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1、掌握圆的标准方程与一般方程，能根据给定的点、圆的方程，判断直线和掌握圆的标准方程与一般方程，能根据给定的点、圆的方程，判断直线和圆的位置关系，能用代数方法处理几何问题的思想圆的位置关系，能用代数方法处理几何问题的思想【命题预测】【命题预测】 圆的方程是历年来高考的一个考点，利用定义和性质，结合代数、解析几圆的方程是历年来高考的一个考点，利用定义和性质，结合代数、解析几何的基本思想，将所给的条件进行转化后求解，是今后高考命题的方向何的基本思想，将所给的条件进行转化后求解，是今后高考命题的方向第第3 3课时课时 圆的方程圆的方程【应试对策】【应试对策】 1圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确
2、定了圆，所以，只要圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且三个量确定了且r0，圆的方程就给定了，这就是说要确定圆的方程，必须具圆的方程就给定了，这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件注意，确定备三个独立的条件注意，确定a，b，r可以根据条件，利用待定系数法来求可以根据条件，利用待定系数法来求出当二元二次方程出当二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0具有以下条件时，它才具有以下条件时，它才表示圆：表示圆：(1)x2和和y2的系数相同，不等于零，即的系数相同，不等于零，即AC0；(2)没有没有xy项项，即即B0；(3)D2E24AF0.条件条
3、件(3)通过将方程两边同除以通过将方程两边同除以A或或C并配方不难得出并配方不难得出2一般来说，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、一般来说，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程圆的一般方程中要加限制条件都无直接关系，往往设圆的一般方程圆的一般方程中要加限制条件D2E24F0.用待定系数法求圆的方程的步骤：用待定系数法求圆的方程的步骤：(1)根据题意设所求圆的方程为标根据题意设所求圆的方程为标
4、准式或一般式；准式或一般式；(2)根据条件列出关于根据条件列出关于a，b，r或或D，E，F的方程；的方程；(3)解方程解方程组，求出组，求出a，b，r或或D，E，F的值，代入所设方程，就得到要求的方程的值，代入所设方程，就得到要求的方程3根据条件选择圆方程的适当形式，并会利用待定系数法进行圆的方程的求根据条件选择圆方程的适当形式，并会利用待定系数法进行圆的方程的求 解，解，同时，解答圆的问题时应注意数形结合，充分运用圆的平面几何性同时，解答圆的问题时应注意数形结合，充分运用圆的平面几何性 质，简化计算质，简化计算【知识拓展】【知识拓展】 1圆系方程圆系方程(1)同心圆系同心圆系：圆心为圆心为(
5、x0，y0)的圆系方程为的圆系方程为：(xx0)2(yy0)2r2(r0)(2)过两圆过两圆C1：x2y2D1xE1yF10及及C2：x2y2D2xE2yF20的公的公共点的圆系方程为共点的圆系方程为：x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0其其中若中若1，则此方程表示过两圆则此方程表示过两圆C1与与C2的交点的圆的交点的圆；当当1，则此方程表则此方程表示过两圆示过两圆C1与与C2交点的直线交点的直线(3)过直线过直线l：AxByC0与圆与圆C：x2y2DxEyF0的交点的圆系方的交点的圆系方程为：程为：x2y2DxEyF(AxByC)0. 利用圆系可以站在较高的角度来把握有些问
6、题利用圆系可以站在较高的角度来把握有些问题1圆的标准方程圆的标准方程方程方程(xa)2(yb)2r2(r0)叫做以点叫做以点 为圆心为圆心， 为半径的圆的标准方程为半径的圆的标准方程2圆的一般方程圆的一般方程方程方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)叫做叫做 其圆心为其圆心为 ，半径为半径为 .(a，b)圆的一般方程圆的一般方程r3确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1) ；(2) ；(3) 根据题意，选择标准方程或一般方程根据题意，选择标准方程或一般方程根据条件列出关于根据条件列出
7、关于a、b、r或或D、E、F的方程组的方程组解出解出a、b、r或或D、E、F代入标准方程或一般方程代入标准方程或一般方程探究：探究：用待定系数法求圆的方程，如何根据已知条件选择圆的方程？用待定系数法求圆的方程，如何根据已知条件选择圆的方程？提示：提示：当条件中给出的是圆上几点坐标，较适合用一般式，通过解三元一当条件中给出的是圆上几点坐标，较适合用一般式，通过解三元一次方程组求相应系数；当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某条直线上、次方程组求相应系数；当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某条直线上、圆的切线方程、圆的弦长等条件，适合用标准式，对于有些题，设哪种形圆的切线方程、圆的弦长等条件，适合用标准
