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1、第 4 讲与函数的零点相关的问题函数零点的个数问题1. 函数 f(x)=xcos 2x在区间 0,2 上的零点的个数为( D ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析 : 要使 f(x)=xcos 2x=0,则 x=0, 或 cos 2x=0, 而在区间 0,2 上, 通过观察y=cos 2x的函数图象 , 易得满足cos 2x=0 的 x 的值有, 所以零点的个数为5 个. 2.(2015南昌二模 ) 已知函数 f(x)=函数 g(x) 是周期为2 的偶函数 , 且当 x0,1时,g(x)=2x-1, 则函数 y=f(x)-g(x)的零点个数是( B ) (A)5 (B)6 (C)7
2、 (D)8 解析 : 函数 y=f(x)-g(x)的零点个数就是函数y=f(x)与 y=g(x) 图象的交点个数. 在同一坐标系中画出这两个函数的图象: 由图可得这两个函数的交点为A,O,B,C,D,E,共 6 个点 . 所以原函数共有6 个零点 . 故选 B. 3.(2015南昌市一模 ) 已知函数f(x)=若关于 x 的方程 ff(x)=0有且只有一个实数解 , 则实数 a的取值范围为. 解析 : 依题意 , 得 a0, 令 f(x)=0,得 lg x=0,即 x=1, 由 ff(x)=0,得 f(x)=1, 当 x0 时, 函数 y=lg x 的图象与直线y=1 有且只有一个交点,则当
3、x0 时, 函数 y=的图象与直线 y=1 没有交点 , 若 a0, 结论成立 ; 若 a0, 则函数 y=的图象与 y 轴交点的纵坐标-a1,得-1a0, 则实数 a 的取值范围为 (-1,0)(0,+ ). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页答案 :(-1,0) (0,+ ) 4.(2015北京卷 ) 设函数 f(x)=若 a=1, 则 f(x)的最小值为; 若 f(x)恰有 2 个零点 , 则实数 a 的取值范围是. 解析 : 当 a=1 时,f(x)=其大致图象如图所示: 由图可知f(x) 的最小值为 -1
4、. 当 a0 时, 显然函数f(x)无零点 ; 当 0a1 时,易知 f(x) 在(- ,1) 上有一个零点, 要使 f(x)恰有 2 个零点 , 则当 x1 时,f(x)有且只有一个零点, 结合图象可知 ,2a 1, 即 a , 则 a1, 由二次函数的性质可知 , 当 x1 时,f(x)有 2 个零点 , 则要使 f(x)恰有 2 个零点 , 则需要 f(x)在(- ,1) 上无零点, 则 2-a 0, 即 a2. 综上可知 , 满足条件的a 的取值范围是 ,1) 2,+ ). 答案 : -1 ,1) 2,+ ) 确定函数零点所在的区间5.(2015四川成都市一诊) 方程 ln(x+1)-
5、=0(x0) 的根存在的大致区间是( B ) (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,e) (D)(3,4) 解析 : 设 f(x)=ln(x+1)-, 则 f(1)=ln 2-20, 得 f(1)f(2)0,函数 f(x)在区间 (1,2)有零点 , 故选 B. 6.(2015河南郑州市一模) 设函数 f(x)=ex+2x-4,g(x)=ln x+2x2-5, 若实数 a,b 分别是f(x),g(x)的零点 , 则( A ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23 页(A)g(a)0f(b) (B)0g(a)f(
6、b) (C)f(b)0g(a) (D)f(b)g(a)0 解析 : 考查函数 y=ex与 y=4-2x 的图象 , 得其交点的横坐标a 应满足 0a1; 考查函数 y=ln x与 y=5-2x2的图象 ,得其交点的横坐标b 应满足 1be+2-40,可排除C,D;0a1,g(a)ln 1+2-50)上的最小值 ; (3) 若存在两不等实根x1,x2 ,e,使方程 g(x)=2exf(x) 成立 , 求实数 a 的取值范围 . 解:(1) 当 a=5 时 g(x)=(-x2+5x-3) ex,g(1)=e. g(x)=(-x2+3x+2) ex,故切线的斜率为g(1)=4e. 所以切线方程为y-
