《2022年圆锥曲线解题技巧和方法综合4.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年圆锥曲线解题技巧和方法综合4.docx（52页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：（1）中点弦问题x2,y2具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为x1,y 1,代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要留意斜率不存在的请款争论） ,消去四个参数；2 2如：（1）x2 y2 1 a b 0 与直线相交于 A、 B,设弦 AB 中点为 Mx 0,y0,就有a bx 02 y 02 k 0；a b2 2（2）x2 y2 1 a 0 , b 0 与直线 l 相交于 A、B,设弦 AB 中点为 Mx0,y0就有a bx 0 y 02
2、2 k 0a b（3）y 2=2px（ p0）与直线 l 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 Mx 0,y0,就有 2y0k=2p,即 y0k=p. 22 y典型例题 给定双曲线 x 1 ；过 A（2,1）的直线与双曲线交于两点 P1 及 P2,2求线段 P1 P2 的中点 P 的轨迹方程；（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点F1、 F2构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥；名师归纳总结 典 型 例 题设Px,y为 椭圆x a2y21 上 任 一点,F 1c , , F 2 , 为焦 点,第 1 页,共 29 页2b2PF F2,PF F 1；- - - - - - -精选学
3、习资料 - - - - - - - - - （1）求证离心率esin优秀教案欢迎下载sin；sin（2）求 |PF 13 |PF 2| 3 的最值；（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式、 根与系数的关系、求根公式等来处理,应特殊留意数形结合的思想,通过图形的直观性帮忙分析解决问题,假如直线过椭圆的焦点,结合三大曲线的定义去解；典型例题抛物线方程y2p x1 p0 ,直线xyt与 轴的交点在抛物线准线的右边；（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A、B,且 OAOB,求 p 关于 t 的函数
4、 ft的表达式；（4）圆锥曲线的相关最值（范畴）问题 圆锥曲线中的有关最值（范畴）问题,常用代数法和几何法解决；如命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决；如命题的条件和结论表达明确的函数关系式,就可建立目标函数（通常利用二次函 数,三角函数,均值不等式）求最值；（ 1）,可以设法得到关于a 的不等式,通过解不等式求出a 的范畴,即： “ 求范畴,找不等式 ” ；或者将 a 表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出a 的范畴；对于（ 2）首先要把NAB的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即：“ 最值问题,函数思想” ；最值问题的处理思路：1、建立目标函数；用坐
5、标表示距离,用方程消参转化为一元二次函数的最值问题,关 键是由方程求 x、y 的范畴；2、数形结合,用化曲为直的转化思想；3、利用判别式,对于二次函数求最值,往往由条件建立二次方程,用判别式求最值；4、借助均值不等式求最值；典型例题已知抛物线y2=2pxp0,过 M（a,0）且斜率为 1 的直线 L 与抛物线交于不同的两点A、B,|AB| 2p （1）求 a 的取值范畴；（2）如线段 AB 的垂直平分线交x 轴于点 N,求 NAB 面积的最大值；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载（5）求曲线的方程
6、问题1曲线的外形已知-这类问题一般可用待定系数法解决；典型例题已知直线 L 过原点,抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上；如点 A（-1,0）和点 B（ 0,8）关于 L的对称点都在 C上,求直线 L 和抛物线 C 的方程；2曲线的外形未知-求轨迹方程典型例题已知直角坐标平面上点Q（2,0）和圆 C：x2+y 2=1, 动N Q M 点 M 到圆 C的切线长与 |MQ| 的比等于常数（0）,求动点 M 的轨迹方程,并说明它是什么曲线；O （6） 存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线,求这两直线的交点,使这交点在圆锥曲线形