8、式，对于有些题，设哪种形式都可以，这就要求根据条件具体问题具体分析式都可以，这就要求根据条件具体问题具体分析4点与圆的位置关系点与圆的位置关系点点P(x0，y0)与圆与圆(xa)2(yb)2r2(r0)的位置关系的位置关系：(1)当当(x0a)2(y0b)2r2时时，则则 ；(2)当当(x0a)2(y0b)2r2时时，则则 ；(3)当当(x0a)2(y0b)2r2时，则时，则 点点P在圆外在圆外点点P在圆上在圆上点点P在圆内在圆内1已知已知A(4，5)、B(6，1)，则以线段，则以线段AB为直径的圆的方程是为直径的圆的方程是_解析：解析：所求圆的圆心是所求圆的圆心是(1，3)，半径是，半径是
9、.圆的方程是圆的方程是(x1)2(y3)229.答案：答案：(x1)2(y3)2292点点P(5a1,12a)在圆在圆(x1)2y21的内部，则的内部，则a的取值范围是的取值范围是_解析：解析：P在圆的内部，在圆的内部，P到圆心的距离小于半径，到圆心的距离小于半径， 1. a .答案：答案： a0，解得，解得k k4或或k k4或或k k0)，由三个条件得到关于，由三个条件得到关于D、E、F的一个三元一的一个三元一次方程组，解方程组确定次方程组，解方程组确定D、E、F的值的值【例【例1】 求与求与x轴相切轴相切，圆心在直线圆心在直线3xy0上上，且被直线且被直线xy0截得的弦长为截得的弦长为
10、2 的圆的方程的圆的方程 思路点拨：思路点拨：因题中涉及圆心及切线，故设标准形式解题较简单因题中涉及圆心及切线，故设标准形式解题较简单 解：解：设所求的圆的方程是设所求的圆的方程是(xa)2(yb)2r2，则圆心则圆心(a，b)到直线到直线xy 0的距离为的距离为 ， r2( )2( )2，即即2r2(ab)214由于所求的圆与由于所求的圆与x轴相切，轴相切，r2b2又因为所求圆心在直线又因为所求圆心在直线3xy0上，上，3ab0联立联立，解得，解得a1，b3，r29或或a1，b3，r29.故所求的圆的方程是故所求的圆的方程是(x1)2(y3)29或或(x1)2(y3)29.变式变式1：根据下
11、列条件求圆的方程根据下列条件求圆的方程：(1)经过坐标原点和点经过坐标原点和点P(1,1)，并且圆心在直线并且圆心在直线2x3y10上上；(2)已知一圆过已知一圆过P(4，2)，Q(1,3)两点两点，且在且在y轴上截得的线段长为轴上截得的线段长为4，求求圆的方程圆的方程解：解：(1)显然，所求圆的圆心在显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程的垂直平分线方程 为为： ，即即xy10. 解方程组解方程组 ，得圆心，得圆心C的坐标为的坐标为(4，3)又圆的半径又圆的半径r|OC|5， 以所求圆的方程为以所求圆的方程为(x4)2(y3)225.(2)设圆的方程为设圆
12、的方程为x2y2DxEyF0将将P、Q点的坐标分别代入点的坐标分别代入得得令令中的中的x0，得，得y2EyF0由已知由已知|y1y2|4，其中，其中y1、y2是方程是方程的两根，的两根，所以所以(y1y2)2(y1y2)24y1y2E24F48解解组成的方程组得组成的方程组得D2，E0，F12或或D10，E8，F4，故所求圆的方程为故所求圆的方程为x2y22x120或或x2y210 x8y40.1求与圆有关的最值问题多采用几何法，就是利用一些代数式的几何意义进行转求与圆有关的最值问题多采用几何法，就是利用一些代数式的几何意义进行转化如化如(1)形如形如m 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问
13、题；的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形形如如taxby的最值问题，可转化为直线在的最值问题，可转化为直线在y(或或x)轴上的截距的最值问题；轴上的截距的最值问题；(3)形如形如m(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题2特别要注意下面两个代数式的几何意义：特别要注意下面两个代数式的几何意义： 表示点表示点(x，y)与原点与原点(0,0)连线的直线斜率，连线的直线斜率， 表示点表示点(x，y)与原点与原点(0,0)的的 距离距离【例【例2】 已知实数已知实数x、y满足方程满足方程x2y24x10. (1)求求
14、 的最大值和最小值的最大值和最小值；(2)求求yx的最大值和最小值的最大值和最小值；(3)求求x2y2的最的最 大值和最小值大值和最小值解：解：原方程化为原方程化为(x2)2y23，表示以点表示以点(2,0)为圆心为圆心，以以 为半径的圆为半径的圆，(1)设设 k k，即即ykx，当直线当直线yk kx与圆相切时与圆相切时，斜率斜率k k取最大值和最小值取最大值和最小值，此此时时 ，解之得解之得k k .故故 的最大值为的最大值为 ，最小值为最小值为 .(2)设设yxb，即即yxb，当当yxb与圆相切时，纵截距与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值取得最大值和最小值，此时此时 ，即，即b2 .
