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1、2019 一模几何综合专题一、旋转变换1.（等边三角形 +对称旋转 ）(2019 通州一模27)如图，在等边ABC中，点D是线段BC上一点 . 作射线AD，点B关于射线AD的对称点为E. 连接CE并延长，交射线AD于点F.（1）设BAF，用表示BCF的度数；（2）用等式表示线段AF、CF、EF之间的数量关系，并证明.解： （1）连接 AE. 点B关于射线AD的对称点为E，AE=AB，BAFEAF. ABC是等边三角形，ABAC，60BACACB. 602EAC，AEAC. 1分1180602602ACE. 6060BCFACEACB. 2 分另解：借助圆. （2）AFEFCF证明：如图，作60
2、FCG交 AD 于点 G，连接 BF.3 分BAFBCF，ADBCDF，60ABCAFC. FCG 是等边三角形 . GF = FC. 4 分ABC是等边三角形，BCAC，60ACB. ACGBCF. 在ACG 和BCF 中，CACBACGBCFCGCF， ACGBCF. AGBF. 5 分点B关于射线AD的对称点为E，BFEF. 6 分AFAGGF. AFEFCF. 7 分另一种证法：作60FAH交 FC 的延长线于点H，连接 BF. FECABDGFECABDFECABD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精
3、心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - 2.（等边三角形旋转）(2019 平谷一模27)在ABC 中， ABC=120 ，线段 AC 绕点 A 逆时针旋转60 得到线段 AD，连接 CD，BD 交 AC 于 P（1）若 BAC= ，直接写出BCD 的度数（用含 的代数式表示）；（2）求 AB，BC，BD 之间的数量关系；（3）当 =30时，直接写出AC，BD 的关系解： （1） BCD =120 1 （ 2）解：方法一：延长BA 使 AE=BC ，连接 DE 2 由（ 1）知 ADC 是等边三角形，AD=CD DAB+DCB=DAB+D
4、AE=180 ， DAB=DAE ADE CDB 3 BD=BE BD=AB+BC 4 方法二：延长AB 使 AF=BC ，连接 CF 2 BDC=ADE ABC=120 ， CBF=60 BCF 是等边三角形BC=CF DCA=BCF=60 ， DCA+ACB=BCF+ACB即 DCB=ACFCA=CD ， ACF DCB 3 BD=AF BD=AB+BC 4 （3）AC，BD 的数量关系是：32ACBD； 5位置关系是： ACBD 于点 P 6 PECABDFPCABDPCABD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
5、 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - HODCBA3. （等边三角形旋转）(2019 延庆一模 27).已知：四边形 ABCD 中，120ABC，60ADC， AD=CD，对角线 AC，BD相交于点O，且 BD 平分 ABC，过点 A 作AHBD，垂足为H（ 1）求证：ADBACB；（ 2）判断线段BH ，DH，BC 之间的数量关系；并证明解： （1）证明：ADC = 60，DA=DC ADC 是等边三角形1 分DAC =60, AD=AC ABC= 120 ,BD 平分ABC ABD= DBC=60 DAC =DBC =60
6、 AOD =BOCADB= 180 -DAC -AODACB= 180 - DBC-BOCADB= ACB 3 分（2）结论： DH=BH+BC 4 分证明：在HD 上截取 HE=HB 5 分AHBD AHB= AHE=90AH =AH ABHAEH AB=AE, AEH= ABH=60 6 分 AED= 180 -AEH= 120 ABC= AED= 120AD=AC, ADB= ACB ABCAEDDE=BC 7 分DH=HE+EDDH=BH+BC 8分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -
7、 - - - - 第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - 4.（等边三角形+旋转） (2019 密云一模 27)已知ABC为等边三角形，点D 是线段 AB 上一点（不与A、B 重合） .将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转60得到线段 CE.连结 DE、BE.（1）依题意补全图1 并判断 AD 与 BE的数量关系 .（2）过点 A 作AFEB交 EB延长线于点F.用等式表示线段EB、DB与 AF之间的数量关系并证明.27. （ 1）补全图形 AD与 BE的数量关系为AD=BE .2 分（2） ACB= DCE= 60, ACD= BCE 又AC=BC,CD=CE ACD B
8、CE AD=BE, CBE= CAD=60 ABF=180 - ABC-CBE=60 在 RtAFB中，32AFABBE+BD=32AB.7 分图 2DCBA图1ABCDDECBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - 5.（正方形 +旋转 +最值） (2019 东城一模 27)如图，在正方形ABCD 中，E 是边 BC 上一动点（不与点B，C重合），连接 DE，点 C 关于直线 DE 的对称点为C? ，连接 AC?