7、e=4e(x-1),即 y=4ex-3e. (2)f (x)=ln x+1, x (0, ) ( ,+ ) f (x) - 0 + f(x) 单调递减极小值 ( 最小值 ) 单调递增当 t 时, 在区间 (t,t+2)上 f(x)为增函数 , 所以 f(x)min=f(t)=tln t, 当 0t 时 , 在区间 (t, ) 上 f(x)为减函数 , 在区间 ( ,t+2)上 f(x) 为增函数 , 所以f(x)min=f()=-. (3) 由 g(x)=2exf(x),可得 2xln x=-x2+ax-3, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
8、- -第 3 页，共 23 页a=x+2ln x+, 令 h(x)=x+2ln x+,h (x)=1+-=. x ( ,1) 1 (1,e) h(x) - 0 + h(x) 单调递减极小值 ( 最小值 ) 单调递增h( )= +3e-2,h(1)=4,h(e)=+e+2. h(e)-h()=4-2e+0,于是 (x) 在(0,1)上单调递增 ; 当 x(1,2) 时, (x)0,于是 (x) 在(1,2)上单调递减 ; 依题意有解得 ln 3-1b1,0b=log320 f(-1)=log32-1-log32=-10, 所以根据函数的零点存在性定理得出函数f(x)=ax+x-b 的零点所在的区
9、间是(-1,0),故选B. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 23 页2.(2015凉山州模拟 ) 设函数 f(x)=|ln x|-的两个零点为x1,x2, 则有 ( A ) (A)x1x21 (B)x1x2=1 (C)1x1x2(D)x1x2解析 : 由 f(x)=|ln x|-=0, 得|ln x|=, 作函数 y=|ln x|与 y=的图象如图 . 不妨设 x1x2, 由图可知 , x11x2, 则 ln x1|ln x2|, 所以 -ln x1ln x2, 则 ln x1+ln x20, 即 ln (x1x2)0,
10、 所以 x1x20 或-2x+a2x, 或 a1 或 a0. 故选 D. 4.(2014 重庆卷 ) 已知函数 f(x)=且 g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1内有且仅有两个不同的零点, 则实数 m的取值范围是( A ) (A) (-,-2 (0, (B) (-,-2(0, (C) (-,-2 (0, (D) (-,-2(0, 解析 :g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1内有且仅有两个不同的零点就是函数y=f(x)的图象与函数 y=m(x+1) 的图象有两个交点, 在同一直角坐标系内作出函数f(x)=和函数 y=m(x+1) 的图象 , 如图 , 当直线 y=m(x+1) 与 y=-
11、3,x (-1,0和 y=x,x (0,1 都相交时 ,0m ; 当直线 y=m(x+1)与 y=-3,x (-1,0有两个交点时 , 由方程组消元得-3=m(x+1), 即m(x+1)2+3(x+1)-1=0,化简得 mx2+(2m+3)x+m+2=0,当=9+4m=0,即 m=- 时, 直线 y=m(x+1) 与y=-3 相切 , 当直线 y=m(x+1) 过点 (0,-2)时,m=-2, 所以 m (-,-2.综上 , 实数 m的取值范围是(-,-2(0, ,故选 A. 5.(2014湖北卷 ) 已知 f(x)是定义在R上的奇函数 , 当 x0 时,f(x)=x2-3x. 则函数g(x)
