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1、备课资料备选例题【例1】判断下列集合是有限集还是无限集,并用适当的方法表示:(1)被3除余1的自然数组成的集合;(2)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合;(3)二次函数y=x2+2x-10的图象上的所有点组成的集合;(4)设a、b是非零实数,求y=的所有值组成的集合.思路分析：本题主要考查集合的表示法和集合的分类.用列举法与描述法表示集合时,一要分清元素是什么,二要明确元素满足的条件是什么.解：(1)被3除余1的自然数有无数个,这些自然数可以表示为3n+1(nN).用描述法表示为x|x=3n+1,nN.(2)由题意得满足条件的正整数有:3,5,7,11,13,17,19.则此集
2、合中的元素有7个,用列举法表示为3,5,7,11,13,17,19.(3)满足条件的点有无数个,则此集合中有无数个元素,可用描述法来表示.通常用有序数对(x,y)表示点,那么满足条件的点组成的集合表示为(x,y)|y=x2+2x-10.(4)当ab0时,则a0,b0或a0,b0,b0,则有y=3;若a0,b5的解集,这些都是集合.还有,我们学过的圆的定义是什么？(提问学生)圆是到一个定点的距离等于定长的点的集合.接着点出课题.推进新课新知探究提出问题教师利用多媒体设备向学生投影出下面实例,这5个实例的共同特征是什么?(1)120以内的所有质数;(2)我国古代的四大发明;(3)所有的安理会常任理
3、事国;(4)所有的正方形;(5)北京大学2004年9月入学的全体学生.活动：教师组织学生分小组讨论,每个小组选出一位同学发表本组的讨论结果,在此基础上,师生共同概括出5个实例的特征,并给出集合的含义.引导过程:一般地,指定的某些对象的全体称为集合(简称为集),集合中的每个对象叫做这个集合的元素.集合常用大写字母A,B,C,D,表示,元素常用小写字母a,b,c,d,表示.集合的表示法:a.自然语言(5个实例);b.字母表示法.集合元素的性质:a.确定性:即任给一个元素和一个集合,那么这个元素和这个集合的关系只有两种:这个元素要么属于这个集合,要么不属于这个集合;b.互异性:一个给定集合的元素是互
4、不相同的,即集合中的元素是不重复出现的;c.无序性:集合中的元素是没有顺序的.集合相等:如果两个集合中的元素完全相同,那么这两个集合是相等的.元素与集合的关系:“属于”和“不属于”分别用“”和“”表示.元素确定性的符号语言表述为:对任意元素a和集合A,要么aA,要么aA.在初中我们学过了一些数的集合,国际标准化组织(ISO)制定了常用数集的记法:自然数集(包含零):N,正整数集:N*(N+),整数集:Z,有理数集:Q,实数集:R.因此字母N、Z、Q、R不能再表示其他的集合,否则会出现混乱的局面.提出问题(1)请列举出“小于5的所有自然数组成的集合A”.(2)你能写出不等式2-x3的所有解吗？怎
5、样表示这个不等式的解集？活动：学生回答后,教师指出:在数学中,为书写规范,我们把封闭曲线简化为一个大括号,然后把元素一一列举出来,元素与元素之间用逗号隔开写在大括号内来表示这个集合.这种表示集合的方法称为列举法.如本例可表示为A=0,1,2,3,4.描述法:将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成x|p(x)的形式.其中x为元素的一般特征,p(x)为x满足的条件.如数集常用x|p(x)表示,点集常用(x,y)|p(x,y)表示.应用示例思路11.课本第3页例1.思路分析：用相应的数学知识明确集合中的元素,再写在大括号内.点评：本题主要考查集合表示法中的列举法.如果一个集合是有限
