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1、3.2.1 3.2.1 基本不等式的证明基本不等式的证明一、教学目标：一、教学目标：1.了了解两个正数的算术平均数与几何解两个正数的算术平均数与几何 平均数的概念，能推导并掌握基本平均数的概念，能推导并掌握基本 不等式；不等式；2.理解基本不等式的几何意义，能运理解基本不等式的几何意义，能运 用基本不等式进行简单证明用基本不等式进行简单证明 把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a。如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么a并非物体的实际质量。不过，我们可以作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为b。问题
2、问题1 1、如何合理地表示物体的质量呢、如何合理地表示物体的质量呢？二、问题情境：二、问题情境：l1l2ab2ab两个两个正数正数a a、b b ，我们把，我们把 称为称为a a、b b的的算术算术平均数，平均数， 称为称为几何几何平均数。平均数。问题问题2 2、两个正数、两个正数a a、b b的算术平均数与几何的算术平均数与几何平均数之间具有怎样的大小关系呢？平均数之间具有怎样的大小关系呢？三、问题探究：三、问题探究： 计算下列两个数的算术平均数和几何平计算下列两个数的算术平均数和几何平均数（其中均数（其中 p0 p0 ）题号题号ab算术平算术平均数均数几何平几何平均数均数12823123p
3、9p422p2547.565p3p1+p22p002ababa,b猜想：（）002ababa,b问题3：如何证明（）?不等式证明的基本方法不等式证明的基本方法比较法（作差、作商法）比较法（作差、作商法）分析法分析法执果索因执果索因 综合法综合法由因导果由因导果 abba22)()(2122baba0)(212ba”时，取“即当且仅当baba,证法1：比较法（作差、作商法）比较法（作差、作商法）证法2：2baab要证baab2只要证baba20只要证2)0ba （只要证立因为最后一个不等式成成立所以，2baab”时取“当且仅当 ba分析法分析法执果索因执果索因证法3：，有对于正数ba,0)(2b
4、a02abbaabba2abba2综合法综合法由因导果由因导果问题问题4：你理解：你理解“当且仅当当且仅当”的含义吗？的含义吗？注意注意:（1）不等式成立）不等式成立条件（条件（2）等号成立条件）等号成立条件 两个正数两个正数 , 的等差中项是的等差中项是 ； 两个正数两个正数 , 的等比中项是的等比中项是 。abab2ba ab两个正数的等差中项不小于它们的等比中项两个正数的等差中项不小于它们的等比中项从多角度来看基本不等式：从多角度来看基本不等式：1、从数列的角度看：、从数列的角度看：问题问题6:你能用数列来解释基本不等式吗？你能用数列来解释基本不等式吗？问题问题7： 你能给出基本不等式的
5、几何解释吗？你能给出基本不等式的几何解释吗？ ab b a“半径不小于半弦半径不小于半弦” 2、从几何的角度看：、从几何的角度看：例例1 1、证明下列不等式：、证明下列不等式：（1）2(0 ,0 )aba bab （）2()2(,)aba bab为任意实数四、数学应用：四、数学应用：例例2、设设a,ba,b为正数，证明下列不等式：为正数，证明下列不等式：（1）2baab （）21aa11,4b例3.已知a求证：ab五、当堂检测：五、当堂检测：1、今天这节课你学到了哪些主要知识？六、课堂小结：六、课堂小结：两个平均数：算术平均数( )几何平均数( )一个不等式：abab2ba0, 0ba2ba 2、又学到了哪些方法？四种方法：四种方法：比较法（作差、作商法）比较法（作差、作商法）分析法分析法执果索因执果索因 综合法综合法由因导果由因导果 基本不等式法基本不等式法七、作业布置：七、作业布置：1、课本第、课本第54页第页第4、5题；题；2、自选一题。、自选一题。