7、内；解决）（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来典型例题m已知椭圆C 的方程x2y21 ,试确定m 的取值范畴,使得对于直线43y4x,椭圆 C上有不同两点关于直线对称（7）两线段垂直问题名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案k 1欢迎下载y 1y21来处理或用向量的坐标圆锥曲线两焦半径相互垂直问题,常用k 2x 1x2运算来处理；典型例题已知直线 l 的斜率为 k ,且过点 P2 0 ,抛物线 C y24x1 ,直线 l 与抛物线 C有两个不同的交点（如图）；（1）求 k 的取值范畴；（2）直线 l 的倾斜角
8、为何值时, A、B 与抛物线 C 的焦点连线相互垂直；四、解题的技巧方面：在教学中, 同学普遍觉得解析几何问题的运算量较大；事实上, 假如我们能够充分利用 几何图形、韦达定理、曲线系方程,以及运用“ 设而不求” 的策略,往往能够削减运算量；下面举例说明：（1）充分利用几何图形 解析几何的争论对象就是几何图形及其性质,所以在处懂得析几何问题时,除了运用代 数方程外,充分挖掘几何条件,并结合平面几何学问,这往往能削减运算量；典型例题设直线 3 x4ym0与圆 x2y2x2y0 相交于 P、Q 两点, O 为坐标原点,如OP OQ ,求 m的值；（2） 充分利用韦达定理及“ 设而不求” 的策略我们常
9、常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到；x1相交于 P、Q 两点,典型例题已知中心在原点O,焦点在 y 轴上的椭圆与直线y且 OP OQ , |PQ|10,求此椭圆方程；2（3） 充分利用曲线系方程 利用曲线系方程可以防止求曲线的交点,因此也可以削减运算；名师归纳总结 典型例题求经过两已知圆C 1：x2y24x2y0和 C 2：x2y22y40 的第 4 页,共 29 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 交点,且圆心在直线l ： 2x4y优秀教案欢迎下载10上的圆的方程；（4）充分利用椭圆的参数方程椭
10、圆的参数方程涉及到正、余弦,利用正、余弦的有界性, 可以解决相关的求最值的问题这也是我们常说的三角代换法；典型例题P 为椭圆x2y21上一动点, A 为长轴的右端点,B 为短轴的上端点,求四a2b2边形 OAPB面积的最大值及此时点P的坐标；（5）线段长的几种简便运算方法 充分利用现成结果,削减运算过程一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线方程ykxb 代入圆锥曲线方程中,得到型如ax2bxc0的方程,方程的两根设为x A, xB,判别式为 ,就 |AB |1k2 |xAx B|1k2|,如直接用结论,能削减配方、开方等运算a过程；例求直线 xy10 被椭圆 x24y216
11、所截得的线段AB 的长； 结合图形的特殊位置关系,削减运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合图形运用圆锥曲线的定义,可回避复杂运算；|F2例|2 F1 、 F2 是椭圆x 25y21 的两个焦点, AB是经过 F1 的弦,如|AB|8 ,求值9A|F2B| 利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离名师归纳总结 例点 A（3,2）为定点, 点 F 是抛物线 y24x的焦点, 点 P在抛物线 y24x 上第 5 页,共 29 页移动,如 |PA| |PF 取得最小值,求点P 的坐标；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -
12、优秀教案 欢迎下载圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、学问储备：1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式；（2）与直线相关的重要内容倾斜角与斜率ktan,0,By 02C 夹 角 公 式 ： 点 到 直 线 的 距 离dAx 02 ABtank2k 11k k 1（3）弦长公式直线 yk2kxb 上两点A x 1,y 1,B x 2,y 间的距离：AB1k2x 1x 21x 1x 224 x x 2或AB11y 1y 2k2（4）两条直线的位置关系 1l2k k =-1 l1/l2k1k2且b 1b 22、圆锥曲线方程及性质 1、椭圆的方程的形式有几种？
13、（三种形式）标准方程：x2y21m0,n0 且mn2 amn距离式方程：xc 22 yxc 2y2参数方程：xacos ,ybsin2、双曲线的方程的形式有两种名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 标准方程：x2y21优秀教案欢迎下载m n0mn距离式方程：|xc2y2xc 22 y| 2 a3、三种圆锥曲线的通径你记得吗？椭圆：2 ba2；双曲线：2 b2；抛物线：2pa4、圆锥曲线的定义你记清晰了吗？如：已知F 、F2是椭圆x2y21的两个焦点,平面内一个动点M 满43足MF 1MF22就动点 M 的轨迹是（）A、