9、并延长交直线DE 于点 P，F 是 AC 中点，连接 DF （1）求 FDP 的度数；（2）连接 BP，请用等式表示AP，BP，DP 三条线段之间的数量关系，并证明（3）连接 AC，若正方形的边长为2 ，请直接写出ACC 的面积最大值解： （1）由对称可知CDC D， CDE C DE在正方形 ABCD 中， ADCD， ADC90 ，ADCD又 F 为 AC中点，DFAC， ADF CDF 1分 FDP FDC EDC=12ADC45 2分（2）结论： BPDP2 AP3分如图，作 APAP 交 PD 延长线于 P ， PAP90 在正方形 ABCD 中， DA BA， BAD90 ， DA
10、P BAP由（ 1）可知 APD45 ， P45 APAP4分在BAP 和DAP 中，BADABAPDAPAPAP， BAP DAP （SAS）5分BPDP FPCBCADEFPCBCADE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - DPBPPP 2 AP（3）2 17分PFPCBCADE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -
11、- - - - - 第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - 6.（等腰直角三角形+旋转） (2019 房山一模 27).已知： RtABC 中， ACB=90 ，AC=BC.(1) 如图 1，点 D 是 BC 边上一点 ( 不与点 B，C 重合 ) ，连接 AD，过点 B 作 BEAD，交 AD 的延长线于点 E，连接 CE.若 BAD= ，求 DBE 的大小(用含 的式子表示 ) ；(2) 如图 2，点 D 在线段 BC 的延长线上时，连接AD，过点 B 作 BEAD，垂足 E 在线段 AD 上，连接CE.依题意补全图2；用等式表示线段EA，EB 和 EC 之间的数量关
12、系，并证明.图 1 图 2 解：（ 1）解 : 依题意， CAB=45， BAD= ， CAD =45. ACB=90 ，BEAD， ADC=BDE， DBE = CAD=45. 2 分（2）解：补全图形如图4 分猜想：当 D 在 BC 边的延长线上时，EB - EA =2EC. 5 分证明：过点C 作 CFCE，交 AD 的延长线于点F. ACB=90 ， ACF=BCE. CA=CB， CAF =CBE， ACF BCE.6 分AF=BE，CF=CE. ECF=90，EF=2EC. 即 AF -EA =2EC.BCAEBCAD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -
13、 - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - - EB -EA =2EC. 7 分FEBCAD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - 7.（等腰直角三角形+旋转 ）(2019 门头沟一模27). 如图， AOB = 90 ，OC 为 AOB 的平分线，点P 为OC 上一个动点， 过点 P 作射线 PE 交 OA 于点
14、 E以点 P 为旋转中心， 将射线 PE 沿逆时针方向旋转90 ，交 OB 于点 F（1）根据题意补全图1，并证明 PE = PF；（2）如图 1，如果点E在 OA 边上，用等式表示线段OE，OP 和 OF 之间的数量关系，并证明；（3）如图 2，如果点E 在 OA 边的反向延长线上，直接写出线段OE，OP 和 OF 之间的数量关系图 1 图 227 （本小题满分7分）解： （1）补全图形（如图1） ；1 分证明：略 . 3 分（2）线段 OE，OP 和 OF 之间的数量关系是OF+OE=2 OP . 4 分证明：如图2，作 PQPO 交 OB 于 Q . 2+3 = 90 ， 1+2 = 9
15、0 . 1=3. 又 OC 平分 AOB， AOB=90 ， 4 =5 = 45 . 又 5 +6 = 90 ， 6 = 45 ， 4 = 6 . PO = PQ. EPO FPQ .5 分 PE=PF，OE = FQ . 又 OQ = OF+FQ = OF + OE. 又 OQ = 2 OP，OF + OE =2 OP . 6 分（3）线段OE，OP 和 OF 之间的数量关系是OF - OE=2 OP . 7 分PPEECCBBOOAA图 2图 1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -
16、 - - 第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - 8.（等腰直角三角形+旋转 ）(2019 燕山一模 27)如图，在 ABC 中，ABBC，B90，点 D 为线段 BC上一个动点 (不与点 B，C 重合 )，连接 AD，将线段 AD 绕点 D 顺时针旋转90得到线段DE，连接 EC(1) 依题意补全图1； 求证： EDC BAD；(2) 小方通过观察、 实验，提出猜想： 在点 D 运动的过程中， 线段 CE 与 BD 的数量关系始终不变，用等式表示为：； 小方把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法 1：过点 E 作 EFBC，交 BC 延长
17、线于点F，只需证 ADB DEF想法 2：在线段 AB 上取一点 F，使得 BFBD，连接 DF ，只需证 ADF DEC想法 3：延长 AB 到 F，使得 BFBD，连接 DF，CF，只需证四边形DFCE 为平行四边形 请你参考上面的想法，帮助小方证明中的猜想(一种方法即可)27(1)补全的图形如图的所示；1 分证明：ADE B90， EDC ADBBAD ADB90， EDC BAD3 分(2) CE2BD4 分想法 1：证明：如图，过点E 作 EFBC，交 BC 延长线于点F， F90 在 ADB 和DEF 中，BF90， EDC BAD，ADDE， ADB DEF ，ABDF，BDEF
