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1、学习必备欢迎下载【专题二】分类讨论思想分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。1分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则。有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：（1）涉及的数学概念是分类讨论的；如绝对值|a| 的定义分a0、 a0、a2 时分 a0、a0 和 a0) ，圆半径 |ON|=1 ， |MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|21，设点 M 的坐标为
2、（ x，y） ，则，整理得：，经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P，故这个方程为所求的轨迹方程。当 =1 时，方程化为， 它表示一条直线， 该直线与x 轴垂直且交x 轴于点；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页学习必备欢迎下载当 1 时，方程化为，它表示圆，该圆圆心的坐标为，半径为。点评： 本题在求出轨迹方程之后，在判定为何曲线时，因参数引起了分类讨论：一些问题中的数学表达式中因含有会导致不同结论的参数，从而需对参数分情况讨论，求得问题的结果。题型 4：不等式中分类讨论问题例 7解不等式()()xaxaa4621
3、0 (a 为常数， a 12) 分析：含参数的不等式，参数a 决定了 2a1 的符号和两根4a、6a 的大小，故对参数a 分四种情况a0、a0、12a0、a0 时， a12；4a0 。所以分以下四种情况讨论：当 a0 时， (x4a)(x6a)0，解得： x6a；当 a0 时， x20，解得： x0 ；当12a0，解得 : x4a；当 a12时， (x 4a)(x6a)0，解得：6ax0 时， x6a；当 a0 时， x0 ；当12a0 时， x4a；当 a12时， 6ax0 或a0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1
4、 与1a谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。题型 5：数列中分类讨论问题例 9（2011 天津理 20） 已知数列na与nb满足：1123( 1)0,2nnnnnnnb aabab，*nN，且122,4aa（）求345,aa a的值； （）设*2121,nnncaanN，证明：nc是等比数列； （III）设*242,kkSaaakN证明：4*17()6nkkkSnNa本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分 14 分. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
5、纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页学习必备欢迎下载（I）解：由*3( 1),2nnbnN可得1,nnb为奇数2,n 为偶数又1120,nnnnnb aaba123123234434543;5;4.当n=1时,a +a +2a =0,由a =2,a =4,可得a当n=2时,2a +a +a =0,可得a当n=3时,a +a +2a =0,可得a（II）证明：对任意*,nN2122120,nnnaaa2212220,nnnaaa21222320,nnnaaa，得223.nnaa将代入，可得21232121()nnnnaaaa，即*1()nnccnN又1131,0,ncaa
6、故c因此11,nnnccc所以是等比数列 . （III）证明：由（II）可得2121( 1)kkkaa，于是，对任意*2kNk且，有13355723211,()1,1,( 1) ()1.kkkaaaaaaaa将以上各式相加，得121( 1)(1),kkaak即121( 1)(1)kkak，此式当 k=1 时也成立 .由式得12( 1)(3).kkak从而22468424()()(),kkkSaaaaaak21243.kkkSSak精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页学习必备欢迎下载所以，对任意*,2nNn，4434
7、2414114342414()nnkmmmmkmkmmmmSSSSSaaaaa12221232()2222123nmmmmmmmmm123()2 (21)(22)(22)nmmmmm22532 32 (21)(22)(23)nmmmnn21533(21)(21)(22)(23)nmmmnn151111113()()()3235572121(22)(23)nnnn15513362 21(22)(23)7.6nnn对于 n=1，不等式显然成立. 所以，对任意*,nN2121212212nnnnSSSSaaaa32121241234212()()()nnnnSSSSSSaaaaaa22211121(
8、1)(1)(1)41244(41)4(41)nnn22211121()()()41244 (41)44 (41)nnnnn111().4123nn点评：数列证明中的数学归纳法是一个需要牢记的分类递进推理过程，证明格式相对严格、规范。例 10 （2010 四川理数）已知数列an 满足 a10，a22，且对任意m、nN*都有 a2m1a2n12amn12( mn)2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页学习必备欢迎下载（）求a3， a5； （）设bna2n1a2n1( nN*) ，证明： bn 是等差数列； （）设cn(
