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1、陆建华清华大学电子工程系清华大学电子工程系20042004年春季学期年春季学期奇妙的奇妙的Walsh函数函数信号与系统 讨论课Walsh函数集函数集完备正交函数完备正交函数集集l课本6.5节（P333-P341） 1.只取1和1两个数值 与数字逻辑电路一致 2.正交性质 与正弦/余弦函数类似 内容提要内容提要lWalsh函数研究的历史背景函数研究的历史背景lWalsh函数的概念引入lWalsh函数的性质lWalsh函数与正弦余弦函数比较lWalsh函数的逻辑运动Walsh函数研究的历史背景函数研究的历史背景l19世纪，通信中的函数主要是矩形脉冲。l19世纪末20世纪初，由于电容器和电感的出现，
2、产生了正弦波的谐振电路，正、余弦函数逐渐成为通信理论的数学基础。l20世纪50年代，由于半导体工艺的产生，又使人们寻求新的函数代替正、余弦函数。Walsh函数研究的历史背景函数研究的历史背景l1900年左右，Walsh函数的一个子集Rademacher函数就被用来设计明线线路的导线交叉。l1922年，Rademacher和美国的Walsh独立得到了完整的Walsh函数，并由Walsh于1923年介绍到数学界。但是此后数十年内一直默默无闻，不受重视。Walsh函数研究的历史背景函数研究的历史背景l1969年，美籍奥地利人DR. H.F.Harmuth在IEEE”SPECTRUM”上发表了题为“W
3、alsh函数在通信中的应用”一文，在通信技术界引起了普遍的重视。同年，Harmuth又出版了用正交函数传递信息，详细介绍了Walsh函数及其在通信中的各种应用。l1977年，Harmuth出版了序率理论基础与应用，介绍了一般时间信号的电磁波理论以及由于研究Walsh函数而引起在物理领域中的一些新课题。内容提要内容提要lWalsh函数研究的历史背景lWalsh函数的概念引入函数的概念引入lWalsh函数的性质lWalsh函数与正弦余弦函数比较lWalsh函数的逻辑运动Walsh函数的引入函数的引入数制与编码数制与编码l二进码(Binary Code)数n的二进制表示形式l格雷码(Gray Cod
4、e) 两个相邻数的编码只有一个码位的值不同 l模2加法运算(以符号 表示) 1211002()prrppBrnnnnn n100110100110()2( )( )()prrrrmnmng mg ng mn 十 进 制 二 进 制 码 格 雷 码 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 0 0 1 1 3 0 0 1 1 0 0 1 0 4 0 1 0 0 0 1 1 0 5 0 1 0 1 0 1 1 1 6 0 1 1 0 0 1 0 1 7 0 1 1 1 0 1 0 0 8 1 0 0 0 1 1 0 0 9 1 0 0 1 1 1
5、0 1 10 1 0 1 0 1 1 1 1 11 1 0 1 1 1 1 1 0 12 1 1 0 0 1 0 1 0 13 1 1 0 1 1 0 1 1 14 1 1 1 0 1 0 0 1 15 1 1 1 1 1 0 0 0Walsh函数的引入函数的引入Rademacher函数函数l一组不完备的正交函数R(k,)，满足R(0,)=1 R(k+1,)=(-1)k 其中k是二进制表示的数小数点后第k位的数值。 R(k,)(k=0,1,2,3,4)的图形如下：Walsh函数的概念函数的概念定义定义lWalsh函数以Rademacher函数连乘的形式表示，且Rademacher函数右上方的指
6、数为序号m的Gray Code，即1()0( , ) (1, )kqg mkWal mR kWalsh函数的概念函数的概念定义定义 R(1,R(2,)R(1,R(2,R(3,)R(2,R(3, )R(2,)R(1,R(3,)R(1,R(3,m2 m1 m0g1 g2 g0Wal(m,)0 0 00 0 0Wal(0,) =10 0 10 0 1R(1,)0 1 00 1 1R(2,)R(1,)0 1 10 1 0R(2,)1 0 01 1 0R(3,)R(2,)1 0 11 1 1R(3,)R(2,)R(1,)1 1 01 0 1R(3,)R(1,)1 1 11 0 0R(3,)Walsh函数