12、=f(x)-x+3的零点的集合为( D ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页(A)1,3 (B)-3,-1,1,3 (C)2-,1,3 (D)-2-,1,3 解析 : 当 x0 时, 函数 g(x) 的零点即方程f(x)=x-3的根 , 由 x2-3x=x-3,解得 x=1 或 3; 当 x0 时 , 由 f(x)是奇函数得-f(x)=f(-x)=x2-3(-x), 即 f(x)=-x2-3x. 由 f(x)=x-3得 x=-2-( 正根舍去 ). 故选 D. 6. 已知 x0是函数 f(x)=2x+的一个零点
13、, 若 x1(1,x0),x2 (x0,+ ), 则( B ) (A)f(x1)0,f(x2)0 (B)f(x1)0 (C)f(x1)0,f(x2)0,f(x2)0 解析 : 函数 y=2x,y=在 (1,+ ) 都为单调增函数, 所以 f(x)=2x+在(1,+ ) 上为单调增函数. 因为 f(x0)=0, 所以 x1 (1,x0),x2(x0,+ ) 时, f(x1)f(x0)=0, 从而答案B正确 . 7.(2015山东模拟 ) 已知函数 f(x)=则下列关于函数y=ff(kx)+1+1(k 0)的零点个数的判断正确的是( C ) (A) 当 k0 时, 有 3 个零点 ; 当 k0 时
14、, 有 4 个零点 ; 当 k0 时, 有 3 个零点(C) 无论 k 为何值 , 均有 3 个零点(D) 无论 k 为何值 , 均有 4 个零点解析 : 令 ff(kx)+1+1=0得, 或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页解得 f(kx)+1=0或 f(kx)+1=; 由 f(kx)+1=0得, 或即 x=0 或 kx= ; 由 f(kx)+1=得, 或即 ekx=1+ ( 无解 ) 或 kx=; 综上所述 ,x=0 或 kx= 或 kx=; 故无论 k 为何值 , 均有 3 个解 . 故选 C. 8.(201
15、5怀化二模 ) 定义域为 R的函数 f(x)=若关于 x 的函数h(x)=f2(x)+af(x)+有 5 个不同的零点x1,x2,x3,x4,x5, 则+等于 ( C ) (A)15 (B)20 (C)30 (D)35 解析 : 作函数 f(x)=的图象如图 , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 23 页则由函数h(x)=f2(x)+af(x)+有 5 个不同的零点知, 1+a+ =0, 解得 a=- , 则解 f2(x)-f(x)+=0得, f(x)=1或 f(x)=; 故若 f(x)=1,则 x=2 或 x=3 或 x
16、=1; 若 f(x)=,则 x=0 或 x=4; 故+=1+4+9+16=30. 故选 C. 9.(2015郑州二模 )已知函数f(x)=函数 g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点 , 则实数 a 的取值范围是 ( A ) (A)-1,3) (B)-3,-1 (C)-3,3) (D)-1,1) 解析 : 因为 f(x)=所以 g(x)=f(x)-2x=而方程 -x+3=0 的解为 3, 方程 x2+4x+3=0 的解为 -1,-3; 若函数 g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点, 则解得 ,-1 a3. 实数 a 的取值范围是-1,3). 故选 A. 精选学习资料 - - - -
17、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页10.(2015呼和浩特一模 ) 若函数 f(x)=ln x+kx-1有两个零点 , 则实数 k 的取值范围是( A ) (A) (-,0) (B) (-,- ) (C) (-,+ ) (D) (-e2,- ) 解析 : 作函数 y=ln x-1与 y=-kx 的图象如图 , 当直线与y=ln x-1相切时 , 设切点 (x,ln x-1), y= , = , 解得 ,x=e2, 故 0-k, 故-k0. 故选 A. 11.(2013安徽卷 ) 若函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 有极值点 x1,x2,
18、 且 f(x1)=x1, 则关于 x 的方程3(f(x)2+2af(x)+b=0的不同实根个数是( A ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 解析 : 先求函数的导函数, 由极值点的性质及题意, 得出 f(x)=x1或 f(x)=x2, 再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 23 页因为 f (x)=3x2+2ax+b, 函数 f(x)的两个极值点为x1,x2, 所以 f (x1)=0,f (x2)=0, 所以 x1,x2是方程 3x2+2ax+b=0 的两根 . 所以解关于
19、x 的方程 3(f(x)2+2af(x)+b=0得 f(x)=x1或 f(x)=x2. 不妨设 x1x2, 由题意知函数f(x)在(- ,x1),(x2,+ ) 上单调递增 ,在(x1,x2) 上单调递减 . 又 f(x1)=x1x2, 如图 , 数形结合可知f(x)=x1有两个不同实根,f(x)=x2有一个实根 , 所以不同实根的个数为3. 故选 A. 二、填空题12.(2015兰州二模 ) 设函数 f(x)=函数 y=ff(x)-1的零点个数为. 解析 : 因为函数f(x)=当 x0 时, y=ff(x)-1=f(2x)-1=log22x-1=x-1, 令 y=ff(x)-1=0,x=1(
20、舍去 ). 当 01 时 , y=ff(x)-1=f(log2x)-1=log2(log2x)-1, 令 y=ff(x)-1=0,log2(log2x)=1, 则 log2x=2,x=4, 故函数 y=ff(x)-1的零点个数为2 个 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页答案 :2 13.(2015潍坊模拟 ) 已知 f(x)是定义在 (0,+ ) 上的单调函数 ,f (x) 是 f(x)的导函数 ,若对 ? x(0,+ ), 都有 ff(x)-2x=3, 则方程 f (x)-=0 的解所在的区间是.( 区间长
21、度不大于1) 解析 : 由题意 , 可知 f(x)-2x是定值 , 令 t=f(x)-2x, 则 f(x)=2x+t, 又 f(t)=2t+t=3, 解得 t=1, 所以有 f(x)=2x+1, 所以 f (x)=2xln 2, 令 F(x)=f(x)-=2xln 2-, 可得 F(1)=21ln 2-40, 即 F(x)=2xln 2-零点在区间 (1,2) 内 , 所以 f (x)-=0 的解所在的区间是(1,2). 答案 :(1,2) 14.(2011山东卷 ) 已知函数f(x)=1ogax+x-b(a0,且 a 1). 当 2a3b4 时, 函数 f(x)的零点 x0(n,n+1),n
22、N*, 则 n= . 解析 : 对函数 f(x),因为 2a3b4, 所以 f(2)=loga2+2-b1+2-b=3-b1+3-b=4-b0. 即 f(2)f(3)0 时, 解不等式f(x)0; (2) 当 a=0 时, 求整数 t 的所有值 , 使方程 f(x)=x+2在t,t+1上有解 . 解:(1) 因为 ex0, 所以不等式f(x) 0, 即为 ax2+x 0, 又因为 a0, 所以不等式可化为x(x+) 0, 所以不等式f(x) 0 的解集为 -,0. (2) 当 a=0 时, 方程即为xex=x+2, 由于 ex0, 所以 x=0 不是方程的解 , 所以原方程等价于ex- -1=
23、0, 令 h(x)=ex- -1, 因为 h(x)=ex+0对于 x0 恒成立 , 所以 h(x) 在(- ,0) 和(0,+ )内是单调增函数, 又 h(1)=e-30,h(-3)=e-3- 0, 所以方程f(x)=x+2有且只有两个实数根, 且分别在区间1,2 和 -3,-2上, 所以整数 t 的所有值为 -3,1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 23 页2.(2015 广东江门市3月模拟 ) 设函数 f(x)=ex(ln x-a),e是自然对数的底数,a R为常数 . (1) 若 y=f(x)在 x=1 处的切
24、线l 的斜率为2e, 求 a 的值 ; (2) 在(1) 的条件下 , 证明切线l 与曲线 y=f(x)在区间 (0, ) 至少有 1 个公共点 . 解:(1)f(x)=ex(ln x-a+), 依题意 ,k=f (1)=e(ln 1-a+1)=2e,解得 a=-1, (2) 由(1)f(1)=e,直线 l 的方程为y-e=2e(x-1), 即 y=2ex-e, 令 g(x)=f(x)-(2ex-e)=ex(ln x+1)-2ex+e, 则 g( )=(1-ln 2)0, g(e-4)=-3ee-4-2e-3+e-3+e0( 用其他适当的数替代e-4亦可 ) 因为 y=g(x) 在(e-4,
25、) 上是连续不断的曲线, g(e-4)g()0,y=g(x)在 (e-4, ) 内有零点 , 而(e-4, ) ? (0, ),从而切线l 与曲线 y=f(x)在区间 (0, ) 至少有 1 个公共点 . 3.(2015菏泽市一模 ) 设函数 f(x)=ln x-ax2-bx. (1) 当 a=b= 时, 求函数 f(x)的单调区间 ; (2) 令 F(x)=f(x)+ax2+bx+ (0 x 3), 其图象上任意一点P(x0,y0)处切线的斜率k 恒成立, 求实数 a 的取值范围 ; (3) 当 a=0,b=-1 时, 方程 f(x)=mx在区间 1,e2 内有唯一实数解, 求实数 m的取值
26、范围 . 解:(1) 依题意 , 知 f(x) 的定义域为 (0,+ ), 当 a=b= 时,f(x)=ln x-x2- x, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 23 页f (x)=- x- =. 令 f (x)=0,解得 x=1 或 x=-2( 舍去 ), 当 0 x0;当 x1 时,f (x)0, 所以 m=1+, 要使方程f(x)=mx在区间 1,e2 上有唯一实数解, 只需 m=1+有唯一实数解 , 令 g(x)=1+(x0),所以 g(x)=, 由 g(x)0 得 0 xe;g (x)e, 所以 g(x) 在区
27、间 1,e上是增函数 , 在区间 e,e2 上是减函数 . g(1)=1,g(e2)=1+,g(e)=1+, 故 1m1. (1) 若 f(x)在(1,+ ) 上单调递减 , 求实数 a 的取值范围 ; (2) 若 a=2, 求函数 f(x)的极小值 ; (3) 若方程 (2x-m)ln x+x=0在(1,e 上有两个不等实根, 求实数 m的取值范围 . 解:(1)f(x)=+a, 由题意可得f (x) 0 在 x(1,+ ) 上恒成立 ; 所以 a-=(- )2- , 因为 x(1,+ ), 所以 ln x (0,+ ), 所以- =0 时函数 t=(- )2- 的最小值为 - , 所以 a
28、- . (2) 当 a=2 时,f(x)=+2x,f (x)=, 令 f (x)=0 得 2ln2x+ln x-1=0, 解得 ln x=或 ln x=-1(舍去 ), 即 x=. 当 1x时,f (x)时,f (x)0, 所以 f(x)的极小值为f()=+2=4. (3) 将方程 (2x-m)ln x+x=0两边同除 ln x得(2x-m)+=0, 整理得+2x=m, 即函数 f(x) 与函数 y=m在(1,e 上有两个不同的交点. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 23 页由(2) 可知 ,f(x)在(1,) 上单调
29、递减 , 在(,e 上单调递增f()=4,f(e)=3e, 当 x1 时,+, 所以 40, (x)=2x+0, 所以 (x) 在(0,+ ) 单调递增 , 即在(0,+ ) 单调递增 . (2) 因为 (1)=-10, 又(x) 在(0,+ ) 单调递增 , 故(x) 在(1,2) 内有唯一零点. 又 f(x)=x3-x-=x (x), 显然 x=0 为 f(x)一个零点 , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 23 页因此 y=f(x)在0,+ ) 有且仅有2 个零点 . 2. 设 aR, 函数 f(x)=ln x-a
30、x. (1) 讨论函数f(x)的单调区间和极值; (2) 已知 x1=(e 为自然对数的底数) 和 x2是函数 f(x)的两个不同的零点,求 a 的值并证明:x2. (1) 解: 函数 f(x)的定义域为 (0,+ ). 求导数 , 得 f(x)=-a=. 若 a0, 则 f (x)0,f(x)是(0,+ ) 上的增函数 , 无极值 ; 若 a0, 令 f (x)=0,得 x= . 当 x(0, ) 时,f (x)0,f(x)是增函数 ; 当 x( ,+ ) 时,f (x)0 时 ,f(x)的递增区间为 (0, ), 递减区间为 ( ,+ ), 极大值为 -ln a-1. (2) 证明 : 因
31、为 x1=是函数 f(x)的零点 , 所以 f()=0, 即 -a=0,解得 a=. 所以 f(x)=ln x-x. 因为 f()= -0,f()= -0, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 23 页所以 f()f(). 3.(2015郑州质量预测 ) 已知函数f(x)=(x2-2x)ln x+ax2+2. (1) 当 a=-1 时, 求 f(x) 在点 (1,f(1)处的切线方程 ; (2) 当 a0 时, 设函数 g(x)=f(x)-x-2,且函数 g(x) 有且仅有一个零点, 若 e-2xe,g(x)m,求 m的取
32、值范围 . 解:(1) 当 a=-1 时,f(x)=(x2-2x)ln x-x2+2,定义域为 (0,+ ), f (x)=(2x-2)ln x+(x-2)-2x. 所以 f (1)=-3,又 f(1)=1,f(x)在(1,f(1)处的切线方程为3x+y-4=0. (2) 令 g(x)=f(x)-x-2=0,则 (x2-2x)ln x+ax2+2=x+2, 即 a=, 令 h(x)=, 则 h(x)=- +=. 令 t(x)=1-x-2ln x,t(x)=-1-=, 因为 t (x)0,所以 t(x)在(0,+ ) 上是减函数 , 又因为 t(1)=h (1)=0, 所以当 0 x0,当 x1
33、 时,h (x)0, 所以当函数g(x) 有且仅有一个零点时,a=1. 当 a=1,g(x)=(x2-2x)ln x+x2-x, 若 e-2xe,g(x) m,只需 g(x)maxm, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 23 页g(x)=(x-1)(3+2ln x),令 g(x)=0得 x=1 或 x=, 又因为 e-2xe, 所以函数g(x) 在(e-2,) 上单调递增 , 在(,1) 上单调递减 , 在(1,e) 上单调递增 , 又 g()=-e-3+2,g(e)=2e2-3e, 因为 g()=-e-3+22e2e(
34、e-)=g(e),即 g()0, 所以 g(x) 有两个零点x1,x2, 即 3-2axi-1=0(i=1,2),且 x1x20,a=, 不妨设 x100 且 g(x2)0, 或 g(x1)0 且 g(x2)0, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 23 页又 g(xi)=-a-xi+1=-xi+1 =-+1(i=1,2), 设 h(x)=-x3- +1, 所以 h(x)=-x2- 0, 所以 h(x) 为减函数 , 又 h(1)=0,所以 x0,x1时 h(x)0, 所以 xi(i=1,2)大于 1 或小于 1, 由 x
35、100,所以 a0,h(x) 为增函数 , 又 h(1)=0.所以当 x0,g(x)为增函数 ; 当 0 x1 时,g (x)1 时 ,g (x)0,g(x)为增函数 ; 所以 g(x) 在 x=1 时取极小值1. 又当 x 趋向于 0 时,g(x)趋向于正无穷; 又当 x 趋向于负无穷时,g(x)趋向于负无穷 ; 又当 x 趋向于正无穷时,g(x)趋向于正无穷 . 所以 g(x) 图象大致如图所示. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页所以方程a=x- +只有一个实根时, 实数 a 的取值范围为 (- ,1). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页