14、双曲线； B、双曲线的一支； C、两条射线； D、一条射线5、焦点三角形面积公式：P 在椭圆上时, SF PF 12b 2 tan2ey 0P 在双曲线上时, SF PF 1 2b 2 cot2（其中F PF 2,cos|PF 12 |PF 22 |4 c2,PF 1PF 2|PF 1|PF 2|cos）|PF 1| |PF 26、记住焦半径公式：（1）椭圆焦点在x轴上时为aex 0;焦点在 y轴上时为a,可简记为“ 左加右减,上加下减”；（2）双曲线焦点在x 轴上时为e x 0|a（3）抛物线焦点在x 轴上时为|x 1|p,焦点在 y轴上时为|y 1|p226、椭圆和双曲线的基本量三角形你清
15、晰吗？其次、方法储备 1、点差法（中点弦问题）名师归纳总结 设Ax 1, y1、Bx2, y2,Ma ,b为椭圆x2y21的弦 AB中点就有第 7 页,共 29 页43- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x 12y 121,x22y221优秀教案欢迎下载24x22y123y220；两式相减得x 14343x 1x24x 1x2y 1y23y 1y2kAB=3 a4b2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？假如有两个参数怎么办？设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程, 使用判别式0,以及根与
16、系数的关系, 代入弦长公式,设曲线上的两点A x y 1,B x 2,y ,将这两点代入曲线方程得到 1 2 两个式子,然后 1 -2 ,整体消元 ,如有两个字母未知数, 就要找到它们的联系, 消去一个,比如直线过焦点,就可以利用三点A、B、F 共线解决之；如有向量的关系,就寻找坐标之间的关系, 根与系数的关系结合消元处理；一旦设直线为 y kx b ,就意味着 k 存在；例 1、已知三角形 ABC 的三个顶点均在椭圆 4 x 2 5 y 2 80 上,且点 A是椭圆短轴的一个端点（点A 在 y 轴正半轴上） . （1）如三角形 ABC 的重心是椭圆的右焦点,试求直线 BC 的方程 ; （2）
17、如角 A 为 90 ,AD 垂直 BC 于 D,试求点 D 的轨迹方程 . 分析：第一问抓住“ 重心”,利用点差法及重心坐标公式可求出中点名师归纳总结 弦 BC 的斜率,从而写出直线 BC 的方程；其次问抓住角 A 为90 可得第 8 页,共 29 页出 ABAC,从而得x 1x2y 1y214y1y2160,然后利用联立消元法及交轨法求出点D 的轨迹方程；解 ：（ 1） 设 B（x ,y ） ,Cx ,y2,BC 中点为 x0, y 0,F2,0就 有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 x 12 y 1,1x2 2y2 21优秀教案欢迎下载2016
18、2016两式作差有x 1x2x 1x2y1y2y 1y20x0y0k01 201654F2,0为三角形重心,所以由x 13x22,得x03,由y1y 240得3y02,代入（ 1）得k680,得5直线 BC 的方程为6x5y2802由 ABAC 得x1x2y 1y214y1y2160（2）设直线BC方程为ykxb ,代入4x25y245 k2x210 bkx5b2800x 1x2410kb,x 1x25b25805k24k241, 即y 1y248k2,y 1y24b280k2代入（ 2）式得5 k45k29 b2432 b2160,解得b4 舍或b45k9直 线 过 定 点 （ 0 ,4 ,
19、 设 9D （ x,y）, 就yx4yx99y29x232y160所以所求点 D 的轨迹方程是x2y162202y4 ；994、设而不求法例 2、如图,已知梯形 ABCD 中AB2CD,点 E 分有向线段 AC 所时,成的比为,双曲线过 C、D、E 三点,且以 A、B 为焦点当2334求双曲线离心率e 的取值范畴；分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载和性质,推理、运算才能和综合运用数学学问解决问题的才能；建立直角坐标系 xOy ,如图,如设
20、C c ,2 h,代入a x 22b y2 21,求得 h,进 而 求 得 x E , y E , 再 代 入a x 22 b y2 21, 建 立 目 标 函 数f a b c , , , 0,整理 f e , 0,此运算量可见是难上加难 .我们对 h可实行设而不求的解题策略 , 建立目标函数 f a b c , , , 0,整理 f e , 0 ,化繁为简 . 解法一：如图,以 AB 为垂直平分线为 y轴,直线 AB 为 x 轴,建立直角坐标系 xOy ,就 CD y 轴由于双曲线经过点 C、D,且以 A、B 为焦点,由双曲线的对称性知C、D 关于 y 轴对称依题意,记 A ,c 0,C