6、集,并且元素的个数较少时,通常选择列举法表示,其特点是非常显明地表示出了集合中的元素,是常用的表示法;列举法表示集合的步骤:(1)用字母表示集合;(2)明确集合中的元素;(3)把集合中所有元素写在大括号“”内,并写成A=的形式.变式训练请试一试用列举法表示下列集合:(1)A=xN|且N;(2)B=y|y=-x2+6,xN,yN;(3)C=(x,y)|y=-x2+6,xN,yN.分析:本题考查列举法与描述法的相互转化.明确各个集合中的元素后再写在大括号内.(1)集合A中元素x满足均为自然数;(2)集合B中y值为函数y=-x2+6的函数值的集合;(3)集合C中元素为点,抛物线上横、纵坐标均为自然数
7、的点.答案：(1)A=0,6,8;(2)B=2,5,6;(3)C=(0,6),(1,5),(2,2).2.课本第4页例2.思路分析：本题重点学习用描述法表示集合.用一个小写英文字母表示集合中的元素,作为集合中元素的代表符号,找到集合中元素的共同特征,并把共同特征用数学符号来表达,然后写在大括号“”内.点评：本题主要考查集合的表示方法,以及应用知识解决问题的能力;描述法表示集合的步骤:(1)用字母分别表示集合和元素,(2)用数学符号表达集合元素的共同特征;(3)在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.并写成A=|的形式;
8、描述法适合表示有无数个元素的集合,当集合中的元素个数较少时,通常用列举法表示.变式训练课本P5练习2.思路21.下列所给对象不能构成集合的是( )A.一个平面内的所有点B.所有大于零的正数C.某校高一(4)班的高个子学生D.某一天到商场买过货物的顾客思路分析：本题考查集合中元素的确定性.由集合的含义,可知组成集合的元素必须是明确的,不能模棱两可.在A中对于任何一个点要么在这个平面内,要么不在这个平面内,因而它可以组成一个集合;在B中由于大于零的正数很明确,因此B也能组成一个集合;C中由于“高个子”没有一个确定的标准,因而不能判定一个学生到底是不是高个子,故它不能组成集合;而D中对于任何一个顾客
9、在这一天是否到过某商场,以及是否买过货物是非常明确的,因此它也能组成一个集合.答案：C变式训练下列各组对象中不能构成集合的是( )A.高一(1)班全体女生B.高一(1)班全体学生家长C.高一(1)班开设的所有课程D.高一(1)班身高较高的男同学分析:判断所给对象能否构成集合的问题,只需根据构成集合的条件,即集合中元素的确定性便可以解决.因为A、B、C中所给对象都是确定的,从而可以构成集合;而D中所给对象不确定,原因是找不到衡量学生身高较高的标准,故不能构成集合.若将D中“身高较高的男同学”改为“身高175 cm以上的男同学”,则能构成集合.答案：D2.用另一种形式表示下列集合:(1)绝对值不大
10、于3的整数;(2)所有被3整除的数;(3)x|x=|x|,xZ且x0,y0,xZ,yZ.思路分析：用列举法与描述法表示集合时,一要分清元素是什么,二要明确元素满足的条件是什么.答案：(1)绝对值不大于3的整数还可以表示为x|x|3,xZ,也可表示为-3,-2,-1,0,1,2,3.(2)x|x=3n,nZ.(3)x=|x|,x0.又xZ且x5,x|x=|x|,xZ且x5还可以表示为0,1,2,3,4.(4)-2.(5)(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1).变式训练用适当的形式表示下列集合:(1)绝对值不大于3的整数组成的集合;(2)所有被3整除的数组成的集合;(3)方程(
