2022年指数函数、对数函数、幂函数教师版推荐 .pdf

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1、一：教学目标1. 指数函数(1) 通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景；(2) 理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. (3) 理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；(4) 在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。2. 对数函数(1) 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；(2) 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重

2、要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3. 反函数知道指数函数与对数函数互为反函数 (a 0，a1). 4. 幂函数(1) 了解幂函数的概念；(2) 结合函数的图象，了解它们的变化情况. 二：教学重难点教学重点指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理. 教学难点指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -

3、- - - 第 1 页，共 22 页 - - - - - - - - - 三：基础知识知识点一：指数函数及其性质1. 指数函数概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 2. 指数函数函数性质：函数名称指数函数定义函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，. 奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -

4、 - - - - 第 2 页，共 22 页 - - - - - - - - - 知识点二：对数与对数运算1. 对数的定义(1) 若，则叫做以为底的对数， 记作，其中叫做底数，叫做真数 . (2) 负数和零没有对数. (3) 对数式与指数式的互化：. 2. 几个重要的对数恒等式，. 3. 常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即( 其中,). 4. 对数的运算性质如果，那么加法：减法：数乘：换底公式：知识点三：对数函数及其性质1. 对数函数定义名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -

5、 - - 第 3 页，共 22 页 - - - - - - - - - 一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域. 2. 对数函数性质：函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，. 奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小 . 知识点四：反函数1. 反函数的概念名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，

6、共 22 页 - - - - - - - - - 设函数的定义域为， 值域为， 从式子中解出，得式子. 如果对于在中的任何一个值， 通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成. 2. 反函数的性质(1) 原函数与反函数的图象关于直线对称 . (2) 函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域. (3) 若在原函数的图象上， 则在反函数的图象上 . (4) 一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数. 3. 反函数的求法(1) 确定反函数的定义域，即原函数的值域；(2) 从原函数式中反解出；(3) 将改写成，并注明反函数的定义域. 知

7、识点五：幂函数1. 幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数 . 2. 幂函数的性质(1) 图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象 . 幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限( 图象关于轴对称 ) ；是奇函数时，图象分布在第一、三象限( 图象关于原点对称) ；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限. (2) 过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点. (3) 单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5

8、 页，共 22 页 - - - - - - - - - 上为增函数 . 如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴. (4) 奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数， 当为偶数时，幂函数为偶函数. 当( 其中互质，和) ，若为奇数为奇数时， 则是奇函数， 若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数. (5) 图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方 . 四、规律方法指导思维总结1（其中）是同一数量关系的三种不同表示形式， 因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好

9、的形式进行运算 . 在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同底；2要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验；3解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识；4指数、 对数函数值的变化特点是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析；5含有参数

10、的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1 或小于 1分类；6在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 22 页 - - - - - - - - - 基础达标一、选择题1下列函数与有相同图象的一个函数是( ) ABCD2下列函数中是奇函数的

11、有几个( ) A1B2C 3 D4 3函数与的图象关于下列那种图形对称( ) A轴B轴C直线D原点中心对称4已知，则值为 ( ) ABCD. 5 （2011江西文 3）若，则的定义域为 ( ) ABCD6三个数的大小关系为 ( ) A. B. CD. 7若，则的表达式为 ( ) ABCD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 22 页 - - - - - - - - - 二、填空题8从小到大的排列顺序是_. 9化简的值等于 _. 10计算：=_. 11已知，则的值

12、是 _. 12方程的解是 _. 13函数的定义域是 _；值域是 _. 14判断函数的奇偶性 _. 三、解答题15已知求的值 . 16计算的值 . 17已知函数,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性、单调性. 18.(1)求函数的定义域；(2)求函数的值域 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 22 页 - - - - - - - - - 答案与解析一、选择题1.D ，对应法则不同；. 2.D 对于，为奇函数；对于，显然为奇函数；显然也为奇函数；对于，为奇函数 .