21、c , h,E x 0, y 0,其中 c 1 AB | 为双2 2曲线的半焦距,h 是梯形的高,由定比分点坐标公式得cx 0 c2 2 c,y 0 h1 2 1 1设双曲线的方程为a x 22 b y2 21,就离心率 ea c由点 C、E 在双曲线上,将点 C、E 的坐标和 e c代入双曲线方a程得名师归纳总结 由式得e22h21,1h21第 10 页,共 29 页4b22e2411,b2h2 eb24- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载将式代入式,整理得e24412,AE,AC 用E C 的横坐4故12 e31由题设23得,21e
22、23233434解得7e10所以双曲线的离心率的取值范畴为7,10分析：考虑AE,AC 为焦半径 ,可用焦半径公式 , 标表示,回避 h的运算 , 达到设而不求的解题策略解法二：建系同解法一,AEaex E,ACaex ,e231,由题xEcc22c,又AE1,代入整理1211AC设23得,21e232334347,10解得7e10所以双曲线的离心率的取值范畴为5、判别式法2 2例 3已知双曲线 C : y x1,直线 l 过点 A 2 , 0,斜率为 k,当 0 k 12 2时,双曲线的上支上有且仅有一点 B 到直线 l 的距离为 2 ,试求 k 的值及此时点 B 的坐标；分析 1：解析几何
23、是用代数方法来争论几何图形的一门学科,因此,数形结合必定是争论解析几何问题的重要手段. 从“ 有且仅有”名师归纳总结 这个微观入手,对比草图,不难想到：过点B 作与 l 平行的直线,必第 11 页,共 29 页与双曲线C 相切 . 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载0. 由此动身,可设计如下解题思路：l:ykx220k120直线 l 在 l 的上方且到直线l 的距离为l:ykxk2 把直线 l的方程代入双曲线方程,消去2 2 ky,令判别式解得 k 的值解题过程略 . 分析 2：假如从代数推理的
24、角度去摸索,就应当把距离用代数式表达,即所谓“ 有且仅有一点B 到直线 l 的距离为2 ” ,相当于化归的方程有唯独解 . 据此设计出如下解题思路：问题关于 x 的方程kx2k2x212k20k1有唯独转化为一元二次方程根的问题求解简解 ：设点Mx ,2x2为双曲线 C 上支上任一点,就点M 到直线 l 的距离为：名师归纳总结 kx2k2x22k20k1第 12 页,共 29 页1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载于是,问题即可转化为如上关于 x 的方程 . 由于0k1,所以22x2xkx,从而有2 k .kx2x2 kkx2x2于是
25、关于 x 的方程kx2x22 k2 k212k20的二根同2x222 k212 kkx 2,2 k212kkx0k21x22 k2 k212 kx2 k21 2 k220,2k21 2 kkx0 .由0k1可知：方程k21x22k2 k212kx2k212k正,故2 k212kkx0恒成立,于是等价于2220. k21x22 k2k21 2kx2 k21 由如上关于x 的方程有唯独解,得其判别式0 ,就可解得k255. 点评 ：上述解法紧扣解题目标,不断进行问题转换,充分表达了全局观念与整体思维的优越性 . 例 4 已知椭圆 C:x 22 y 2 8和点 P（4,1）,过 P 作直线交椭圆于A
26、、B 两点,在线段 AB 上取点 Q,使AP PB在曲线的方程 . AQ QB,求动点 Q 的轨迹所分析：这是一个轨迹问题,解题困难在于多动点的困扰,同学往名师归纳总结 往不知从何入手；其实,应当想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因第 13 页,共 29 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载此,第一是选定参数,然后想方设法将点 达,最终通过消参可达到解题的目的 . Q 的横、纵坐标用参数表由于点 Q x , y 的变化是由直线 AB 的变化引起的,自然可挑选直线AB 的斜率 k 作为参数,如何将 x, y 与 k 联系起来？一方面利用
27、点 Q 在直线 AB 上；另一方面就是运用题目条件：APPB QB来转化 .由 A、B、AQP、Q 四点共线,不难得到 x 4 x A x B 2 x A x B,要建立 x 与 k 的关系,只需8 x A x B 将直线 AB 的方程代入椭圆 C 的方程,利用韦达定理即可 . 通过这样的分析,可以看出,虽然我们仍没有开头解题,但对于如何解决此题,已经做到心中有数 . AP AQx4PBQB2xAxBxAxB8xAxBxf将直线方程代入椭圆方程,消去y,利用韦达定理k k利用点 Q 满意直线 AB 的方程： y = k x 4+1,消去参数点 Q 的轨迹方程名师归纳总结 - - - - - -