11、3x-5)(x+2)(x2+3)=0实数解组成的集合;(4)一次函数y=x+6图象上所有点组成的集合.分析:元素较少的有限集宜采用列举法;对无限集或元素较多的有限集宜采用描述法.答案：(1)x|x|3,xZ或-3,-2,-1,0,1,2,3;(2)x|x=3n,nZ;(3),-2;(4)(x,y)|y=x+6.3.已知集合A=x|ax2-3x+2=0,aR,若A中至少有一个元素,求a的取值范围.思路分析：对于方程ax2-3x+2=0,aR的解,要看这个方程左边的x2的系数,a=0和a0方程的根的情况是不一样的,则集合A的元素也不相同,所以首先要分类讨论.解：当a=0时,原方程为-3x+2=0x
12、=,符合题意;当a0时,方程ax2-3x+2=0为一元二次方程,则解得a0且a.综上所得a的取值范围是a|a.4.用适当的方法表示下列集合:(1)方程组的解集;(2)1000以内被3除余2的正整数所组成的集合;(3)直角坐标平面上在第二象限内的点所组成的集合;(4)所有正方形;(5)直角坐标平面上在直线x=1和x=-1的两侧的点所组成的集合.分析:本题考查集合的表示方法.所谓适当的表示方法,就是较简单、较明了的表示方法.由于方程组的解为x=4,y=-2.故(1)宜用列举法;(2)中尽管是有限集,但由于它的元素个数较多,所以用列举法表示是不明智的,故用描述法;(3)和(5)也宜用描述法;而(4)
13、则宜用列举法为好.解：(1)(4,-2);(2)x|x=3k+2,kN且x1000;(3)(x,y)|x0;(4)正方形;(5)(x,y)|x.知能训练课本P5练习1、2.拓展提升1.已知A=xR|x=,abc0,用列举法表示集合A.分析:解决本题的关键是去掉绝对值符号,需分类讨论.解：题目中x的取值取决于a、b、c的正负情况,可分成以下几种情况讨论:(1)a、b、c全为正时,x=7;(2)a、b、c两正一负时,x=-1;(3)a、b、c一正两负时,x=-1;(4)a、b、c全为负时,x=-1.A=7,-1.注意：(2)、(3)中又包括多种情况(a、b、c各自的正负情况),解题时应考虑全面.2
14、.已知集合C=x|x=a+b,aA,bB.(1)若A=0,1,2,3,B=6,7,8,9,求集合C中所有元素之和S;(2)若A=0,1,2,3,4,2 005,B=5,6,7,8,9,试用代数式表示出集合C中所有元素之和S;(3)联系高斯求S=1+2+3+4+99+100的方法,试求出(2)中的S.思路分析：先用列举法写出集合C,然后解决各个小题.答案：(1)列举法表示集合C=6,7,8,9,10,11,12,进而易求得S=6+7+8+9+10+11+12=63.(2)列举法表示集合C=5,6,7,2 013,2 014,由此可得S=5+6+7+2 013+2 014.(3)高斯求S=1+2+
15、3+4+99+100时,利用1+100=2+99=3+98=50+51=101,进而得S=1+2+3+4+99+100=10150=5 050.本题(2)中S=5+6+7+2 013+2 014=2 0191 005=2 029 095.课堂小结在师生互动中,让学生了解或体会下列问题:(1)本节课我们学习过哪些知识内容?(2)你认为学习集合有什么意义？(3)选择集合的表示法时应注意些什么?设计感想本节课是集合的起始课,采用教师启发引导,学生探究学习的教学方法,通过创设情境,引导探究,师生交流,最终形成概念,获得方法.作业1.课本P11习题1.1A组4.2.元素与集合的关系有多少种？如何表示？类