13、 3.D 由得，即关于原点对称. 4.B . 5.C . 6.D 当范围一致时，；当范围不一致时，注意比较的方法，先和比较，再和比较. 7.D 由得. 二、填空题8名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 22 页 - - - - - - - - - ，而. 9.16 . 10.-2 原式. 11.0 ，. 12.-1 . 13.；. 14.奇函数三、解答题15解：. 16解：原式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -

14、- - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 22 页 - - - - - - - - - 17解：且，且，即定义域为；为奇函数；在上为减函数 . 18解： (1)，即定义域为；(2)令，则，即值域为. 高考题萃1.(北京文、理 )函数的反函数的定义域为( ) A.B.C.D.2.(全国 2 理)以下四个数中的最大者是( ) A.(ln2)2B.ln(ln2) C.lnD.ln2 3.（ 2011 湖北理2） 已知，则ABCD4.(江苏 )设是奇函数，则使的的取值范围是 ( ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -

15、- - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 22 页 - - - - - - - - - A.B.C.D.5.(天津理 )设均为正数，且则( ) A.B.C.D.6.（ 2011北京文 3） 如果，那么A.B.C.D.7.(山东理 )设 a1，1，3 ，则使函数的定义域为R 且为奇函数的所有值为 ( ) A.1，3 B.1，1C.1，3 D.1，1，3 8.(江苏 )设函数定义在实数集上，它的图象关于直线=1 对称，且当时，=，则有 ( ) A.B.C.D. 9.(湖南文、理 )函数的图象和函数的图象的交点个数是 ( ) A.4B.3 C

16、.2 D.1 10.(四川文、理 )函数=与=在同一直角坐标系下的图象大致是( ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 22 页 - - - - - - - - - 11.(全国文、理 )设，函数=在区间上的最大值与最小值之差为，则=( ) A.B.2C.2D.4 12.(山东临沂模拟理)若，且，则与之间的大小关系是 ( ) A.B.C.D.无法确定13.(全国1 文、理 )函数的图象与函数的图象关于直线对称，则_. 14.(上海理 )函数的定义域为 _.

17、15.(江西理 )设函数，则其反函数的定义域为_. 16.(上海理 )方程的解是 _. 17.(四川理 )若函数(是自然对数的底数)的最大值是， 且是偶函数，则_. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 22 页 - - - - - - - - - 18.(江苏南通模拟)设(且)，若(, )，则的值等于 _. 19.(江苏常州模拟)将函数的图象向左平移一个单位，得到图象C1，再将C1向上平移一个单位得到图象C2，则 C2的解析式为 _. 20.(江苏无锡模拟)

18、给出下列四个命题：函数(且)与函数(且)的定义域相同；函数和的值域相同；函数与都是奇函数；函数与在区间上都是增函数. 其中正确命题的序号是：_.(把你认为正确的命题序号都填上) 21.(江苏连云港模拟)直线()与函数、的图像依次交于 A、B、C、D 四点，则这四点从上到下的排列次序是_. 22.(海南大联考模拟文、理)已知 lgx+lgy=2lg(x 2y)，求的值 . 23.(宁夏大联考模拟理)根据函数的图象判断：当实数为何值时，方程无解？有一解？有两解？24.(山东淄博模拟理)已知是方程 xlgx=2008 的根，是方程 x 10 x=2008 的根，求的值 . 名师资料总结 - - -精

19、品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 22 页 - - - - - - - - - 25.(江苏苏州模拟)已知. (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性； (3)求使的的取值范围 . 26.(广东广州模拟理)已知函数(). (1)求的定义域、值域；(2)判断的单调性；(3)解不等式. 答案与解析1.B 解析： 函数的反函数的定义域为原函数的值域，原函数的值域为. 考点透析： 根据指数函数在对应区间的值域问题，结合原函数与反函数的定义域与值域之间的关系处理对应反函数的定义域问题. 2.D

20、 解析：， ln(ln2)0 ，(ln2)2ln2 ，而ln=ln2ln2 ，最大的数是 ln2. 考点透析： 根据对数函数的基本性质判断对应函数值的大小关系，一般是通过介值(0，1 等一些特殊值)结合对数函数的特殊值来加以判断. 3.A 解析： . ，；又，=故选 A。考点透析： 从对数函数与幂函数的单调性入手，解答相关的不等式，再根据集合的运算加以分析和判断，得出要求的集合. 4.A 解析： 由，得，. 考点透析： 根据对数函数中的奇偶性问题，结合对数函数的性质，求解相关的不等式问名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - -

21、- 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 22 页 - - - - - - - - - 题，要注意首要条件是对数函数的真数必须大于零的前提条件. 5.A 解 析 ： 由可 知， 由可 知， 由可 知，从而. 考点透析： 根据指、 对数函数的性质及其相关的知识来处理一些数或式的大小关系是全面考察多个基本初等函数比较常用的方法之一.关键是掌握对应函数的基本性质及其应用. 6. D 解析： 因为，所以。又函数在定义域内是单调递减的，所以，故选 D。7.A 解析： 观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项. 考点透析： 根据幂函数的性质加以比较，从而得以判断.熟练掌握一些常