28、 -第 14 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 在得到xfk优秀教案欢迎下载之后,假如能够从整体上把握,熟悉到：所谓消参,目的不过是得到关于xx, 的方程（不含k）,就可由ykx4 1解得ky1,直接代入fk即可得到轨迹方程；从而简化消去参的过x4程；简解 ：设Ax 1,y 1,Bx 2,y2,Qx,y ,就由APAQ可得：4x2x 1xx 1,PBQB4x 2x解之得：x4x 1x22x 1x 2（1）8x 1x 2设直线 AB 的方程为：ykx41,代入椭圆 C 的方程,消去 y得出关于x 的一元二次方程：4k280（2）2k21x24k 14 kx21x
29、1x24k4 k1,2k21化简得：x4k3.x 1x2214k28.12 k2代入（1）,k23 与yk x4 1联立,消去 k 得：2xy4x4k0.410,结合（3）在（2）中,由64k264k240,解得21024可求得16210x16210.9940（16210x16210）. 故知点 Q 的轨迹方程为：2xy99点评： 由方程组实施消元 ,产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程,其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中,难点在名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载引出参,活点在应用
30、参,重点在消去参.,而“ 引参、用参、消参”三步曲,正是解析几何综合问题求解的一条有效通道 . 6、求根公式法2 例 5 设直线 l 过点 P（0,3）,和椭圆x 9y21顺次交于 A、B 两点,4试求AP PB的取值范畴 . PB=x ,但从今后却一 x B分析：此题中,绝大多数同学不难得到：筹莫展 , 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上,所谓求取值范畴,不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程） ,这只需利用对应的思想实施；其二就 是构造关于所求量的一个不等关系 . 分析 1:从第一条想法入手,AP PB= x 已经是一个关系式,但由于 x B
31、有两个变量 x , Ax B,同时这两个变量的范畴不好掌握,所以自然想到利 用第 3 个变量直线 AB 的斜率 k. 问题就转化为如何将 x , Ax B 转化 为关于 k 的表达式,到此为止,将直线方程代入椭圆方程,消去 y 得 出关于 x 的一元二次方程,其求根公式呼之欲出 . 把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程, 消去 y 得 到关于 x 的一元二次方程 求根公式xA= f（ k）, xB = g（k）AP/PB = （ xA / x B）得到所求量关于k 的函数关系式k 的取值范畴由判别式得出所求量的取值范畴名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 29
32、 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载AP1; 简解 1：当直线 l 垂直于 x 轴时,可求得PB5y当 l 与 x 轴不垂直时,设Ax1,y1,Bx2,y2,直线 l 的方程为：kx3,代入椭圆方程,消去y 得9k24x254kx450解之得x 1 ,227kk69k25.924由于椭圆关于 y 轴对称,点 P 在 y 轴上,所以只需考虑k0的情形. 当k0时,x 127k69k225,x227kk69k25,92185k2. 9k24924APx 1所以=1=9 k29 k5=19 k18 k2PBx29 k29 k21529 k59由0, 解得k25,54
33、k21 8 0 9 k249所以18,11综上295k2591AP PB1 5. 分析 2: 假如想构造关于所求量的不等式,就应当考虑到： 判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定k 的取值范畴,于是问题转化为如何将所求量与k 联系起来 . 一般来说,韦达定理总是充当这种问题的桥梁,但此题无法直接应用韦达定理,缘由名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 在于APx 1不是关于x 1, x2优秀教案欢迎下载的对称关系式 . 缘由找到后,解决问题的PBx 2方法自然也就有了,即我们可以构造关于x 1, x2的对称关系式 . 把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程, 消去 y得到关于 x 的一元二次方程韦达定理xA+ xB = f（ k）,xA xB = g（k）AP/PB