16、似地集合与集合间的关系又有多少种呢？如何表示？请同学们通过预习课本来解答.(设计者：韩双影)模块纵览课标要求1.知识与技能认识和理解集合、映射、函数、幂函数、指数函数、对数函数等概念,认识和理解它们的有关性质和运算.具有一定的把函数应用于实际的能力.2.过程与方法通过背景的给出,通过经历、体验和实践探索过程的展现,通过数学思想方法的渗透,让学生体会过程的重要,并在过程中学习知识,同时领会一定的数学思想和方法.3.情感、态度与价值观教育的根本目的是育人.通过对本模块内容的教学,使学生在学习和运用知识的过程中提高对数学学习的兴趣,并在初中函数的学习基础上,对数学有更深刻的感受,提高说理、批判和质疑
17、精神,形成锲而不舍追求真理的科学态度和习惯,树立良好的情感态度和价值观.内容概述本模块共三章:第一章集合与函数概念;第二章基本初等函数();第三章函数的应用.本模块为了用集合与对应的语言刻画函数概念,先在第一章给出集合的有关概念、表示、关系和运算等;然后从函数实例出发深化函数概念及其表示,并研究映射概念;进而又给出了函数的性质:单调性、最值、奇偶性,这也是对函数的深化;接下来再回到特殊的函数几个基本初等函数,继续认识函数,本模块重点涉及了指数函数、对数函数、幂函数;最后专门给出了函数在数学和实际中的一些应用实例,使函数的价值得到体现,也是进一步巩固函数的概念,更加强了数学应用.概括地说,本模块
18、的核心内容是“函数”.函数是描述现实世界最重要、最常用的数学模型,是贯穿整个高中数学的纽带,是学生进一步学习的准备,是未来公民的必需,因此,整个模块以函数作为中心,以函数思想作为指导思想.本模块无论是数还是形都用函数观点来研究,研究它们的变化及其规律.对方程的认识和研究,也是从函数出发,把它与两个函数相结合,把它的解看成两个函数图象的交点的横坐标.这里把函数作为整体来认识,方程则被看成是包含于函数的局部.教学建议教师,对数学应该有自己深入的想法,只有教师深入了才能有教学的浅出;教师,对于教学也应该有自己的想法,唯其有自己的想法,才能发挥自己的特长,教出具有独到想法的学生.1.抓住核心,重点突破
19、由于函数是本模块的重点和核心,因此教师要重视函数的教学,向学生贯彻函数的数学思想,逐步让学生掌握学会函数,更会用函数的思想去解决数学和实际问题.函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质,教学中可引导学生联系生活常识,尝试列举具体函数,构建函数的一般定义.要注意：构成函数的要素和相同函数的含义,函数的三种表示法的联系、区别与适用性,分段函数的意义,映射的概念和判断.教学中应强调对函数概念本质的理解,在求函数定义域、值域时,要控制难度.2.用课本教,而非教课本普通高中数学课程标准是在基础教育课程改革纲要(试行)的指导下编写的,是数学学科教育目标的具体化,体现数学学科对学生最起
20、码的要求,是编制高考大纲的依据,是数学教学和培养学生数学素质的主要依据,具有指导性.普通高中数学课程标准的目标是包含“双基”在内的三维发展目标:知识与技能,过程与方法,情感、态度与价值观.在这种教学过程中,课本仅仅是一种学习工具,是课程标准的具体化,课本内容仅仅是帮助学生实现三维发展目标的一种载体,并不要求学生将课本内容全部掌握.由于高中数学课本版本的多样化,高考数学只能依据高中数学课程标准而不是某个版本的课本来命题.因此在处理新课标课本时,首先要考虑高中数学课程标准的培养目标和具体要求.就课本来说,版本不同,对课程标准的理解就有不同,其处理的方式也就不同,因此,在教学中,要深入钻研课程标准、