22、用函数的图象与性质，可以比较快速地判断奇偶性问题.特别是指数函数、对数函数、幂函数及其一些简单函数的基本性质. 8.B 解析： 当时，=，其图象是函数向下平移一个单位而得到的，时图象部分，如图所示，又函数的图象关于直线=1 对称，那么函数的图象如下图中的实线部分，即函数在区间上是单调减少函数，又=， 而， 则有，即. 考点透析： 利用指数函数的图象结合题目中相应的条件加以分析，通过图象可以非常直名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 22 页 - - - - -

23、 - - - - 观地判断对应的性质关系. 9.B 解析： 函数的图象和函数的图象如下：根据以上图形，可以判断两函数的图象之间有三个交点. 考点透析： 作出分段函数与对数函数的相应图象，根据对应的交点情况加以判断.指数函数与对数函数的图象既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映函数的性质，在解题过程中，充分发挥图象的工具作用.特别注意指数函数与对数函数的图象关于直线对称.在求解过程中注意数形结合可以使解题过程更加简捷易懂. 10.C 解析：函数=的图象是由函数的图象向上平移1 个单位而得来的；又由于=，则函数=的图象是由函数的图象向右平移1 个单位而得来的；故两函数在同一直角坐标系下的图象大

24、致是：C. 考点透析： 根据函数表达式与基本初等函数之间的关系，结合函数图象的平移法则，得出相应的正确判断. 11.D 解析： 由于，函数=在区间上的最大值与最小值之差为，那么=，即=，解得，即=4. 考点透析： 根据对数函数的单调性，函数=在区间的端点上取得最值，由知函数在对应的区间上为增函数. 12.A 解析： 通过整体性思想，设，我们知道当时，函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 22 页 - - - - - - - - - 与函数在区间上都是减函数

25、， 那么函数在 区 间上 也 是 减 函 数 ， 那 么 问 题 就 转 化 为， 由 于 函 数在区间上也是减函数，那么就有. 考点透析：这个不等式两边都由底数为的指数函数与对数函数组成，且变量又不相同，一直很难下手.通过整体思维，结合指数函数与对数函数的性质加以分析，可以巧妙地转化角度，达到判断的目的. 13.； 解析： 函数的图象与函数的图象关于直线对称，则与函数互为反函数，. 考点透析： 对数函数与指数函数互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称，在实际应用中经常会碰到，要加以重视. 14.； 解析：. 考点透析：考察对数函数中的定义域问题，关键是结合对数函数中的真数大于零的条件，结

26、合其他相关条件来分析判断相关的定义域问题. 15.5， + )； 解析： 反函数的定义即为原函数的值域，由x3 得 x-12，所以，所以 y 5，反函数的定义域为5，+)，填 5，+). 考点透析： 根据互为反函数的两个函数之间的性质：反函数的定义即为原函数的值域，结合对应的对数函数的值域问题分析相应反函数的定义域问题. 16.； 解析：(舍去 )，. 考点透析： 求解对应的指数方程，要根据相应的题目条件，转化为对应的方程加以分析求解，同时要注意题目中对应的指数式的值大于零的条件. 17.1； 解析：，设，此时是减函数，则最大值是，又是偶函数，则，. 考点透析： 根据函数的特征， 结合指数函数

27、的最值问题，函数的奇偶性问题来解决有关的参数，进而解得对应的值.研究指数函数性质的方法，强调数形结合，强调函数图象研究性质中的作用 ,注意从特殊到一般的思想方法的应用，渗透概括能力的培养. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 22 页 - - - - - - - - - 18.3 ；解 析 ： 由 于=1，而=3=3 考点透析： 根据对数函数的关系式，以及对数函数的特征加以分析求解对应的对数式问题，关键是加以合理地转化. 19.； 解析： 将函数的图象向左平