9、 an+1an) qn1( q0，nN*) ，求数列 cn的前 n 项和 Sn。解： ( 1) 由题意，零m2, n1, 可得 a3 2a2a126，再令m 3, n1，可得a52a3a1 820。( 2) 当 nN*时，由已知 ( 以 n2 代替 m) 可得： a2n3a2n12a2n18。于是 a2(n1) 1a2(n1) 1 ( a2n1a2n1) 8，即bn1bn8。所以 bn是公差为8 的等差数列( 3) 由( 1)( 2) 解答可知 bn是首项为b1a3a16, 公差为 8 的等差数列则 bn8n2，即 a2n+=1a2n18n2另由已知 (令 m1) 可得： an2112naa-
10、( n1)2. 那么 an1an21212nnaa2n1822n2n12n于是 cn2nqn1. 当 q1 时， Sn246 2nn( n1) 当 q1 时， Sn2q04 q16q2 2nqn1. 两边同乘以q，可得qSn2q14 q26q3 2nqn. 上述两式相减得 (1 q) Sn 2( 1 q q2 qn1) 2nqn 211nqq 2nqn211(1)1nnnqnqq，所以 Sn212(1)1(1)nnnqnqq综上所述， Sn12(1)(1)(1)12(1)(1)nnn nqnqnqqq。点评：等比数列的求和公式只适合于1q，特别公比q中含参数时，需要分类讨论。题型 6：三角函数
11、与三角形中分类讨论问题例 11ABCABC中，已知，求sincoscos12513解析：051322cosBBABC，且为的一个内角，45901213BB，且 sin，若为锐角，由，得，此时AAAAsincos123032；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页学习必备欢迎下载若为钝角，由，得，此时AAAABsin12150180；这与三角形的内角和为180 相矛盾。可见 A150，coscos()cos()CABABcoscossinsinABAB32513121213125 326由于 CAB()coscos()
12、coscossinsinCABABAB，因此，只要根据已知条件，求出cosA，sinB即可得 cosC的值。但是由sinA 求 cosA 时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论。对角A 进行分类。例 12若函数 f(x)=a+bcosx+csinx的图象经过点 (0，1)和20,x),1 ,2(且时，|f(x)| 2恒成立，求实数a的取值范围。解析： f(x)经过点 (0，1)和1)2(，a1cb1ca)2f(1baf(0)f(x)=a+(1-a)cosx+(1-a)sinx=a+(1-a)(sinx+cosx)4a)sin(x-(12a2x0，434x4，1)4x
13、sin(22。(1)a0，12(1)sin()2(1)4aaxaa)a1(2)x(f1要使 -2f(x)2，恒成立，只要2a)a1(2，即2a。a1-2a1又，从而；(2)a=1 时，-2,21f(x)(3)a1 时， 1-a8,a=8,a8，根据条件，逐一讨论，使问题得以解决精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页学习必备欢迎下载【思维总结】分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种重要的解题策略，它可以将整体化为局部，将复杂问题化为单一问题，以便于“ 各个击破 ” 。但由于分类讨论一般过程较为冗长，叙述较为烦琐， 且极
14、易在完备上造成失误，因此它并非一定是解决问题的上策或良策，我们提倡在熟悉和掌握分类思想的同时，要注意克服思维定势，处理好“ 分” 与 “ 合” ，“ 局部 ” 与“ 整体 ” 之间的辨证统一关系，充分挖掘求解问题中潜在的特殊性与简单性，尽可能地简化或避免分类讨论。 下面结合一些实例，谈谈简化分类讨论的常用策略。消去参数、 整体换元、 反客为主、补集分析、整体变形、借助图解。1对于分类讨论题不要急于直接进行分类讨论，首先应认真审查题目的特点，考虑是否可以你用合适的公式、法则，能否进行某中变形，可否改变常规的思维方式和解题策略，即能否消除或掩盖“ 讨论基因 ” ，若能，则可以避免进行繁杂的分类讨论
15、；若不能，可否先作某些等价变换， 使讨论推迟得来，这种延迟讨论有时也是一种简化和一种进步。当然，有些问题，你通过了一番试验，仍无法作到完全回避讨论或延迟讨论，这可能是“ 不可避免的直接讨论型 ” 问题，这是我们就应遵循分类讨论的原则去攻克它。2实际应用题（排列组合）中分类讨论往往带有隐蔽性，理解题意，抓住限制条件，准确把握分类对象和标准是解决问题的关键。如果发现多种分类途径，则应加强比较， 从中选择最为合理的分类途径。3分类的原则是不重复不遗漏，即将讨论的对象分为若干类时，其并集为全集，两两的交集为空集。4分类对象，即使问题变换不定的变动因素；分类的标准，即使变换不定的问题转化为相对稳定问题的分类界值，分类对象和分类标准的确定，应通过识别问题情景来完成。5应该注意的是，在运用时，不要盲目或机械地进行分类讨论，有的题目虽然含有分类因素， 但不要急于分类讨论，要首先对问题作深入的研究，充分挖掘题目的已知量与未知量之间的关系， 寻求正确的解题策略， 则可以简化分类讨论的步骤或避免不必要的分类讨论，使解题更简单。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页