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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date第4章-受弯构件正截面承载力计算-自学笔记(精)第4章-受弯构件正截面承载力计算-自学笔记(精)第4章 受弯构件正截面承载力计算 4.1 概述什么是受弯构件？受弯构件是指在外力作用下截面主要承受弯矩和剪力、或虽承受轴力但其影响很小而忽略不计的构件。土木工程领域哪些属于受弯构件？房屋结构中各种类型的梁、板以及楼梯和过梁；厂房中的屋面梁、吊车梁；铁路、公路中的钢筋混凝土桥
2、梁等都属于受弯构件。受弯构件起什么作用？主要是将竖向荷载通过受弯构件传递到竖向支承构件上。 受弯构件的破坏性态？受弯破坏和受剪破坏。其中由弯矩引起的破坏往往发生在弯矩最大处且与梁板轴线垂直的正截面上，故称之为正截面受弯破坏。受弯构件的设计需要进行哪些计算和验算？1承载能力极限状态计算，即保证构件安全的截面承载力计算。2正常使用极限状态验算，即保证受弯构件适用性和耐久性方面的验算，包括裂缝宽度和变形验算。除进行上述两类计算和验算外，还必须满足梁板构件的构造要求，以保证其防火防锈蚀、施工易操作、以及保证钢筋与混凝土的粘结力传递。4.2 梁板结构的一般构造1梁、板截面的形式与尺寸梁、板截面的常用形式
3、如图42所示；梁板截面的尺寸，我国规范也有相关规定，对于板，有最小厚度的要求；对于梁，其截面尺寸根据其跨度来决定。这部分内容比较容易，请大家自学教材中的对应部分。图4-1 受弯构件常用截面形状2混凝土强度的确定普通混凝土受弯构件的抗弯承载力对于混凝土强度的敏感性不是很强，现浇梁板的混凝土强度等级采用C20C35即可，预制梁板为了减轻自重可采用较高的强度等级。3钢筋的选用一般现浇梁板常用的钢筋强度等级为HPB235、HRB335钢筋。对受弯承载力起着决定作用的是钢筋强度，为节约钢材，HRB400钢筋也越来越受到广泛的应用。板中的钢筋主要有哪些类型？受力钢筋和分布钢筋。 板中的受力钢筋主要配置在受
4、弯方向，承受弯矩；板中的分布钢筋配置在非主要受力方向或支座位置。分布钢筋布置与受力钢筋垂直，交点用细铁丝绑扎或焊接，其作用是固定受力钢筋的位置并将板上荷载分散到受力钢筋上，同时也能防止混凝土由于收缩和温度变化在垂直于受力钢筋方向产生裂缝。梁中的钢筋主要有哪些类型？纵向受力钢筋、弯起钢筋、箍筋和架立钢筋。 什么是单筋梁和双筋梁？当计算只需在受拉区配置纵筋，在梁受压区外缘两侧按构造配置架立钢筋时，称为单筋梁。若在受压区配有纵向受压钢筋则形成双筋截面梁。4混凝土最小保护层厚度及有效高度 （1 混凝土保护层为防止钢筋锈蚀和保证钢筋与混凝土的粘结，梁、板的受力钢筋均应有足够的混凝土保护层。混凝土保护层应
5、从受力纵筋的外边缘起算。混凝土规范对受力钢筋的混凝土保护层最小厚度有明确的要求。（2 截面的有效高度计算梁、板承载力时，因为混凝土开裂后，拉力完全由钢筋承担，力偶力臂的形成只与受压混凝土边缘至受拉钢筋截面重心的距离有关，这一距离称为截面有效高度，用h 0表示。在室内正常环境下，设计计算时h 0可近似按如下数值采用。梁：一排钢筋时h 0=h -a s ，a s 一般可取35mm ； 二排钢筋时h 0=h -a s ，a s 一般可取60mm ； 板：h 0=h -a s ，a s 一般取20mm ；4.3 梁正截面受弯承载力的试验研究4.3.1 适筋梁正截面受弯的三个阶段1适筋梁的试验通过试验对
6、比发现，当梁所配纵筋比较适当时，梁从受拉区混凝土开裂到纵筋屈服、受压区混凝土压碎，发展过程有阶段性，便于人们发现和控制，这种梁称为适筋梁。图4-2是一简支的矩形截面试验梁。在梁中距支座为距离a 的两个对称处加载，荷载为P 。在跨度的中部形成纯弯段，纯弯段内承受的弯矩M =Pa 。梁的跨中设置百分表量测挠度f ，并在纯弯段的中心区段用应变仪量测梁侧表面一定长度纵向纤维的平均应变，并逐级加载由零荷载一直加到梁最终破坏。剪弯区 PVPP aVM图4-2 钢筋混凝土试验梁2适筋梁受力过程的三个阶段图4-3是试验梁的弯矩挠度（M -f ）试验曲线。梁在加载开始到破坏的全过程中，M -f 关系曲线并非一直