15、故故yx的最大值为的最大值为2 ，最小值为最小值为2 .(3)x2y2表示圆上点与原点距离的平方，由平面几何知识知它在原点与圆心表示圆上点与原点距离的平方，由平面几何知识知它在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为2，故，故(x2y2)max(2 )274 ，(x2y2)min(2 )274 .变式变式2：已知点已知点P(x，y)是圆是圆(x2)2y21上任意一点上任意一点(1)求求P点到直线点到直线3x4y120的距离的最大值和最小值的距离的最大值和最小值；(2)求求x2y的最大值和最小值的最大值和最小值
16、；(3)求求 的最大值和最小值的最大值和最小值解：解：(1)圆心圆心C(2,0)到直线到直线3x4y120的距离为的距离为d P点到直线点到直线3x4y120的距离的最大值为的距离的最大值为dr 1 ，最小值为最小值为dr 1 .(2)设设tx2y，则直线，则直线x2yt0与圆与圆(x2)2y21有公共点，有公共点， 1. 2t 2，tmax 2，tmin2 .故故x2y的最大值为的最大值为 2，最小值为，最小值为2 .(3)设设k k ，则直线，则直线kxyk20与圆与圆(x2)2y21有公共点，有公共点，求与圆有关的轨迹问题，充分利用圆的几何特征，借助图形，寻找动点满求与圆有关的轨迹问题，
17、充分利用圆的几何特征，借助图形，寻找动点满足的几何条件足的几何条件【例【例3】 (2010山东烟台模拟山东烟台模拟)过点过点A(a,0)引圆引圆x2y2a2的弦交圆于的弦交圆于P1点，求点，求弦弦P1A的中点的中点M的轨迹方程的轨迹方程思路点拨：思路点拨：有关弦的中点问题，大多利用中点与圆心连线垂直于弦的性质有关弦的中点问题，大多利用中点与圆心连线垂直于弦的性质解决解决解：解：如右图如右图，M是弦是弦AP1的中点的中点，OMAM，M在以在以OA为直径的圆上为直径的圆上，其圆心为其圆心为 ，半径为，半径为 ，设设M的坐标为的坐标为(x，y)，则则M满足满足 2y2 .M在圆在圆x2y2a2的内部
18、的内部，xa，故弦故弦P1A的中点的中点M的轨迹方程为的轨迹方程为 2y2 (xa)变式变式3：由动点由动点P向圆向圆x2y21引两条切线引两条切线PA、PB，切点分别为切点分别为A、B，APB60，则动点则动点P的轨迹方程为的轨迹方程为_解析：解析：由题意可知，由题意可知，OA1，APB60APO30，则，则PO 2，设，设P(x，y)，则，则 2x2y24.答案：答案：x2y24【规律方法总结规律方法总结】1求一个圆的方程需要三个独立的条件，待定系数法是求圆的方程的基本方法，求一个圆的方程需要三个独立的条件，待定系数法是求圆的方程的基本方法，应熟练掌握，如果由已知条件易求圆心坐标、半径或需
19、要圆心坐标列方程，应熟练掌握，如果由已知条件易求圆心坐标、半径或需要圆心坐标列方程，常选用圆的标准方程；如果所求圆与圆心、半径关系不密切时常选用圆的标准方程；如果所求圆与圆心、半径关系不密切时(如已知圆过三如已知圆过三点等条件点等条件)，常选用圆的一般方程，常选用圆的一般方程2与圆有关的轨迹问题，可根据题设条件选择适当方法与圆有关的轨迹问题，可根据题设条件选择适当方法(如直接法、定义如直接法、定义 法、转移法等法、转移法等)，有时还需要结合其他方法，如交轨法、消参法，有时还需要结合其他方法，如交轨法、消参法3处理有关圆的问题，要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用，如处理有关圆的问题，要特别