7、的概念函数的概念定义定义Walsh函数的概念函数的概念复制理论复制理论l1969年，Swick.D.A提出用镜像复制方法产生Walsh函数wal(m,)。l这种方法不需要从低序号到高序列号递推，只要用序号作为复制信息按镜像复制方法复制，就能直接得到所需的Walsh函数。l这种方法的优点是易于在计算机上用软件实现，也易于用硬件实现。Walsh函数的概念函数的概念复制理论复制理论1.将序号m用二进码表示：m=(mq-1m2m1)B2.以m的二进码作为复制信息，镜像复制方式l复制的初始序列为+1（简写为+）。l二进码的码位的个数q，表示复制的总次数。l二进码的排列次序表示复制次序，即最左位的二进码是
8、第一次复制的信息，以此类推。l二进码的数值表示复制的方式。0表示以偶对称的方式复制，1表示以奇对称方式复制。Walsh函数的概念函数的概念复制理论复制理论序号 二进码初始序律第一次复制序列第二次复制序列第三次复制序列mm2m1m0 m2 m1 m00000+1001+-2010+-+3011+-+-4100+-+-+5101+-+-+-6110+-+-+-+7111+-+-+-+-Walsh函数的概念函数的概念复制理论复制理论内容提要内容提要lWalsh函数研究的历史背景lWalsh函数的概念引入lWalsh函数的性质函数的性质lWalsh函数与正弦余弦函数比较lWalsh函数的逻辑运动Wal
9、sh函数的性质函数的性质l性质1 乘法定理且服从结合律，即l证明如下：l结合律证明类似Wal(n, )al(m, )al(nm, )WW( , )( , )( , )( , )( , )( , )Wal nWal mWal lWal nWal mWal l11()( )0011()( )()00( , )( , ) (1, ) (1, ) (1, ) (1, )kkkkkqqg mg nkkqqg mg ng mnkkWal mWal nR kR kR kR kWalsh函数的性质函数的性质l性质2 归一正交化 l性质3 Walsh函数形成群，即由Walsh函数全体所组成的集合Wal(n,)，
10、n=0,1,2,3.,对于乘法运算而言，形成一个可交换群。l这两个性质均可以由性质一证明。100 nm( , )( , )1 nmWal nWal md内容提要内容提要lWalsh函数研究的历史背景lWalsh函数的概念引入lWalsh函数的性质lWalsh函数与正弦余弦函数比较函数与正弦余弦函数比较lWalsh函数的逻辑运动Walsh函数与正弦余弦函数比较函数与正弦余弦函数比较1q1kF(m)k) t ,T, 1k(RRy,Rx沃尔什函数正/余弦函数相似点是否正交系是是有无奇偶性以1/2点为对称中心，奇偶性以为对称中心，奇偶性表示变化快慢的物理量序率频率相异点物理本质根据某种信息按某种方式的
11、复制过程在单位圆的圆周上质点作周期性运动的过程是否周期性函数否是离散/连续离散的连续的表达式是否有多处奇偶性是否有无初始相位无有 特征运算模2加普通算术运算内容提要内容提要lWalsh函数研究的历史背景lWalsh函数的概念引入lWalsh函数的性质lWalsh函数与正弦余弦函数比较lWalsh函数的逻辑运动函数的逻辑运动Walsh函数的逻辑运动函数的逻辑运动Walsh函数中的“+”代表事物的某种特性，在逻辑运算中代表“肯定”；“-”代表与之相对立的特性，在逻辑运动中代表“否定”。Walsh函数中，+、-值的跳变，代表事物向着其反方向变化的过程，在逻辑运动中“肯定”和“否定”之间满足以下关系：
12、l肯定之肯定为肯定，否定之否定为肯定l肯定之否定为否定，否定之肯定为否定Walsh函数的逻辑运动函数的逻辑运动例例1：用0表示白天，用1表示黑夜，是地球上某处的人所感觉到的时间概念，如果对这个时间模2加1，则0变成1，1变成0，即白天变为黑夜，黑夜变为白天。 从逻辑上讲，模2加1，是作用一个否定，那么原来肯定的就变为否定了，原来否定的就变为肯定了。从物理上看，模2加1，就相当于从地球上某处转到另一处去了，另一处与原处恰好是地球直径上的两个端点。Walsh函数的逻辑运动函数的逻辑运动例例2：如果用00代表春天，01代表夏天，10代表秋天，11代表冬天，如果对这个时间模2加10，那么原来的00，0
13、1，10，11就依次变为10，11，00，01，即模2加10后的时间变为秋，冬，春，夏。 如果模2加以前的时间，代表北半球观察到的时间的话，那么模2加以后的时间，恰好是南北球观察到的时间，模2加10代表从北半球移到南半球的过程。 Thank you for your Presence!l郭 硕 2002011413(gglemonFree)l贺 主 2002011401(CatouchFree)l相 燕 2002011387(vittataFree)l肖 轶 2002011382(redstormFree)l张欣怡 2002011402(xxyyzzFree)l朱 昊 2002011395(zoohowFree)The End！