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1、一、带状线的特性阻抗 带线传输带线传输TEMTEM波，特性阻抗是研究的主要问题，其波，特性阻抗是研究的主要问题，其求解框图如下求解框图如下: :特性阻抗ZLC0ZLCC0ZvCvL01 其中其中v v是传输线中的光速，一般有是传输线中的光速，一般有 是所填充的介质，于是一般的特性阻抗问题可是所填充的介质，于是一般的特性阻抗问题可转化为求电容转化为求电容C C的问题的问题。 ,rcvsmc/100 . 38r0CfCfCpCpWCfCf图图 21-2 21-2 带线电容带线电容带线电容分成板间电容带线电容分成板间电容C Cp p和边缘电容和边缘电容C Cf f。 W Wb b愈大，愈大，C C愈
2、大，特性阻抗愈大，特性阻抗Z Z0 0愈小。愈小。 W Wb b愈大，愈大，C Cf f影响愈小。影响愈小。 带线研究的主要内容如下框图带线研究的主要内容如下框图一、带状线的特性阻抗带线研究的主要问题带线研究的主要问题一、带状线的特性阻抗二、保角变换和Schwarz变换A 1. 1. 变换变换(Transform)(Transform)和不变性和不变性 变换已经为大家所熟悉。但是，对于不变性变换已经为大家所熟悉。但是，对于不变性可能不被人们重视。事实上，变换中的不变性是非可能不被人们重视。事实上，变换中的不变性是非常重要的科学思想，常重要的科学思想，2020世纪的数学王子世纪的数学王子Hilb
3、ert(Hilbert(希希尔伯特尔伯特) )其早期的主要业绩之一是对不变量的研究。其早期的主要业绩之一是对不变量的研究。 坐标旋转时，任一矢量坐标旋转时，任一矢量 的长度不变，更一般的长度不变，更一般的表述：的表述： 内积不变，相对论中内积不变，相对论中LorentzLorentz变换进变换进一步推广成一步推广成x x2 2y y2 2z z2 2c c2 2t t2 2 = constant= constant四维空间的长度不变，也是光速不变的体现。四维空间的长度不变，也是光速不变的体现。PA BxyOqxy图图 21-3 21-3 坐标旋转坐标旋转 坐标旋转时，任一矢量坐标旋转时，任一矢
4、量 的长度不变，更一般的表的长度不变，更一般的表述：述： 内积不变，相对论中内积不变，相对论中LorentzLorentz变换进一步推变换进一步推广成广成APA B二、保角变换和Schwarz变换x x2 2y y2 2z z2 2c c2 2t t2 2 = constant= constant四维空间的长度不变，也是光速不变的体现四维空间的长度不变，也是光速不变的体现 2. 2. 保角变换概念保角变换概念 保角变换是复变保角变换是复变( (解析解析) )函数变换函数变换w w = = f f( (z z) = ) = u ujvjv二、保角变换和Schwarz变换 它的物理概念表示由某一图
5、形从它的物理概念表示由某一图形从z z平面变到平面变到w w平面，平面，其中其中w=fw=f( (z z) )是解析函数。在电磁保角变换中，是解析函数。在电磁保角变换中，w w称为复称为复位位 w w = = u ujvjv其中，若其中，若u u表示等位线，则表示等位线，则v v表示力线；反之，表示力线；反之，u u表示力表示力线，则线，则v v表示等位线。表示等位线。 性质性质1 1解析函数解析函数w=u+jvw=u+jv满足满足222222222200uuxuyvvxvy(21-1)二、保角变换和Schwarz变换 证明证明 解析函数满足解析函数满足Cauchy-RiemanCauchy-