7、保持线性，而是有明显的非线性变化，可将曲线中的两个明显的转折点作为界限点，并将适筋梁的受力过程分为、三个受力阶段。M M0u 0yf um (k N crMf y梁跨中挠度f (mm 图4-3 M-f 关系曲线（1）第阶段混凝土开裂前的未裂阶段当弯矩较小时，挠度和弯矩关系接近直线变化，此时梁尚未出现裂缝，称为第阶段。此时由于弯矩很小，梁截面上的各纤维应变也很小，且变形的变化规律符合平截面假定（图4-4）。此时梁的工作情况与匀质弹性梁相似，混凝土基本上处于弹性工作阶段，应力与应变成正比，受拉区和受压区混凝土应力分布图形为三角形。当弯矩增大，量测的应变随之加大，但其变化规律仍符合平截面假定。由于混
8、凝土抗拉能力较抗压能力弱，而且其受拉时应力应变关系是曲线性质，故在受拉区边缘处混凝土将首先开始出现塑性特征，受拉区应力图形开始偏离直线而逐渐变弯。受拉区应力图形中曲线部分的范围将不断沿梁高向上发展。 图4-4 梁在各受力阶段的应力、应变图在弯矩增加到M cr 时，受拉区边缘纤维应变达到混凝土受弯时极限拉应变tu ，梁下边缘处于将裂未裂的极限状态，此时即第阶段末，以I a 表示之（图4-4I a ）。在I a 状态受压区混凝土发生相应应变时仍处于弹性工作状态，受压区应力图形接近三角形。但这时受拉区应力图形则呈曲线分布。在I a 状态时，受拉钢筋的应变与周围同一水平处混凝土应变相等。钢筋应变接近混
9、凝土受拉极限应变tu 值，相应的应力处于20-40M Pa ，远小于钢筋的屈服强度。由于受拉区混凝土塑性的发展，第阶段末梁中性轴的位置较第阶段初期略有上升，I a 可作为受弯构件抗裂度的计算依据。（2）第阶段带裂缝工作阶段在M =M cr 点，受拉区混凝土开裂后，试验曲线出现明显的转点，此时进入第阶段，钢筋承担了未裂前受拉区的混凝土承担的拉力，因而开裂后钢筋应力出现突变并随荷载的增加而继续增加。当受拉钢筋应力达到屈服强度时（对应于这时梁所受的弯矩为M y ），标志着第阶段的结束。第阶段中，裂缝一旦出现即具有一定的开展宽度，并沿梁高向上延伸。随着弯矩继续增加，受压区混凝土压应变与受拉钢筋拉应变值
10、均不断增加，但其沿梁高平均应变的变化规律仍基本符合平截面假定。在第阶段中(图4-4 ，随着弯矩M 的增加，梁的挠度将逐渐增大，裂缝开展越来越宽。由于受压区混凝土压应变不断的增大，塑性性质得到充分的表现。混凝土应变增长速度较应力增长速度越来越快，受压区应力图形将呈曲线变化。当弯矩继续增加使得受拉钢筋应力达到屈服强度（f y ）时，称为第阶段末，以a 表示。（3）第阶段破坏阶段 当M =M y 的瞬间，M即进入第阶段，f 关系曲线上出现了第二个明显转折点，此时梁受拉区的裂缝急剧开展，梁跨中挠度急剧增加，钢筋应力大小保持f y 基本不变而应变有较大增长。当弯矩稍有增加，则钢筋应变骤增，裂缝宽度随之扩
11、展并沿梁高向上延伸，受压区高度减小，但受压区混凝土的总压力C 始终和钢筋的总拉力T 保持平衡（T=C）。这时受压区混凝土边缘纤维压应变迅速增长，由混凝土应力应变关系曲线可知，这时受压区混凝土塑性特征表现更为充分，混凝土受压区应力在受压边缘甚至出现下降趋势。弯矩增加直至极限弯矩M u 时，称为第阶段末，以III a 表示。此时边缘纤维压应变到达（或接近）混凝土受弯时的极限压应变cu ，标志着梁正截面拉压力偶体系达到最大值，梁已开始破坏。试验梁虽仍可继续变形，但所承受的弯矩将有所下降（图4-3），最后在破坏区段上受压区混凝土被压碎甚至崩落。在第阶段整个过程中，钢筋所承受的总拉力和混凝土所承受的总压
12、力始终保持不变。但由于中和轴逐步上移，内力臂Z 持续微小增加, 因此截面极限弯矩M u 较II a 时的M y 也略有增加。第阶段末（IIIa ）可作为按照“极限状态”承载力计算时的依据。适筋梁试验全过程的挠度和变形规律：（1）挠度方面：在第阶段，梁的挠度增长速度较慢；第阶段由于梁带裂缝工作，挠度增长速度较第阶段快；第阶段由于钢筋屈服，挠度急剧增加。（2）变形方面：随着弯矩的增加，中和轴不断上移，受压区高度逐渐缩小，混凝土边缘纤维压应变随之加大，受拉钢筋的拉应变也随着弯矩的增长而加大，但梁侧面的平均应变分布基本上仍符合平截面假定。受压区应力图形在第阶段为三角形分布；第阶段为微曲的曲线形状；第阶
13、段呈更为丰满的曲线分布。 4.3.2 纵向受拉钢筋配筋率对正截面受弯破坏形态和受弯性能的影响适筋梁正载面三个阶段的工作特点及其破坏特征，是由受拉区配置适当纵筋的梁试验得到。当梁受拉区纵筋配置发生变化，则其破坏形式将不会完全遵循适筋梁的三个受力状态。按照梁破坏形式及其特点的不同，可将其划分为以下三类：适筋梁、超筋梁和少筋梁。1适筋梁的破坏形式及其特点如前所述，这种梁的破坏始自受拉区钢筋的屈服。在钢筋应力到达屈服强度时，受压区混凝土的边缘纤维应变尚小于混凝土受弯极限压应变。在梁完全破坏以前，由于钢筋要经历较大的塑性伸长，梁底裂缝充分开展和梁挠度的迅速增加，形成明显的破坏预兆。适筋梁的破坏习惯上称为
14、“延性破坏”，即梁破坏前在承载力几乎维持不变的情况下具有较大变形能力。2超筋梁的破坏形式及其特点若梁截面受拉区配置钢筋过多时，在受拉区钢筋未达到屈服之前，受压区混凝土就达到极限压应变，提前压碎而告破坏。超筋梁的试验表明，此时梁截面裂缝开展不宽，延伸不高，梁的挠度亦不大。梁的混凝土压坏缺乏明显的预兆，这种破坏常称之为“脆性破坏”。超筋梁由于配置过多的受拉钢筋，使其受弯作用时应力低于屈服强度，不能充分发挥作用，造成浪费，且破坏前无明显预兆，故设计中应避免采用这种梁。界限破坏与界限配筋率的概念：对比适筋梁和超筋梁的破坏状态，可以发现，适筋梁的破坏始于受拉钢筋屈服，而超筋梁的破坏始自受压区混凝土压碎。
15、从适筋梁到超筋梁的演变过程中，配筋量（配筋率）的变化造成钢筋和混凝土的破坏顺序的变化，所以可找到某一配筋量，使得钢筋应力到达屈服强度的同时受压区边缘纤维应变也恰好到达混凝土受弯极限压应变值。此时形成的破坏称为“界限破坏”，即适筋梁与超筋梁的区分界限，相对应的配筋率称之为界限配筋率m ax 。当梁的实际配筋率=A s /bh 0m ax 时，破坏始于受压区混凝土的压碎；=m ax 时，受拉钢筋应力到达屈服强度的同时受压区混凝土压碎而梁立即破坏。3少筋梁的破坏形式及其特点我们知道，梁的受拉区混凝土在较小弯矩下即开裂，之后原先由受拉区混凝土承受的拉力转而由钢筋承担，此时，如果配筋过少，钢筋的应力突然
16、增大且马上导致钢筋屈服，然后，裂缝急剧开展，挠度增大，钢筋可能出现拉断，最后混凝土梁断裂破坏，这就是少筋梁的破坏特点，类似于素混凝土梁。少筋梁破坏时，裂缝往往集中出现一条，不仅开展宽度很大，且沿梁高延伸较高。即使受压区混凝土暂未压碎，但因此时裂缝宽度过大，已标志着梁的“破坏”。 从单纯满足承载力需要出发，少筋梁的截面尺寸选用的过大，故不经济；同时，它的承载力取决于混凝土的抗拉强度，受拉区混凝土一裂即坏，无明显征兆，属于“脆性破坏”，故在土木工程结构中不允许采用。4.4 正截面承载力计算的基本假定及应用4.4.1 正截面承载力计算的基本假定在建立受弯构件正截面承载力的计算公式时，根据构件的实验状
17、态，对钢筋混凝土受弯构件的正截面承载力计算采用下列四个基本假定：（1）构件正截面在弯曲变形后依然保持平面，即平截面假定；（2）不考虑受拉区混凝土的抗拉强度，拉力全部由受拉钢筋承担；（3）混凝土的应力应变关系按图4-5所示，应力应变曲线的数学表达式可以写成：f c0ccu图4-5 混凝土应力应变曲线nc 当0c 0时，c =f c 1- 1-；当0c cu 时，c =f c 。0（4）钢筋采用图4-6所示的理想化应力应变曲线，其数学表达式为：f y y su图4-6 钢筋应力应变曲线当0s y 时，s =s E s ；当s y 时，s =f y 。 4.4.2 受压区混凝土应力的计算图形以单筋矩
18、形截面为例，根据上述四项基本假定即可得出截面在承载能力极限状态下，即第阶段末的应变分布和应力分布，如图4-7所示。此时截面受压边缘达到了混凝土的极限压应变cu ，若假定这时截面受压区高度为x c ，则受压区某一混凝土纤维的压应变即为：c =cuy x c（4-1）（4-2）受拉钢筋的应变为：s =cuh 0-x cx c图4-7 混凝土截面应力应变分布图受压区混凝土压应力的合力C 等于：C =x c 0c b dy （4-3）代入相关公式和数值，积分可得：C =0.798f c x c b （4-4） 适筋梁破坏时，受拉钢筋应力已达到屈服强度。钢筋承受的总拉力T 为：T =f y A s （4
19、-5）由水平平衡条件C =T ，可求得受压区高度x c 等于：x c =1.253A sf yh 0=1.253f y f ch 0 （4-6）bh 0f c由图4-7，根据弯矩平衡，即 M =0 ，可有：M u =C z =x c 0c b (h 0-x c +y dy =0.798f c x c b (h 0-0.412x c （4-7）将式（4-6）中的x c 代入（4-14），并以受拉钢筋所承受的拉力表示，可有：f yf y h 0 =f y A s 1-0.516h 0（4-8） f c f c M u =T z =f y A s (h 0-0.4121.253上述计算包含了数学积分
20、的运算，过程较为复杂。在实际设计工作中，我们先将压区混凝土应力图形等效为矩形应力图形，通过保持受压区应力图的合力大小及其作用点不变，以使抗弯承载力保持相同，而使后续计算过程大为简化（图4-8）。图形简化需遵循下列条件：（1）等效矩形应力图形的形心位置应与理论应力图形的形心位置相同，即压应力合力C 的位置不变；（2）等效矩形应力图形的面积应等于理论应力图形的面积，即压应力合力C 的大小不变。 f c 1f c图4-8 等效矩形应力图形的换算如图4-8，假定理论受压区高度为x c ，换算矩形的受压区高度为x ，令x =1x c ；再假定矩形应力分布图形的压应力值为f cm ，并假定它与理论应力分布
21、图形中最大应力f c 之间的关系为f c m =1f c ，通过对不同强度混凝土的应力应变关系曲线进行积分计算，求得相应的面积和应力图形重心位置，从而计算出上述的系数1、1，见表4-2。表4-2 受压混凝土的简化应力图形系数1和1值 4.4.3 界限相对受压区高度平衡配筋梁的概念：适筋梁与超筋梁的界限为“平衡配筋梁”，即平衡配筋梁破坏时钢筋应力达到屈服，同时受压区混凝土边缘纤维应变也恰好达到混凝土受弯的极限压应变值cu 。什么叫做相对受压区高度和界限相对受压区高度？梁的受压区高度x 相对于梁的有效高度h 0的比值称为相对受压区高度，一般用表示，指平衡配筋梁中的相对受压区高度，一般用b 表示。界
22、限相对受压区高度b 的推倒过程：受压区外边缘=x h 0；而界限相对受压区高度适筋破坏m ax受拉钢筋合力重心图4-9 不同配筋的截面应变图如图4-9所示，设钢筋开始屈服时的应变为y ，则f y E sy =（4-9）此处，E s 为钢筋的弹性模量。设界限破坏时受压区的真实高度为x cb ，则有：x cb h 0=cu cu +y（4-10）由矩形应力分布图形的折算受压区高度x =1x c ，亦即x b =1x c b ，代入上式可得：x b1h 0=cu cu +y由=x h 0，则：b =x b h 0=1+1f y（4-11）cu E s当梁相对受压区高度b 时，受压区混凝土先达到极限压
23、应变cu 而宣告破坏，此时受拉区钢筋尚未屈服，属于超筋梁；当=b ，可求出界限破坏时的特定配筋率，亦即适筋梁的最大配筋率m a x 值。根据截面上水平力平衡条件C =T 可得：1f c bx b =f y m ax bh 0故m ax =x b h 01f cf y=b1f cf y（4-12）在钢筋混凝土结构中，常用钢材的b 值如表4-3所示。表4-3 界限相对受压区高度b 值 从式（4-19）和表4-3可以看出，混凝土等级相同时，采用强度等级较低的钢筋，b较大，max 值较大。总结一句话，界限相对受压区高度b 是适筋和超筋破坏的界限条件。 4.4.4 适筋和少筋破坏的界限条件根据前面所述少
24、筋梁破坏的特点，受拉钢筋的最小配筋率m in 可根据钢筋混凝土梁的受弯极限承载力M u 等于按a 阶段计算的素混凝土受弯承载力(即开裂弯矩M cr 来获得。但由于混凝土抗拉强度的离散性，以及收缩等因素的影响，最小配筋率min 往往根据传统经验得出。混凝土规范建议按下式计算最小配筋率：m in =0.45f t f y（4-13）min 只与混凝土抗拉强度及钢材强度有关，受弯构件受拉区的最小配筋率一般不小于0.2%。校核纵筋最小配筋率时，应将实际配筋率和min 进行比较。4.5 单筋矩形截面正截面受弯承载力计算什么是单筋截面？单筋截面是指仅在梁的受拉区配置纵筋，与受压区混凝土形成抗弯承载力的截面
25、。 4.5.1 基本计算公式根据截面承载力计算的基本要求，对可能产生正截面弯曲破坏的构件，要求其设计弯矩M 不应超过抗弯承载力M u ，即M M u 。图4-10 矩形截面受弯构件正截面等效应力 计算简图如图4-10所示，根据正截面水平方向合力为零及截面力偶与外部弯矩相等的平衡条件，可得到基本方程以及单筋矩形截面抗弯承载力计算的基本公式：X =0 1f c bx =f y A s （4-14）M =0 M M u =1f c b x h 0-x 2=1f c b h 0(1-0.5 （4-15） 2或 M M u =f y A s h 0-x =f y A s h 0(1-0.5 （4-16）
26、 2式中 M 设计弯矩；f c 混凝土抗压设计强度，可查表得到；f y 钢筋的抗拉设计强度，可查表得到；A s 受拉钢筋截面面积；b 截面宽度；x 应力图形换算成矩形后的受压区高度；h 0截面有效高度；1系数，可查表得到。4.5.2 基本计算公式的两个适用条件及意义基本公式（4-14）、（4-15）和（4-16）的建立是以受弯构件的适筋破坏第三阶段末的状态为基础的，也就是说公式所对应的受力状态是：受拉区钢筋首先屈服，而后受压区混凝土外缘达到受弯极限压应变cu 。为了使所设计的截面保持在适筋梁的范围内，同时满足上述公式的适用情况，基本公式的应用尚应满足以下两个条件。 式中b 按前面表4-3采用。
27、满足该条件，则可保证截面不发生超筋破坏。若将b 代入公式（4-16），即可求得单筋矩形截面所能承担的最大弯矩M u,m ax 。因此M u,m ax 也就是在截面尺寸及材料强度确定时，单筋矩形截面充分增加配筋后所能发挥的最大抗弯能力。M u,max =1f c bh 0b (1-0.5b （4-17）22m inmin 值详见附表4-6。满足该条件，则可保证截面不发生少筋破坏。3钢筋拉应变小于极限拉应变su4.5.3 计算系数和应用=0.01利用基本公式进行计算时需求解二次方程，在工程设计过程中，为简化计算，可以采用表格系数法来避免求解一元二次方程。这主要是一个计算技巧的问题，其中引入了截面抵
28、抗矩系数，详细内容请学有余力的同学自学教材的对应部分。 4.5.4 正截面受弯承载力计算的两类问题1截面设计当仅知道作用在构件截面中的设计弯矩M ，要求确定构件的截面尺寸及配筋时，此类问题称为截面设计。从基本公式（4-14）、（4-15）和（4-16）可知，未知数有1f c 、f y 、b 、h 0和A s 。因此，必须先选定材料等级 (即确定相应的设计强度值1f c 和f y 和截面尺寸，再计算钢筋用量A s ，或者先选定1f c 、f y 、b 和配筋率，再计算h 0和A s 。下面就第一类设计问题举例说明截面设计的步骤。例题4-1 一根钢筋混凝土简支梁如图4-11所示，安全等级二级，处于
29、一类环境，计算跨度为l =6.6m ，承受均布恒荷载标准值6.6kN/m，均布活荷载标准值10kN /m（未包括梁自重），试确定梁的截面尺寸和配筋。q250图4-11 例41图解(1 选择材料选用HRB335钢筋作为受拉纵筋，混凝土采用C20。查附表2-1和附表2-4得f y =300N/mm，f c =9.6N /mm ，f t =1.10N /mm ，b =0.550。222(2截面尺寸确定h =l 12=660012=550m m 取 h = 550 mmb =h 2.5=5502.53=220m m 取 b = 250 mm(3内力计算混凝土标准重度为25k N /m，则作用在梁上的总
30、均布荷载设计值为： 以恒荷载作为控制时：q =（6.6+0.250.5525）1.35+101.40.7=23.35k N /m 以活荷载作为控制时：q =（6.6+0.250.5525）1.2+101.4=26.04kN /m取活荷载控制下的荷载设计值q =26.04k N /m 梁跨中最大设计弯矩为 M =(4配筋计算查附表4-4，一类环境，梁的保护层c =30mm ，钢筋直径d 可按20mm 估计。当梁内只有一排受拉钢筋时， h 0=h -a s =h -30-202=h -40m m18ql =21826.046.6=141.79kN m2h 0=550-40=510mm求受压区高度x
31、 及A s 由基本公式（4-15），得 x =h 0=h 01-=5101-x =133.2mm0.2%0.45f t f y=0.451.1300=0.165%(5配筋方案及构造查附表 3-1，选用 220 +218 (A s =1134m m 。如图4-16，钢筋间距和保护层等均满足构造要求。 需要指出： 2截面的设计并非只有唯一解答，对于给定的M ，f c 、f y 、b 、h 0及相应的A s 均有多种方案来满足。在多种方案的对比中，有一个适宜的截面尺寸和相应的配筋率范围使得建筑使用空间和材料用量的综合经济效果达到最佳。不同的构件其经济配筋率的范围也有所区别，钢筋混凝土板0.30.8%
32、，矩形截面梁0.61.5%，T 形截面梁0.91.8%；f y当确定最优配筋率后，可计算出对应的相对受压区高度=1f，再根据（4-22）c及截面高宽比的常用比值h /b 23.5，可确定截面最优尺寸，然后再进行截面配筋的计算。此外，如果在进行截面设计时按初选截面计算出x b h 0则说明初选截面过小，此时可通过加大截面尺寸或提高混凝土等级来解决，或采用4.6节介绍的双筋矩形截面。2截面复核已知截面尺寸b 、h 0，配筋量A s 和材料等级(即相应的a 1f c 和f y ，要求计算截面所能承担的弯矩M u 或复核截面承受某个设计弯矩M 是否安全。例题4-2 一现浇钢筋混凝土楼板(图4-13 ，
33、厚度h =100mm ，混凝土强度等级为C25，纵向受拉钢筋采用HPB235级，并按10100mm配置。环境类别为一类；楼板做法为30mm 厚细石混凝土面层，承受外加标准均布活荷载q k =2.5kN /m，试复核是否安全。(注：钢筋混凝土标准容重取25k N /m，细石混凝土取22kN /m。332q图4-13 例42图解：（1）确定设计参数查附表 2-1 和附表 2-4 得f y =210N /mm 2，f c =11.9N/mm2，f t =1.27N/mm2，1=1.0，b =0.614；取1m 宽板带来进行复核，则A s =51000/100= 785.4m m ，22b =1000
34、mm ；当取c =15mm 时，截面有效高度为：h 0=h -(c +d /2 =100-(15+10/2 =80mm ；f t f y1.27210m in =0.45=0.45=0.272%0.2%（2）求抗弯承载力M u代入公式（4-14）得 x =再由公式（4-15）得x 13.86M u =a 1f c bx h 0-=111.913.86 80-22/1000=12.05kN m f y A s a 1f c b=210785.4111.91000=13.86m m（3）求设计弯矩M板的计算简图如图4-13所示，单跨板的计算跨度取轴线间尺寸和净跨加板厚的最小值，则有：l 0=l n
35、 +100=3400+100=3500mm 。荷载效应的组合分别按恒载起控制作用和活载起控制作用考虑，取较大者。当取恒荷载和活荷载的荷载分项系数为1.2 和1.4 时，板上均布线荷载为： q =(1.20.125+1.20.0322+1.42.5 1=7.29kN /m当取恒荷载和活荷载的荷载分项系数为1.35 和0.71.4 时，板上均布线荷载为： q =(1.350.125+1.350.0322+0.71.42.5 1=6.716kN /m 以活荷载组合起控制作用，线荷载设计值取7.29kN/m。则跨中截面的设计弯矩为 M =18ql =2187.293.5=11.166kN m2（4）判
36、断是否安全由于截面抗弯承载力大于设计弯矩，即M u =12.65kN m M =11.166kN m 故截面是安全的。 （5）验算适用条件=x h 0=13.8680=0.173m in =0.272%A s bh=1000100满足适用条件，说明原设计符合各项规定要求。4.6 双筋矩形截面正截面受弯承载力计算4.6.1 双筋矩形截面的受力机理什么情况下需要考虑采用双筋截面梁？情况一：当给定的弯矩设计值过大，此时按单筋梁进行截面设计不能满足适筋梁的适用条件（x b h 0），且由于使用要求，截面高度受到限制又不能增大，同时混凝土强度等级因条件限制不能再提高时，可采用双筋截面。即在截面的受压区配
37、置纵向钢筋以补充混凝土受压能力的不足。情况二：对于在水平荷载作用下的框架梁，当其在地震或风等往复荷载作用下，同一截面上会产生反向弯矩。为了承受往复弯矩分别作用时截面顶部和底部均可能出现的拉力，需在截面的顶部和底部均配置纵向钢筋，因而形成了双筋截面。此外，受压钢筋的存在可提高截面的延性，因此，抗震设计中要求框架梁截面上部和下部必须配置一定比例的纵向钢筋。双筋截面梁的受力特点？双筋截面可以理解为在单筋截面的基础上通过成对增加拉压区配筋形成力偶来增加截面的受弯承载力。双筋梁在满足b 的条件下仍然具有适筋梁的塑性破坏特征，即受拉钢筋首先屈服，然后经历一个充分的变形过程，受压区混凝土才被压碎。因此，在进
38、行抗弯承载力计算时，受压区混凝土仍可采用等效矩形应力图形和换算的弯曲抗压设计强度a 1f c 。双筋截面梁的构造要求？试验表明，受压钢筋在纵向压力作用下易产生压曲而导致侧向凸出，并将受压区保护层崩裂使构件提前发生破坏，降低构件的承载力。为防止受压纵筋压曲和侧向凸出，必须在梁内布置封闭箍筋对其进行约束，受压钢筋才能与受压混凝土共同变形和受力，直到混凝土压碎破坏。 4.6.2 基本计算公式考虑受压钢筋参加工作，可以得出如图4-14所示的双筋矩形截面抗弯承载力计算的应力图，并可分解为图4-19所示的单筋截面部分和纯钢筋截面部分。由平衡条件可写出 以下基本公式图4-14 双筋矩形截面受力分析图由X =
39、0可得：a 1f c bx +f y A s =f y A s （4-18）由图4-19所示的分解方式可知，A s =A s1+A s2，即f y A =f y A +s s 11f c bx =f y A s 1，f y A s =f y A s 2。 ，且f A y s 2由M =0可得：M =M 1+M =a 1f c bx (h 0-x 2+f y A s (h 0-a s （4-19）式中：f y 钢筋的抗压设计强度；A s 受压钢筋的截面面积；a s 受压钢筋的合力点到截面受压边缘的距离；M 1压区混凝土与部分受拉钢筋A s1所提供的相当于单筋矩形截面的受弯承载力，M 1=a 1f
40、 c bx (h 0-x 2（4-20）M 受压钢筋A s 与部分受拉钢筋A s 2所提供的受弯承载力， M =f y A s (h 0-a s （4-21）其它符号同单筋矩形截面梁的分析。 y A s s1f c f c bxy A s f y A s1s2双筋截面 = 单筋截面部分 + 纯钢筋截面部分图4-15 双筋截面受力分解以上基本公式的适用条件和单筋矩形截面梁计算公式的适用条件相同： 1） 防止出现超筋破坏，应满足x b h 0 （4-22）2）为保证受压钢筋达到规定的抗压设计强度，应满足x 2a s （4-23）在实际设计中，若不能满足公式（4-23）的要求，此时受压钢筋未能屈服，
41、而受压区混凝土的合力点则在受压钢筋重心和受压混凝土外边缘之间。出于安全并简化计算过程，受拉钢筋合力可直接对受压钢筋合力点取矩，即可得出这种情况下正截面抗弯承载力计算公式：M =f y A s (h 0-a s （4-24）应该注意的是，按公式（4-24）求得的A s 可能比不考虑受压钢筋而按单筋矩形截面计算的A s 还要大，这时应按单筋矩形截面设计配筋。双筋截面中的受拉钢筋通常面积较多，因此一般没有必要对是否满足最小配筋率进行验算。 4.6.3 双筋矩形截面正截面受弯承载力的截面设计方法1截面设计(包括两种情况(1已知设计弯矩M ，材料强度f c ，f y 及f y 和截面尺寸b ，h ，要求
42、确定所需的受压和受拉钢筋，即A s 和A s 。计算步骤：1） 判明是否需要配置受压钢筋计算单筋矩形截面充分增加配筋后所能发挥的最大抗弯能力M u ,m a x ：M u,max =1f c bh 0b (1-0.5b 2如M M u,m ax ，说明不需要配置受压钢筋，可按单筋矩形截面计算A s ； 如M M u,m ax ，说明计算上需要配置受压钢筋。 2）分别计算M 1和M M 1是指混凝土充分利用时合力形成的力偶M u ,m a x ，即M 1=M u, m a x ，则受压钢筋产生的力偶M =M -M 1。3）计算A s 和A sM受压钢筋面积：A = sf y (h 0-a s ；
43、总的受拉钢筋面积为：A s =A s 1+A s 2； 根据1f c b b h 0=f y A s 1，得到A s 1=1f c b bh 0f y；根据f A =f y A s 2，得到A s 2= y sf y A s f y 。（2）已知设计弯矩M ，截面尺寸b ，h ，材料强度等级f c ，f y 及f y 和受压钢筋面积A s ，要求确定受拉钢筋面积A s 。计算步骤：1）这种情况下，为了使总用钢量最小，首先利用已经给定的受压钢筋A s 进行计算。 假定A s 可达到屈服强度，其所提供的抗弯承载力为M =f y A s (h 0-a s ，设计弯矩值中的其余部分应由混凝土受压区和部
44、分受拉纵筋提供，故M 1=M -M 。2）计算M u ,m ax =1f c bh 02b(1-0.5b ，如M 1M u,m ax ，说明给定的A s 尚不足，需2按A s 未知的第（1）种情况计算A s 及A s ；如M 1M u , m a x ，令M 1=1f c bh 0(1-0.5求得及受压区高度x ，进一步求出A s 1=1f c bxf y。注意，这时应验算条件x 2a s 。f y f y3）计算全部受拉钢筋面积，A s =A s 1+A s 2，其中A s 2=A s 。注意：如果受压区高度x 小于2a s ，表明受压区钢筋未达到屈服，此时应按式（4-24）M f y (h 0-a s计算A s ，即A s =