21、课本、学生,找准三者的连接点.这样在新课程改革的形势下,课本仅仅是教学的素材,在教学过程中,以课本为依托,把课本当作指导教学的素材和蓝本,创造性地使用、改造课本,最终突破课本,即变“教课本”为“用课本教”,树立“用课本教”的课本观.同时这也要求提醒学生,不要把课本看得过于神圣.3.把学生当成学习的主人独立自主地思考是学习数学的需要,但是合作交流更不能少.在课堂上,教师尽量不要大包大揽,以先知先觉出现,把结论告诉学生,而是推出判断,引导学生独立思考,并在此基础上进行合作和交流,努力实现师生的互动,这是课标的要求也是时代发展的必然.4.强调应用,突出提出、分析和解决问题的能力数学是美的,这正是数学
22、使人兴趣盎然、乐此不疲之处.数学的美,有两个方面:一是其中的思维之美,内在的逻辑和运用逻辑的机智,外在的形式,莫不充满着思维之美;另一方面则是它的作用,它在方方面面的应用.新课标要求强化数学应用,在应用中,应该特别重视实践能力和创造能力的培养;在教学中,要重视动手和一题多解的能力.第一章 集合与函数概念本章教材分析通过本章的学习,使学生会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象,并能在自然语言、图形语言、集合语言之间进行转换,体会用集合语言表达数学内容的简洁性、准确性,帮助学生学会用集合语言描述数学对象,发展学生运用数学语言进行交流的能力.通过本章的学习,使学生不仅把函数看成变量之间的依赖关系,
23、同时还会用集合与对应的语言刻画函数,为后续学习奠定基础.函数是高中数学的核心概念,本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习,强调结合实际问题,使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法,从而发展学生对变量数学的认识,培养学生的抽象概括能力,增强学生应用数学的意识.课本力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识,通过列举丰富的实例,强调从实例出发,让学生对集合和函数概念有充分的感性认知基础,再用集合与对应语言抽象出函数概念.课本突出了集合和函数概念的背景教学,这样比较符合学生的认识规律.教学中要高度重视数学概念的背景教学.课本尽量创设使学生运用集合语言和数学符号进行表达和交流的情境和
24、机会,并注意运用Venn图表达集合的关系及运算,用图象表示函数,帮助学生借助直观图示认识抽象概念.课本在例题、习题的教学中注重运用集合和函数的观点研究、处理数学问题,这一观点,一直贯穿到以后的数学学习中.在例题和习题的编排中,渗透了分类讨论思想,让学生体会到分类讨论思想在生活中和数学中的广泛运用,这是学生在初中阶段所缺少的.函数的表示是本章的主要内容之一,课本重视采用不同的表示法(列表法、图象法、分析法),目的是丰富学生对函数的认识,帮助理解抽象的函数概念.在教学中,既要充分发挥图象的直观作用,又要适当地引导学生从代数的角度研究图象,使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法.课本将函数推广到了映
25、射,体现了由特殊到一般的思维规律,有利于学生对函数概念学习的连续性.在教学中,要坚持循序渐进,逐步渗透数形结合、分类讨论这方面的训练.对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解,而对定义域、值域的繁难计算,特别是人为的过于技巧化的训练不作提倡,要准确把握这方面的要求,防止拔高教学.重视函数与信息技术整合的要求,通过电脑绘制简单函数动态图象,使学生初步感受到信息技术在函数学习中的重要作用.为了体现课本的选择性,在练习题安排上加大了弹性,教师应根据学生实际情况,合理地取舍.本章教学时间约需13课时,具体分配如下(仅供参考):1.1.1集合的含义与表示约1课时1.1.2集合间的基本关系约1课时1.1.