6、Rieman条件条件 uxvyuxvy xuyvxuyvx yu 2222220性质性质2 2W=u+jvW=u+jv是解析函数，则等位线是解析函数，则等位线 u u( (x, yx, y)=)=c c1 1和力线和力线v v( (x, yx, y)=)=c c2 2在在z z平面必须相互正交。平面必须相互正交。 证明证明 正交条件是正交条件是tgtg121 (21-2) 二、保角变换和Schwarz变换由图由图21-521-5可见：可见： uu=c1c1xvOv=c2c221y图图 21-521-5二、保角变换和Schwarz变换1221212 ()2tgctg 21- 2即为（）式现在现在
7、dydxc11 tg而根据而根据u u( (x, yx, y)=)=c c1 1，有，有uxxxuyyxdydxuxvyu c 011tg二、保角变换和Schwarz变换同理可得同理可得dydxvxuyu c 22tg于是于是tgtg121 uxvxuyvy 上述两个性质说明解析函数可以表征电磁复位，上述两个性质说明解析函数可以表征电磁复位，变换时变换时u, vu, v正交即正交即保角保角。 二、保角变换和Schwarz变换 性质性质3 3保角变换把保角变换把z z平面上一个由力线和等位线构成平面上一个由力线和等位线构成的一个区域变换到的一个区域变换到w w平面的一个力线和等位线构成的对平面的
8、一个力线和等位线构成的对应区域，两者之间电容相等。应区域，两者之间电容相等。OOyvv2v2v1v1g1g1g2g2xu图图 21-621-6二、保角变换和Schwarz变换证明因为电容定义证明因为电容定义CqqVV2121(21-3)而变换时等位线和力线一一对应，即而变换时等位线和力线一一对应，即qqqqVVVV,21212121 于是于是Cz=Cw 所以，保角变换的实质是希望利用变换中电容的不所以，保角变换的实质是希望利用变换中电容的不变性，把难于计算的复杂区域电容变成便于计算的变性，把难于计算的复杂区域电容变成便于计算的简单区域电容。简单区域电容。二、保角变换和Schwarz变换从上面论
9、述可以总结出保角变换计算电容的条件从上面论述可以总结出保角变换计算电容的条件 保角变换必须是二维问题符合保角变换必须是二维问题符合LaplaceLaplace方程方程(TEM(TEM波传输线波传输线) ) 必须在等位问题必须在等位问题( (注意到导体是等位的注意到导体是等位的) )和和一定的力线区域内计算一定的力线区域内计算 通过某种变换，有可能变成简单区域通过某种变换，有可能变成简单区域3. Schwarz3. Schwarz多角形变换多角形变换 这是在实际工程中应用最为广泛的一种变这是在实际工程中应用最为广泛的一种变换。换。 二、保角变换和Schwarz变换dwdzA zazazaAzaa
10、anaiainni()()()()112111112(21-4)上面所及即标准的上面所及即标准的Schwarz-ChrictoffelSchwarz-Chrictoffel变换。变换。 OOyvxa1a1b1a2a2b2a3a3b3u二、保角变换和Schwarz变换三、零厚度带线的特性阻抗Z0 问题的提法：根据问题的提法：根据 ，把求特性阻抗的问题，把求特性阻抗的问题转化为求电容的问题，而且考虑到对称性，只需要求转化为求电容的问题，而且考虑到对称性，只需要求解解 ZvC01 ，见图，再按两倍电容计算。，见图，再按两倍电容计算。 12C0v+1v0v图图 21-821-8 由由z z平面变换到平
11、面变换到t t平面平面ztzt平面保角变换平面保角变换 jb2jb2 jb2 jb2 jb21k1k2222对应点对应点复平面复平面ABCDEFAz00t101a 2 三、零厚度带线的特性阻抗Z0其中其中k k1 1。 yw/2tixAAABBCCDDEEFF+1v+1v-111/k- /k1oo0v0v0v0vtr图图 21-9 21-9 z-tz-t平面的保角变换平面的保角变换根据根据SchwarzSchwarz多角形变换，有多角形变换，有zAtttkdtBt12222012111()(21-5)三、零厚度带线的特性阻抗Z0 2. 2. t t平面向平面向w w平面变换平面变换t-wt-w
12、平面保角变换平面保角变换 1k1k2222对应点复平面ABCDEFAt101wjKK+jKK0KK+jKjKa 三、零厚度带线的特性阻抗Z0 又根据又根据SchwarzSchwarz变换变换wAdttk tBl222 22011()()(21-6)其中其中K K是第一类完全椭圆积分。定义是是第一类完全椭圆积分。定义是K kFkdttk t( ),()() 21122 201 (21-7)对于对于(21-6)(21-6)式，根据式，根据D D点的边界条件点的边界条件B2=0三、零厚度带线的特性阻抗Z0又根据又根据E E点的边界条件点的边界条件K kAdttk t( )()()222 20111则
13、可知则可知A A2 2。再根据再根据F F点的边界条件点的边界条件yvAABBCCDEEFF+1v+1voo0v0vxuAA三、零厚度带线的特性阻抗Z0K kdttk tk( )()()1122 201我们设，我们设， 称称k k为为k k的余模数。的余模数。112 22222 k tk tkk ,且11011111222222222 对应 tktdtk tk tdttk tkktk () 三、零厚度带线的特性阻抗Z0于是于是K kk tk tdtkktk tdtkttdttk t( )( ) ( )( )( )2222222012012220111111可见，可见，K K( (k k) )也
14、是第一类完全椭圆积分，只是模数换也是第一类完全椭圆积分，只是模数换成成k k的余模数的余模数k k。3. 3. 电容电容C C计算计算 根据保角变换关于电容根据保角变换关于电容C C的不变性，可以直接由的不变性，可以直接由w w平面算出平面算出三、零厚度带线的特性阻抗Z0CsdK kK kw2 ( )( )(21-8)复原到带线全平面复原到带线全平面C=2CW 最后特性阻抗最后特性阻抗ZvCK kK kK kK k0144( )( )( )( )ZK kK kr030( )( )(21-9)三、零厚度带线的特性阻抗Z0kWb th(/)2(21-10)在微波工程实际上，有一个精度很高的近似式在
15、微波工程实际上，有一个精度很高的近似式K kK kkkkk( )( )lnln121112111(21-11) 采用上述公式可避免计算椭圆积分，近似度高于采用上述公式可避免计算椭圆积分，近似度高于8/100008/10000。三、零厚度带线的特性阻抗Z0 附 录APPENDIXkthWb2从从z-tz-t变换可知变换可知zAtdtttkBAdttktkB12221011242221011112111()见数学手册见数学手册P263P263dxaxbxcaaxbaaxbxcC22122ln可以知道可以知道zAtkttktkkB 1221121111111222222221ln()lnz-tz-t
16、变换的对应点关系变换的对应点关系 附 录tzWzBW0221,BW12tzzAkkW 10211112012,lnlnAWkk1221111lnln2211ln211ln22,112221AjWkAkAzbjzktbAbjAjz1122123 附 录 在这个变换中，共有三个待定常数在这个变换中，共有三个待定常数A A1 1，B B1 1和和k k，正，正好上面有三个独立的对应点条件。求出好上面有三个独立的对应点条件。求出A A1 1，B B1 1和和k k。 根据根据2 2，3 3条件条件WkkbAln111 于是得到于是得到ln11 kkWb 附 录 也即也即 kWbth2如果考虑中间步骤有如果考虑中间步骤有1111222222kkekeeeeeeWbWbWbWbWbWbWbWbWbshch 附 录PROBLEMS 21PROBLEMS 21 若理想三端环行器的特性是若理想三端环行器的特性是13211321试写试写出其出其S S散射矩阵。散射矩阵。 已知魔已知魔T T特性如图特性如图 001100111100110021S求：求：(1) 3(1) 3端口输入时的输出情况。端口输入时的输出情况。 (2) 4(2) 4端口输入时的输出情况。端口输入时的输出情况。