18、图 1 DCBA备用图ABCDABECDFEACBD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - - ABBC，DFBC，即 DCCFBDDC，CFBDEF， CEF 是等腰直角三角形，CE2CF2BD7 分想法 2：证明：在线段AB 上取一点 F，使得 BFBD，连接 DF ， B90， ABBC，DF2BD，ABBC，BFBD，ABBFBCBD，即 AFDC在 ADF 和DEC 中，AFDC， BAD EDC，ADDE，
19、ADF DEC，CEDF2BD7 分想法 3：证明：延长AB 到 F，使得 BFBD ，连接 DF ，CF ， B90， DF2BD在 RtABD 和 RtCBF 中，ABDCBF 90，ABBC，BDBF， ABD CBF，ADCF，BAD BCFADDE，DECF EDC BAD， EDC BCF，DECF，四边形 DFCE 为平行四边形，CEDF2BD7分FEABCDFEABCD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 18 页 - - - - - - -
20、- - 9.（等腰直角三角形+旋转） (2019 丰台一模27)在 ABC 中， ACB=90， AC=BC， D 为 AB 的中点，点E 为 AC 延长线上一点，连接DE，过点 D 作 DF DE 交 CB 的延长线于点F（1）求证： BF= CE ；（2）若 CE=AC，用等式表示线段DF 与 AB 的数量关系，并证明解： （1）连接 CD.在ABC 中， ACB= 90 ，AC=BC ，D 为 AB 中点，CDBD, CD=BD=DA. .1 分DF DE， BDF = CDE. F = E，DBFDCE.BF=CE.3 分（2）52DFAB.4 分理由如下：由（ 1）知 DBF DCE
21、，DF=DE. .5 分连接 BE.CE=CA ，BA=BE. A= BEA= 45. ABE= 90.设 AD=BD=a ，AB=BE= 2a. 5DFDEa .52DFAB.7 分FAECDB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 18 页 - - - - - - - - - 10.（等腰直角三角形+旋转解直角三角形）(2019 朝阳一模 27)如图，在 RtABC 中，A=90 ，AB=AC，将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 （0 AC， B=45， 点
22、 D 是BC 边上一点，且AD=AC ，过点 C 作 CFAD 于点 E，与AB 交于点 F（1） 若 CAD= ，求 BCF 的大小（用含 的式子表示）；（2）求证： AC=FC；（3）用等式直接表示线段BF 与 DC 的数量关系解：（1）过点A作 AGBC 于点 G，1 分 2+4=90，AD=AC ， 1=2=12CAD=12 ，2 分CFAD 于点 E， 3+4=90， 3=2=12CAD=12 ，3 分即 BCF=12（2）证明：B=45，BAG=45，4 分BAC=45+1，AFC=45+3，BAC=AFC，AC=FC5 分（3）2DCBF 7 分ABCDFE4231GEFDCBA
23、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 18 页 - - - - - - - - - 三、平移变换14.（等边三角形+平移） (2019 石景山一模27). 如图，在等边ABC 中， D 为边AC 的延长线上一点()CDAC，平移线段BC，使点 C 移动到点 D，得到线段ED，M 为 ED 的中点，过点M 作 ED 的垂线，交BC于点 F，交 AC 于点 G（ 1）依题意补全图形；（ 2）求证： AG = CD；（ 3）连接 DF 并延长交 AB 于点 H，用等
24、式表示线段 AH 与 CG 的数量关系，并证明27 （ 1）补全的图形如图1所示 1 分（ 2）证明：QABC 是等边三角形，ABBCCA60ABCBCACAB由平移可知EDBC，ED=BC 2 分60ADEACB90GMDQ，2DGDMDE 3 分DEBCACQ，DGACAGCD 4 分（3）线段 AH 与 CG 的数量关系： AH = CG 5分证明：如图2，连接 BE，EF,EDBCQEDBC，BEDC四边形是平行四边形BECDCBEADEABC，GMEDQ垂直平分，EFDFDEFEDFQEDBC，BFEDEFBFHEDF，BFEBFHBFBFQ，BEFBHF 6 分BEBHCDAGAB
25、ACQ，AHCG 7 分MECDBAMGFECDBA图 1MHGFECDBA图 2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - 四、其它15.（等腰直角三角形+全等）(2019 海淀一模 27)如图， 在等腰直角ABC中，90ABC? ， D 是线段AC上一点（2CACD） ，连接 BD ，过点C作 BD 的垂线，交BD 的延长线于点E ，交 BA 的延长线于点F（1）依题意补全图形；（2）若ACE ?，求ABDD的大小（
26、用含的式子表示）；（3）若点G在线段CF上，CGBD=，连接 DG判断 DG 与 BC 的位置关系并证明；用等式表示DG，CG，AB 之间的数量关系为（1）补全图形，如图（2） 解：AB=BC，ABC=90 ， BAC=BCA=45 ACE= ，45ECB? CFBD 交 BD 的延长线于点E， BEF=90 F+ABD=90 F+ECB=90 ，45ABDECB?（3）DG 与 BC 的位置关系： DGBC证明：连接BG 交 AC 于点 M，延长 GD 交 BC 于点 H，如图 AB=BC，ABD=ECB，BD=CG， ABD BCG CBG=BAD=45 ABG=CBG=BAC=45 AM=BM， AMB=90 AD=BG， DM =GM MGD=GDM =45 BHG=90 DGBC2222CGDGAB=+EFABCDABCDHMGEFCABD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - -