2022年年考研数学三真题及全面解析 .pdf

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1、学习资料收集于网络，仅供参考学习资料2003年全国硕士入学统考数学( 三) 试题及答案一、 填空题 （本题共 6 小题，每小题4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1） 设,0,0, 0,1cos)(xxxxxf若若其导函数在x=0 处连续，则的取值范围是2. 【分析 】 当x0 可直接按公式求导，当x=0 时要求用定义求导. 【详解 】当1时，有,0,0,0,1sin1cos)(21xxxxxxxf若若显然当2时，有)0(0)(lim0fxfx，即其导函数在x=0 处连续 . （2）已知曲线bxaxy233与 x 轴相切，则2b可以通过a表示为2b64a. 【分析 】 曲线在切点

2、的斜率为0，即0y，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到2b与 a 的关系 . 【详解 】由题设，在切点处有03322axy，有.220ax又在此点y 坐标为 0，于是有0300230bxax, 故.44)3(6422202202aaaxaxb（ 3 ） 设a0 ，xaxgxf其他若, 10, 0,)()(而D表 示 全 平 面 ， 则DdxdyxygxfI)()(= 2a. 【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当10, 10 xyx时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可. 【详解 】DdxdyxygxfI)()(=dxdyaxyx

3、10, 102=.)1(21021012adxxxadydxaxx（4）设 n 维向量0,),0,0 ,(aaaT；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料TEA，TaEB1，其中 A 的逆矩阵为B，则 a= -1 . 【分析 】 这里T为 n 阶矩阵，而22aT为数，直接通过EAB进行计算并注意利用乘法的结合律即可. 【详解 】由题设，有)1)(TTaE

4、EAB=TTTTaaE11=TTTTaaE)(11=TTTaaE21=EaaET)121(, 于是有0121aa，即0122aa，解得.1,21aa由于 A0 , 故 a=-1. （5）设随机变量X 和 Y 的相关系数为0.9, 若4. 0XZ，则 Y 与 Z 的相关系数为0.9 . 【分析 】 利用相关系数的计算公式即可. 【详解 】因为)4.0()()4.0()4.0,cov(),cov(XEYEXYEXYZY=)(4 .0)()()(4.0)(YEXEYEYEXYE=E(XY) E(X)E(Y)=cov(X,Y), 且.DXDZ于是有cov(Y,Z)=DZDYZY),cov(=.9.0)

5、,cov(XYDYDXYX（6）设总体 X 服从参数为2 的指数分布，nXXX,21为来自总体X 的简单随机样本，则当n时，niinXnY121依概率收敛于21. 【分析 】本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量nXXX,21， 当方差一致有界时， 其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：).(1111nEXnXnniipnii名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅

6、供参考学习资料【详解 】这里22221,nXXX满足大数定律的条件，且22)(iiiEXDXEX=21)21(412，因此根据大数定律有niinXnY121依概率收敛于.21112niiEXn二、选择题 （本题共 6 小题，每小题4 分，满分24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设 f(x) 为不恒等于零的奇函数，且)0(f存在，则函数xxfxg)()(A) 在 x=0 处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0. (C) 在 x=0 处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. D 【分析 】 由题设，可推出f(0)=0 , 再

7、利用在点x=0 处的导数定义进行讨论即可. 【详解 】显然 x=0 为 g(x)的间断点，且由f(x) 为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0. 于是有)0(0)0()(lim)(lim)(lim000fxfxfxxfxgxxx存在，故 x=0 为可去间断点 .（2）设可微函数f(x,y) 在点),(00yx取得极小值，则下列结论正确的是(A) ),(0yxf在0yy处的导数等于零. （B）),(0yxf在0yy处的导数大于零. (C) ),(0yxf在0yy处的导数小于零. (D) ),(0yxf在0yy处的导数不存在. A 【分析 】可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论. 【

8、详解 】可微函数f(x,y) 在点),(00yx取得极小值，根据取极值的必要条件知0),(00yxfy，即),(0yxf在0yy处的导数等于零, 故应选 (A).（3）设2nnnaap，2nnnaaq，,2 ,1n，则下列命题正确的是(A) 若1nna条件收敛，则1nnp与1nnq都收敛 . (B) 若1nna绝对收敛，则1nnp与1nnq都收敛 . (C) 若1nna条件收敛，则1nnp与1nnq敛散性都不定. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 14 页

9、- - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料(D) 若1nna绝对收敛，则1nnp与1nnq敛散性都不定 . B 【分析 】 根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案. 【详解 】若1nna绝对收敛，即1nna收敛，当然也有级数1nna收敛，再根据2nnnaap，2nnnaaq及收敛级数的运算性质知，1nnp与1nnq都收敛， 故应选(B).（4）设三阶矩阵abbbabbbaA，若 A 的伴随矩阵的秩为1，则必有(A) a=b或 a+2b=0. (B) a=b 或 a+2b0. (C) ab 且 a+2b=0. (D) ab 且 a+2b0.

10、C 【分析 】 A 的伴随矩阵的秩为1, 说明 A 的秩为 2，由此可确定a,b 应满足的条件. 【详解 】 根据 A 与其伴随矩阵A* 秩之间的关系知，秩(A)=2 ，故有0)(2(2babaabbbabbba，即有02ba或 a=b. 但当 a=b 时，显然秩 (A)2, 故必有ab 且 a+2b=0. 应选 (C).（5）设s,21均为 n 维向量，下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数skkk,21，都有02211sskkk，则s,21线性无关 . (B) 若s,21线性相关，则对于任意一组不全为零的数skkk,21，都有.02211sskkk(C) s,21线性无关的充

11、分必要条件是此向量组的秩为s. (D) s,21线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. B 【分析 】 本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式 . 应注意是寻找不正确的命题. 【 详 解 】 (A): 若 对 于 任 意 一 组 不 全 为 零 的 数skkk,21, 都 有02211sskkk， 则s,21必线性无关， 因为若s,21线性相关，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - -

12、- - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料则存在一组不全为零的数skkk,21,使得02211sskkk，矛盾 . 可见（A）成立 . (B): 若s,21线 性相关 ，则存在一组，而不是 对任 意一 组不全为零的 数skkk,21，都有.02211sskkk(B)不成立 . (C) s,21线性无关 ,则此向量组的秩为s；反过来， 若向量组s,21的秩为 s，则s,21线性无关，因此(C)成立 . (D) s,21线性无关 ,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见 (D)也成立 . 综上所述，应选(B). （6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A= 掷第一次出现

13、正面，2A= 掷第二次出现正面 ，3A= 正、反面各出现一次，4A= 正面出现两次 ，则事件(A) 321,AAA相互独立 . (B) 432,AAA相互独立 . (C) 321,AAA两两独立 . (D) 432,AAA两两独立 . C 【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成立，再检验是否相互独立. 【详解 】 因为21)(1AP，21)(2AP，21)(3AP，41)(4AP，且41)(21AAP，41)(31AAP，41)(32AAP，41)(42AAP0)(321AAAP，可见有)()()(2121APAPAAP，)()()(3131APAPAAP

14、，)()()(3232APAPAAP，)()()()(321321APAPAPAAAP，)()()(4242APAPAAP. 故321,AAA两两独立但不相互独立；432,AAA不两两独立更不相互独立，应选(C).三 、 （本题满分8 分）设).1 ,21,)1(1sin11)(xxxxxf试补充定义f(1) 使得 f(x) 在 1 ,21上连续 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考

15、学习资料【分析 】 只需求出极限)(lim1xfx，然后定义f(1)为此极限值即可. 【详解 】因为)(lim1xfx=)1(1sin11lim1xxxx=xxxxxsin)1(sin)1(lim111=xxxxxcos)1 (sincoslim111=xxxxxxsin)1(coscossinlim11221=.1由于 f(x) 在)1 ,21上连续，因此定义1) 1(f，使 f(x) 在 1 ,21上连续 . 四 、 （本题满分8 分）设 f(u,v) 具有二阶连续偏导数， 且满足12222vfuf， 又)(21,),(22yxxyfyxg,求.2222ygxg【分析】 本题是典型的复合函

16、数求偏导问题：),(vufg，)(21,22yxvxyu，直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用.22uvfvuf【详解 】vfxufyxg，.vfyufxyg故vfvfxvufxyufyxg2222222222，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料.2222222222vfvfyuvfxyufxyg所以222222222222)()(vfyxufyxygxg=.22yx五 、

17、 （本题满分8 分）计算二重积分.)sin(22)(22dxdyyxeIDyx其中积分区域D=.),(22yxyx【分析 】 从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算. 【详解 】 作极坐标变换：sin,cosryrx，有dxdyyxeeIDyx)sin(22)(22=.sin20022drrreder令2rt，则tdteeItsin0. 记t d teAts i n0，则ttdeeAint0=cossin00tdtetett=0costtde=sincos00tdtetett=.1Ae因此)1(21eA，).1(2)1(2eeeI六、 （本题满分9 分）名师资料总结 - - -精

18、品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料求幂级数12)1(2)1(1nnnxnx的和函数 f(x)及其极值 . 【分析 】 先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0 时和为1. 求出和函数后，再按通常方法求极值. 【详解 】.1) 1()(1212nnnxxxxf上式两边从0 到 x 积分，得).1ln(211)0()(202xdtttfxfx由 f(0)=1, 得).1(),1ln(211)(

19、2xxxf令0)(xf，求得唯一驻点x=0. 由于,)1(1)(222xxxf01)0(f，可见 f(x) 在 x=0 处取得极大值，且极大值为f(0)=1.七、 （本题满分9 分）设 F(x)=f(x)g(x), 其中函数 f(x),g(x) 在),(内满足以下条件：)()(xgxf，)()(xfxg，且 f(0)=0, .2)()(xexgxf(1) 求 F(x)所满足的一阶微分方程；(2) 求出 F(x)的表达式 . 【分析 】 F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对F(x)求导，并将其余部分转化为用F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程. 【详解 】

20、(1) 由)()()()()(xgxfxgxfxF=)()(22xfxg=)()(2)()(2xgxfxgxf=(22)xe-2F(x), 可见 F(x)所满足的一阶微分方程为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料.4)(2)(2xexFxF(2) 4)(222CdxeeexFdxxdx=442Cdxeexx=.22xxCee将 F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得C=-1.

21、 于是.)(22xxeexF八、 （本题满分8 分）设函数 f(x) 在0，3上连续，在（ 0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在)3 ,0(，使.0)(f【分析】 根据罗尔定理，只需再证明存在一点c)3,0，使得)3(1)(fcf，然后在c,3 上应用罗尔定理即可. 条件 f(0)+f(1)+f(2)=3等价于13)2()1 ()0(fff，问题转化为 1 介于 f(x) 的最值之间，最终用介值定理可以达到目的. 【详解 】因为 f(x) 在0，3上连续，所以f(x) 在0，2上连续，且在0，2上必有最大值 M 和最小值m，于是Mfm)0(，Mfm)1

22、(，Mfm)2(. 故.3)2() 1()0(Mfffm由介值定理知，至少存在一点2, 0c，使.13)2()1 ()0()(fffcf因为f(c)=1=f(3), 且 f(x) 在c,3 上连续，在 (c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在)3,0()3 ,(c，使.0)(f九、 （本题满分13 分）已知齐次线性方程组名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料, 0)(, 0)(,

23、 0)(, 0)(332211332211332211332211nnnnnnnnxbaxaxaxaxaxbaxaxaxaxaxbaxaxaxaxaxba其中.01niia试讨论naaa,21和 b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 【分析 】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有列对应元素相加后相等. 可先将所有列对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的（-1）倍加到其余各行，即可计算出行列式的值. 【详解 】 方程组的系数行列式baaaaabaaaaa

24、baaaaabaAnnnn321321321321=).(11niinabb(1) 当0b时且01niiab时，秩 (A)=n，方程组仅有零解. (2) 当 b=0 时，原方程组的同解方程组为.02211nnxaxaxa由01niia可知，),2 , 1(niai不全为零 . 不妨设01a，得原方程组的一个基础解系为Taa)0 ,0, 1 ,(121，Taa)0,1 , 0,(132，.)1 ,0,0,(,1Tnnaa当niiab1时，有0b，原方程组的系数矩阵可化为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理

25、- - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料niinnniinniinniiaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1321132131213211（将第 1 行的 -1 倍加到其余各行，再从第2 行到第 n 行同乘以niia11倍）1001010100113211nniiaaaaa（ 将第 n 行na倍到第 2 行的2a倍加到第 1 行，再将第1 行移到最后一行）.0000100101010011由此得原方程组的同解方程组为12xx，13xx，1,xxn. 原方程组的一个基础解系为.)1 , 1 , 1(T十

26、、 （本题满分13 分）设二次型)0(222),(31232221321bxbxxxaxAXXxxxfT，中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. (1) 求 a,b 的值；(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 【分析 】 特征值之和为A 的主对角线上元素之和，特征值之积为A 的行列式， 由此可求出 a,b 的值；进一步求出A 的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化（若名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -

27、 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料有必要），然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵. 【详解 】 （1）二次型 f 的矩阵为.200200bbaA设 A 的特征值为).3 ,2, 1(ii由题设，有1)2(2321a，.12242002002321babba解得a=1,b= -2. (2) 由矩阵 A 的特征多项式)3()2(2020202012AE，得 A 的特征值.3,2321对于,221解齐次线性方程组0)2(xAE，得其基础解系T)1 ,0,2(1，.)0 ,1 ,0(2T对于33，解齐次线性方程

28、组0)3(xAE，得基础解系.)2,0 , 1(3T由于321,已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将321,单位化，由此得T)51,0,52(1，T)0, 1 ,0(2，.)52,0 ,51(3T令矩阵5205101051052321Q，则 Q 为正交矩阵 . 在正交变换X=QY 下，有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料300020002AQQT，且二次型的标准形为

29、.322232221yyyf十一、（本题满分13 分）设随机变量X 的概率密度为;,8, 1,0,31)(32其他若xxxfF(x)是 X 的分布函数 . 求随机变量Y=F(X) 的分布函数 . 【分析 】 先求出分布函数F(x) 的具体形式，从而可确定Y=F(X) , 然后按定义求Y 的分布函数即可。注意应先确定Y=F(X) 的值域范围) 1)(0(XF，再对 y 分段讨论 . 【详解 】 易见，当 x8 时， F(x)=1. 对于8 , 1x，有.131)(3132xdttxFx设 G(y)是随机变量Y=F(X) 的分布函数 . 显然，当0y时，G(y)=0；当1y时，G(y)=1. 对于

30、)1 ,0y，有)()(yXFPyYPyG=)1(133yXPyXP=.)1(3yyF于是， Y=F(X) 的分布函数为.1, 10,0, 1,0)(yyyyyG若若若十二、（本题满分13 分）设随机变量X 与 Y 独立，其中X 的概率分布为7.03 . 021X，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料而 Y 的概率密度为f(y) ，求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u). 【

31、分析 】求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率. 注意 X只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算. 【详解 】设 F(y)是 Y 的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y 的分布函数为)(uYXPuG=27 .0 13.0XuYXPXuYXP=227 . 0 113.0XuYPXuYP. 由于 X 和 Y 独立，可见G(u)= 27 .0 13.0uYPuYP=).2(7.0) 1(3.0uFuF由此 ,得 U 的概率密度)2(7.0)1(3.0)()(uFuFuGug=).2(7 .0)1(3 .0ufuf名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -