE,从而判定正确；依据全等三角形对应角相等可得DBF= EDC ,然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可以求出DMF= BDC=60 ,再依据平角等于180 即可求出 BMD=120 ,从而判定正确；依据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及平行线的性质求出ABM= ADH ,再利用“ 边角边”证明 ABM 和 ADH 全等,依据全等三角形对应边相等可得 AH=AM ,对应角相等可得BA

39、M= DAH ,然后求出MAH= BAD=60 ,从而判定出AMH 是等边三角形,判定出正确；依据全等三角形的面积相等可得AMH 的面积等于四边形 ABMD 的面积,然后判定出错误解：在菱形 ABCD 中, AB=BD ,AB=BD=AD, ABD 是等边三角形,名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 依据菱形的性质可得学习必备欢迎下载BDF= C=60 ,BE=CF ,BC-BE=CD-CF ,即 CE=DF ,CE=DF 在 BDF 和 DCE 中,BDF= C=60,BD=CD BDF DCE （SAS）,故小题正确； DBF= EDC , DMF= DBF+ BDE= EDC+ BDE= BDC=60 , BMD=180 -DMF=180 -60 =120 ,故小题正确； DEB= EDC+ C=EDC+60 , ABM= ABD+ DB