26、3集合的基本运算约2课时1.2.1函数的概念约2课时1.2.1函数的表示法约3课时1.3.1单调性与最大约2课时1.3.2奇偶性约1课时本章复习约1课时1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示整体设计教学分析集合论是现代数学的一个重要的基础.在高中数学中,集合的初步知识与其他内容有着密切的联系,是学习、掌握和使用数学语言的基础.课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发,结合实例给出元素、集合的含义,课本注重体现逻辑思考的方法,如抽象、概括等.值得注意的问题:由于本小节的新概念、新符号较多,建议教学时先引导学生阅读课本,然后进行交流,让学生在阅读与交流中理解概念并熟悉新符号的使用
27、.在信息技术条件较好的学校,可以利用网络平台让学生交流学习概念后的认识;也可以由教师给出问题,让学生读后回答问题,再由教师给出评价.这样做的目的是培养学生主动学习的习惯,提高阅读与理解、合作与交流的能力.在处理集合问题时,根据需要,及时提示学生运用集合语言进行表述.三维目标1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题,提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识.2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的应用意识.重点难点教学重点:集
28、合的基本概念与表示方法.教学难点:选择恰当的方法表示一些简单的集合.课时安排1课时设计方案（一）教学过程导入新课思路1.军训前学校通知:8月15日8点,高一年级学生到操场集合进行军训.试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念集合.思路2.首先教师提出问题:在初中,我们已经接触过一些集合,你能举出一些集合的例子吗?引导学生回忆、举例和互相交流自己举的例子.与此同时,教师对学生的活动给予评价.接着教师指出:那么,集合的含义是什么呢?这就是我们这一
29、堂课所要学习的内容.推进新课新知探究提出问题请我们班的全体女生起立！接下来问:“咱班的所有女生能不能构成一个集合啊？”下面请班上身高在1.75以上的男生起立！他们能不能构成一个集合啊？其实,生活中有很多东西能构成集合,比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等.那么,大家能不能再举出一些生活中的实际例子呢?请你给出集合的含义.如果用A表示高一(3)班全体学生组成的集合,用a表示高一(3)班的一位同学,b是高一(4)班的一位同学,那么a、b与集合A分别有什么关系?由此看见元素与集合之间有什么关系？世界上最高的山能不能构成一个集合？世界上的高山能不能构成一个集合？问题说明集合中的元素具有什么性质
30、？由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？问题说明集合中的元素具有什么性质？由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记为N,这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具有什么性质？由此类比实数相等,你发现集合有什么结论？讨论结果：能.能.我们把研究的对象统称为“元素”,那么把一些元素组成的总体叫“集合”.a是集合A的元素,b不是集合A的元素.学生得出元素与集合的关系有两种:属于和不属于.能,是珠穆朗玛峰.不能.确定性.给定的集合,它的元素必须是明确的,即任何一个元素要么在这个集合中,要么不在这个集合中,这就是集合的确定性.3个.互异性.一个给定集合的元素是互不相同的,即
31、集合中的元素是不重复出现的,这就是集合的互异性.集合M和N相同.这说明集合中的元素具有无序性,即集合中的元素是没有顺序的.可以发现:如果两个集合中的元素完全相同,那么这两个集合是相等的.提出问题阅读课本P3中:数学中一些常用的数集及其记法.快速写出常见数集的记号.活动：先让学生阅读课本,教师指定学生展示结果.学生写出常用数集的记号后,教师强调:通常情况下,大写的英文字母N、Z、Q、R不能再表示其他的集合,这是专用集合表示符号,类似于110、119等专用电话号码一样.以后,我们会经常用到这些常见的数集,要求熟练掌握.讨论结果：常见数集的专用符号.N:非负整数集(或自然数集)(全体非负整数的集合)
32、;N*或N+:正整数集(非负整数集N内排除0的集合);Z:整数集(全体整数的集合);Q:有理数集(全体有理数的集合);R:实数集(全体实数的集合).提出问题前面所说的集合是如何表示的？阅读课本中的相关内容,并思考:除字母表示法和自然语言之外,还能用什么方法表示集合？集合共有几种表示法?活动：学生回顾所学的集合并作出总结.教师提示可以用字母或自然语言来表示.教师可以举例帮助引导:例如,24的所有正约数构成的集合,把24的所有正约数写在大括号“”内,即写出为1,2,3,4,6,8,12,24的形式,这种表示集合的方法是列举法.注意：大括号不能缺失;有些集合所含元素个数较多,元素又呈现出一定的规律,
33、在不至于发生误解的情况下,亦可用列举法表示,如:从1到100的所有整数组成的集合:1,2,3,100,自然数集N:0,1,2,3,4,n,;区分a与a:a表示一个集合,该集合只有一个元素,a表示这个集合的一个元素;用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序;相同的元素不能出现两次.又例如,不等式x-32的解集,这个集合中的元素有无数个,不适合用列举法表示.可以表示为xR|x-32或x|x-32,这种表示集合的方法是描述法.让学生思考总结已经学习了的集合表示法.讨论结果：方法一(字母表示法):大写的英文字母表示集合,例如常见的数集N、Q,所有的正方形组成的集合记为A等等;方法二(自然语言):用文字
34、语言来描述出的集合,例如“所有的正方形”组成的集合等等.列举法:把集合中的全部元素一一列举出来,并用大括号“”括起来表示集合,这种表示集合的方法叫做列举法;描述法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.注:在不致混淆的情况下,也可以简写成列举法的形式,只是去掉竖线和元素代表符号,例如:所有直角三角形的集合可以表示为x|x是直角三角形,也可以写成直角三角形.表示一个集合共有四种方法:字母表示法、自然语言、列举法、描述法.应用示例思路11.下列各组对象不能组成
35、集合的是( )A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数 D.函数y=图象上所有的点活动：学生先思考、讨论集合元素的性质,教师指导学生此类选择题要逐项判断.判断一组对象能否构成集合,关键是看是否满足集合元素的确定性.在选项A、C、D中的元素符合集合的确定性;而选项B中,难题没有标准,不符合集合元素的确定性,不能构成集合.答案：B变式训练1.下列条件能形成集合的是( )A.充分小的负数全体 B.爱好足球的人C.中国的富翁 D.某公司的全体员工答案：D2.2007浙江宁波高三第一次“十校联考”,理1在数集2x,x2-x中,实数x的取值范围是.分析:实数x的取值满足集合元素
36、的互异性,则2xx2-x,解得x0且x3,实数x的取值范围是x|x0或0x3.答案：x|x0或0x3点评：本题主要考查集合的含义和元素的性质.当所指的对象非常明确时就能构成集合,若元素不明确,没有判断的标准就不能构成集合.2.用列举法表示下列集合:(1)小于10的所有自然数组成的集合;(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合;(3)由120以内的所有质数组成的集合.活动：学生先思考或讨论列举法的形式,展示解答过程.当学生出现错误时,教师及时加以纠正.利用相关的知识先明确集合中的元素,再把元素写入大括号“”内,并用逗号隔开.所给的集合均是用自然语言给出的.提示学生注意以下方面:(1)自然数中包含
37、零;(2)解一元二次方程有公式法和分解因式法,方程x2=x的根是x=0,x=1;(3)除去1和本身外没有其他约数的正整数是质数,120以内的所有质数是2、3、5、7、11、13、17、19.解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么A=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.(2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B,那么A=0,1.(3)设由120以内的所有质数组成的集合为C,那么C=2,3,5,7,11,13,17,19.点评：本题主要考查集合表示法中的列举法.通过本题可以体会利用集合表示数学内容的简洁性和严谨性,以后我们尽量用集合来表示数学内容.如果一个集合是有限集,并且元