28、移一个单位，得到图象C1所对应的解析式为； 要此基础上， 再将 C1向上平移一个单位得到图象C2，则 C2的解析式为. 考点透析： 根据函数图象平移变换的规律加以分析判断平移问题，一般可以结合 “左加右减，上减下加”的规律加以应用. 20.、；解析： 在中，函数(且)与函数(且)的定义域都是R， 则结论正确； 在中，函数的值域为 R，的值域为，则结论错误；在中，函数与都是奇函数，则结论正确；在中，函数在上是增函数，在 R 上是增函数，则结论错误. 考点透析： 综合考察指数函数、对数函数、幂函数的定义、定义域、值域、函数性质等相关内容 . 21.D、C、B、A； 解析： 结合四个指数函数各自的图

29、象特征可知这四点从上到下的排列次序是 D、C、B、A. 考点透析： 结合指数函数的图象规律，充分考察不同的底数情况下的指数函数的图象特征问题，加以判断对应的交点的上下顺序问题. 22.思路点拨： 考虑到对数式去掉对数符号后，要保证x0，y0，x2y0 这些条件成立 .假如 x=y，则有 x2y= x0，这与对数的定义不符，从而导致多解. 解析： 因为 lgx+lgy=2lg(x 2y)，所以 xy=(x 2y)2，即 x2 5xy+4y2=0，所以 (xy)(x4y)=0 ，解得 x=y 或 x=4y，又因为 x0，y0，x2y0，所以 x=y 不符合条件，应舍去，所以=4，即=4. 考点透析

30、： 在对数式logaN 中，必须满足a0，a1 且 N0 这几个条件 .在解决对数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 22 页 - - - - - - - - - 问题时，要重视这几个隐含条件，以免造成遗漏或多解. 23.思路点拨： 可以充分结合指数函数的图象加以判断.可以把这个问题加以转换，将求方程的解的个数转化为两个函数与的图象交点个数去理解. 解析： 函数的图象可由指数函数的图象先向下平移一个单位，然后再作轴下方的部分关于轴对称图形，如下图所示，函数的

31、图象是与轴平行的直线，观察两图象的关系可知：当时，两函数图象没有公共点，所以方程无解；当或时，两函数图象只有一个公共点，所以方程有一解；当时，两函数图象有两个公共点，所以方程有两解 . 考点透析： 由于方程解的个数与它们对应的函数图象交点个数是相等的，所以对于含字母方程解的个数讨论，往往用数形结合方法加以求解，准确作出相应函数的图象是正确解题的前提和关键 . 24.思路点拨：观察此题，易看到题中存在和，从而联想到函数与.而可以看成和交点的横坐标，同样可看成和交点的横坐标，若利用函数与的对称性，此题便迎刃而解了. 解析： 令，设其交点坐标为，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -

32、- - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 22 页 - - - - - - - - - 同样令，它与的交点的横坐标为，由于反比例函数关于直线对称，则有和关于直线对称，点即点应该在函数上，所以有=2008. 考点透析： 中学数学未要求掌握超越方程的求解，故解题中方程是不可能的.而有效的利用指数函数和对数函数的性质进行解题此题就不难了，否则此题是一个典型的难题.以上求解过程不能算此题超纲. 25.思路点拨： 根据对数函数的特征，分析相应的定义域问题，同时结合指数函数的特征，综合分析值域与单调性问题，综合反函数、 不等式等

33、相关内容，考察相关的不等式问题. 解析： (1)，即，等价于，得，所以的定义域是；(2)=，所以，即为奇函数；(3)由，得，当时，有，解得；当时，有，解得；故当时，；当时，. 考点透析： 主要考查指数函数与对数函数相关的定义域、值域、图象以及主要性质，应用指数函数与对数函数的性质比较两个数的大小，以及解指数不等式与对数不等式等. 26.思路点拨： 根据对数函数的特征，分析相应的定义域问题，同时结合指数函数的特征，综合分析值域与单调性问题，综合反函数、 不等式等相关内容，考察相关的不等式问题. 解析： (1)要使函数()有意义，则需要满足，即，又，解得，所以所求函数的定义域为；名师资料总结 -

34、- -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 22 页 - - - - - - - - - 又，即，所以所求函数的值域为；(2)令，由于，则在上是减函数，又是增函数，所以函数在上是减函数；(3)设，则，所以，即，所以函数的反函数为，由于，得，由于，则，即，所以，解得，而函数的定义域为，故原不等式的解集为. 考点透析： 主要考查指数函数与对数函数相关的定义域、值域、图象以及主要性质，应用指数函数与对数函数的性质比较两个数的大小，以及解指数不等式与对数不等式等. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 22 页 - - - - - - - - -