20、注意圆心、半径及平面几何知识的应用，如 弦心距、半径、弦长的一半构成的直角三角形经常用到，利用圆的一些弦心距、半径、弦长的一半构成的直角三角形经常用到，利用圆的一些 特殊几何性质解题，往往使问题简化特殊几何性质解题，往往使问题简化. 【例【例4】 求圆心在直线求圆心在直线5x3y8上上，且与两坐标轴相切的圆的标准方程且与两坐标轴相切的圆的标准方程【错因分析】【错因分析】本题可以设出圆心坐标、圆的半径，通过建立方程组解决圆与两坐标轴相本题可以设出圆心坐标、圆的半径，通过建立方程组解决圆与两坐标轴相切实际上是给出了圆心和半径所满足的两个几何条件，即圆心到坐标轴的距切实际上是给出了圆心和半径所满足的
21、两个几何条件，即圆心到坐标轴的距离等于圆的半径并且圆心的纵横坐标的绝对值相等，本题容易出错的地方就离等于圆的半径并且圆心的纵横坐标的绝对值相等，本题容易出错的地方就是把这个条件理解错，以为只要圆心的纵横坐标相等即可，这样就漏掉了一是把这个条件理解错，以为只要圆心的纵横坐标相等即可，这样就漏掉了一个解个解 【答题模板答题模板】解：解：设所求圆的方程为设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2.圆与两坐标轴相切，圆与两坐标轴相切，ab，r|a|.又又圆心圆心(a，b)在直线在直线5x3y8上，上，5a3b8， 所求圆的方程为：所求圆的方程为： (x4)2(y4)216或或 (x1)2(y1)21.
22、【状元笔记状元笔记】确定圆的要素是圆心和半径，求圆的方程时只要把圆心和半径求确定圆的要素是圆心和半径，求圆的方程时只要把圆心和半径求出来即可，一般是根据题目给出的已知条件通过联立关于圆心坐出来即可，一般是根据题目给出的已知条件通过联立关于圆心坐标和半径的方程组解决解题时注意把几何条件转化为方程组时标和半径的方程组解决解题时注意把几何条件转化为方程组时要准确无误，几何条件和代数方程要等价，在列出方程组后，解要准确无误，几何条件和代数方程要等价，在列出方程组后，解方程组要准确，防止计算结果出错方程组要准确，防止计算结果出错. 1已知两点已知两点P1(4,9)和和P2(6,3)，求以，求以P1P2为
23、直径的圆的方程为直径的圆的方程分析：方法一分析：方法一：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数法解决可用待定系数法解决方法二：方法二：直接利用结论写出圆的方程直接利用结论写出圆的方程解：解法一解：解法一：设圆心：设圆心C(a，b)，半径半径r，则由则由C为为P1P2的中点得的中点得a 5，b 6.又由两点间的距离公式得又由两点间的距离公式得r|CP1| ，所求圆的方程为所求圆的方程为(x5)2(y6)210.解法二解法二：以：以P1P2为直径的圆的方程为为直径的圆的方程为(x4)(x6)(y9)(y3)0，即即(x5)2(y6)210.2已知方
24、程已知方程x2y22(m3)x2(14m2)y16m490表示圆表示圆 (1)求实数求实数m的取值范围；的取值范围；(2)求该圆半径求该圆半径r的取值范围；的取值范围；(3)求圆心的轨迹方程求圆心的轨迹方程 分析：分析：(1)已知方程是圆，则满足已知方程是圆，则满足D2E24F0，利用此不等式可列出关于，利用此不等式可列出关于m的的不等式，从而求出不等式，从而求出m的取值范围；的取值范围；(2)利用公式求出半径利用公式求出半径r，再利用二次函数求出，再利用二次函数求出r的取值范围；的取值范围；(3)利用圆心的公式利用圆心的公式 求出圆心的坐标，再消去参数求出圆心的坐标，再消去参数m，即得圆心的轨迹方程即得圆心的轨迹方程 解：解：(1)由由D2E24F0即即4(m3)24(14m2)24(16m49)0，所以所以 m1. (3)设圆心设圆心C(x，y)，则有则有 消去消去m可得可得y4(x3)21， 因为因为 m1， 所所以以 x4，故所求的轨迹方程为故所求的轨迹方程为y4(x3)21 .点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册