38、素的个数较少时,通常选择列举法表示,其特点是非常显明地表示出了集合中的元素,是常用的表示法;列举法表示集合的步骤:(1)用字母表示集合;(2)明确集合中的元素;(3)把集合中所有元素写在大括号“”内,并写成A=的形式.变式训练用列举法表示下列集合:(1)所有绝对值等于8的数的集合A;(2)所有绝对值小于8的整数的集合B.答案：(1)A=-8,8;(2)B=-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7.3.试分别用列举法和描述法表示下列集合:(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合;(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.活动：先让学生回顾列举法表示集合的步
39、骤,思考描述法的形式,再找学生到黑板上书写.当学生出现错误时,教师指导学生书写过程.用描述法表示集合时,要用数学符号表示集合元素的特征.大于10小于20的所有整数用数学符号可以表示为10x20,xZ.(重点引导用描述法表示集合)用描述法表示集合时,用一个小写英文字母表示集合中的元素,作为集合中元素的代表符号,找到集合中元素的共同特征,并把共同特征用数学符号来表达,然后写在大括号“”内,在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.在(1)中利用条件中现有元素代表符号x,集合中元素的共同特征就是满足方程x2-2=0.在(2)的
40、条件中没有元素代表符号,故要先设出,用一个小写英文字母表示即可;集合中元素的共同特征有两个:一是大于10小于20(用不等式表示),二是整数(用元素与集合的关系符号“”来表示).解：(1)设方程x2-2=0的实根为x,它满足条件x2-2=0,因此,用描述法表示为A=xR|x2-2=0.方程x2-2=0的两个实数根为,因此,用列举法表示为A=,.(2)设大于10小于20的整数为x,它满足条件xZ,且10x20,因此,用描述法表示为B=xZ|10x20.大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19,因此,用列举法表示为B=11,12,13,14,15,16,17,18
41、,19.描述法表示集合的步骤:(1)用字母分别表示集合和元素;(2)用数学符号表达集合元素的共同特征;(3)在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.并写成A=|的形式.描述法适合表示有无数个元素的集合.注意：当集合中的元素个数较少时,通常用列举法表示,否则用描述法表示.思路21.(1)A=1,3,判断元素3,5和集合A的关系,并用符号表示.(2)所有素质好的人能否表示为集合?(3)A=2,2,4表示是否准确?(4)A=太平洋,大西洋,B=大西洋,太平洋是否表示同一集合?活动：如果学生没有解题思路,让学生思考以下知识:(
42、1)元素与集合的关系及其符号表示;(2)集合元素的性质;(3)两个集合相同的定义.解：(1)根据元素与集合的关系有两种:属于()和不属于(),知3属于集合A,即3A,5不属于集合A,即5A.(2)由于素质好的人标准不可量化,不符合集合元素的确定性,故A不能表示为集合.(3)表示不准确,不符合集合元素的互异性,应表示为A=2,4.(4)因其元素相同,A与B表示同一集合.变式训练1.数集3,x,x2-2x中,实数x满足什么条件?解：集合元素的特征说明3,x,x2-2x中元素应满足即也就是即满足x-1,0,3.2.方程ax2+5x+c=0的解集是,则a=_,c=_.分析:方程ax2+5x+c=0的解
43、集是,那么、是方程的两根,即有得那么a=-6,c=-1.答案：6 -13.集合A中的元素由关于x的方程kx2-3x+2=0的解构成,其中kR,若A中仅有一个元素,求k的值.解：由于A中元素是关于x的方程kx2-3x+2=0(kR)的解,若k=0,则x=,知A中有一个元素,符合题设;若k0,则方程为一元二次方程,当=9-8k=0即k=时,kx2-3x+2=0有两相等的实数根,此时A中有一个元素.综上所述k=0或k=.4.2006山东高考,理1定义集合运算:AB=z|z=xy(x+y),xA,yB,设集合A=0,1,B=2,3,则集合AB的所有元素之和为( )A.0 B.6 C.12 D.18分析:xA,x=0或x=1.当x=0,yB时,总有z=0;当x=1时,若x=1,y=2时,有z=6;当x=1,y=3时,有z=12.综上所得,集合AB的所有元素之和为0+6+12=18.答案：D注意：判断元素与此集合的关系时,用列举法表示的集合,只需观察这个元素是否在集合中即可.用符号,表示,注意这两个符号的左边写元素,右边写集合,不能互换它们的位置,否则没有意义.如果有明确的标准来判断元素在集合中,那么这些元素就能构成集合,否则不能构成集合.用列举法表示的集合,直接观察它们的元素是否完全相同,如果完全相同,那么这两个集合就相等,否则不