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1、函数与方程 函数与方程的思想，既是函数思想和方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想。 （1）函数和方程是密切相关的，对于函数 y = f (x)，当 y = 0时，就转化为方程 f (x) = 0，也可以把函数式 y = f (x) 看做二元方程 y f (x) = 0。函数问题可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程 f (x) = 0，就是求函数 y = f (x) 的零点。 （2）函数与不等式也可以相互转化，对于函数 y = f (x)，当 y 0时，就转化为不等式 f (x) 0，借助于函数图象与性质解
2、决有关问题；而研究函数的性质，也离不开解不等式。二次方程有解问题确定主元，把它看成关于 y 的一元二次方程，其中 x 为参数于是0) 5(44)4(2xx052 xx解得22112211xx或解得),22112211,(该方程有意义，代表方程在实数范围内有解二次方程有解问题思路一：求导思路二：利用均值不等式思路三：转化成方程04422yxyxxxyRx 定义域044) 1(2yy41,411162y一般来说，分式二次型函数求值域可以转化成关于 x 的二次方程，利用判别式来解决4141y（当且仅当 x =2 时取等号）函数与方程思路一：用 a, c 表示 b，即 b = f (a, c )，然后
3、求该函数的值域思路二：用 b 表示 a, c，得到关于 b 的方程由已知得12cbaacbbcabac12原式所以 a, c 是方程 的两根0) 1(22bxbx04) 1(22bb01232bb31, 131, 0()0 , 1函数与方程因为 f (x) 为增函数，所以必有思路二：参变分离，画图11)(11)(bkbbfakaaf所以 a, b 是方程 的两根11xkx令 ，可得01 xt二次方程 有两个不等的非负根02ktt?410k思路一：由韦达定理0010k)(2tgttk二次方程根的分布：思路三：通过讨论二次函数的开口、对称轴、特殊点的函数值以及判别式研究零点方程与不等式思路一：二元
4、化一元，转化成关于 a 或 b 的函数，再求值域思路二：将 ab， a+b 看成整体，利用均值定理构造关于 ab 的不等式abbaba20,32abab令 ，可得0 abt0322 tt（舍）或13tt), 9 一般来说，二元函数求值域二元化一元，转化为一元函数求值域方程与不等式是否错选 B ?xylgxylg1lglgabba|lg|lg|ba aaba22?22当且仅当 时，取等号 2,2aaa由图知 0 a g(x) 恒成立，转化为求函数 g (x) 的最大值xxxg23)(在 1,2上恒成立41)21(3)(2xxg所以 g(x) 在 1,2上递增，故 g(x) 在 x=2 时取得最大值 ),21-（一般来说，不等式恒成立问题首选参变分离，避免分类讨论函数与不等式思路二：将不等式等价变形，构造新函数解决问题思路一：特殊值法，写出一个满足题意的函数，如 f (x) = 3x+5 令 g (x) = f (x) - 2x 4， 求导得 g (x) = f(x) 2 0 所以 g (x) 在 R 上单增，又因为 g (-1) = f (-1) + 2 4 =0，所以 g (x) 0 的解为 x -1不等式相关问题灵活进行f (x) g (x) 与 f (x) - g (x) 0 之间的转化函 数方 程不等式