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1、多媒体课件广东石油化工学院理学院数学系广东石油化工学院理学院数学系3.4函数的单调性与凹凸性一、函数单调性的判别法一、函数单调性的判别法函数的单调性是函数的基本性质之一函数的单调性是函数的基本性质之一( )f x, a b12,x xa b函数函数在在上的单调性是指对上的单调性是指对， 12xx12()()f xf x若若，则有，则有（单调递增）（单调递增） 或或12()()f xf x（单调递减）（单调递减）, a b12,x xa b12xx12()()0 xx0一般情况，我们判别函数在一般情况，我们判别函数在上的单调性，基本上的单调性，基本，若，若证明证明（或（或但若函数比较复杂和特殊，
2、用这种方法但若函数比较复杂和特殊，用这种方法方法是对方法是对）即可）即可, 就很难判别就很难判别应用应用拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理，得到判别函数单调性方法，得到判别函数单调性方法.( )f x, a b, a b12,x x12xx12,x x若若在在上连续，在上连续，在可导，对可导，对，若，若，在区间，在区间上应用拉格朗日上应用拉格朗日, a b中值定理有中值定理有2121()()( )()xxxx 1x2x，（，（ 介于介于与与之间）之间）, a b( )0fx若在若在内内，2121()()( )()0 xxxx 21()(xx则则，即，即( )x, a b故故在在上单调递增；上单调
3、递增； , a b0 ( )x( )x, a b若在若在内内，可证得，可证得在在上单调递减上单调递减 我们得到如下函数单调性的判别定理我们得到如下函数单调性的判别定理( )x, a b, a b定理定理1 设函数设函数在在上连续，在上连续，在内可导，内可导，下列结论成立：下列结论成立：, a b ( )0 x ，( )x, a b(1) 若在若在内内则则在在上上单调递增；单调递增；, a b ( )0 x ，( )x, a b(2) 若在若在内内则则在在上上单调递减单调递减, a b( )f x, a b此判别法把闭区间此判别法把闭区间换成其它各种区间结论仍成立换成其它各种区间结论仍成立只在只
4、在上有限个点导数为上有限个点导数为0或导数不存在，或导数不存在，如果如果定理结论仍成立定理结论仍成立3yxx(,) 例例1 判定函数判定函数在在的单调性的单调性(,) 2( )301xx ，3()xxx(,) 解解 因为在因为在上，上，在在上是单调增加的上是单调增加的 例例2 讨论函数讨论函数lnyxx的单调性的单调性解解 函数定义域为函数定义域为(0,).11yx ，0y 0.y (0,)在在不能确定不能确定或或1x ，0y 令令，得，得01x0y ，所以当所以当时，时，函数在函数在0,1区间上区间上1x 0y ，(1,)当当时，时，函数在函数在上是上是是单调递减的，是单调递减的，单调递增的
5、单调递增的例例3 讨论函数讨论函数23yx的单调性的单调性解解 定义域为定义域为(,). 0 x 323 x；当当时，时， 当当0 x 时，函数导数不存在时，函数导数不存在 (,0)0y ，在在内内 23yx(,0)在在内是内是单调递减单调递减的的 (0,)0y ，在在内内23yx(0,)在在上是上是单调递增单调递增的的由例由例2，例，例3可以看出，可以看出，函数单调区间发生改变的函数单调区间发生改变的分界点一般在分界点一般在导数为导数为0的点或导数不存在的点的点或导数不存在的点因此，讨论函数的单调性，只要求出函数导数为因此，讨论函数的单调性，只要求出函数导数为0的点和导数不存在的点，利用这些
6、点来划分函数的点和导数不存在的点，利用这些点来划分函数的定义域区间，在每个区间上就可判断函数的单的定义域区间，在每个区间上就可判断函数的单调性了调性了例例4 确定函数确定函数3221yxxx的单调区间的单调区间3221yxxx(,). 解解 函数函数定义域为定义域为因为因为2341yxx (31)(1)xx0y ，(31)(1)0 xx ，13x ，1.x 令令有有得得13x ，1x 把定义域分成：把定义域分成：1, 3（，1,13（,1, ，1,3（0y ，且在区间且在区间内内函数函数单调递增；单调递增；1,13（0y ，在区间在区间内内函数函数单调递减单调递减;1,0y ，在区间在区间内内
7、函数函数单调递增单调递增例例4 确定函数确定函数3221yxxx的单调区间的单调区间1,3（0y ，且在区间且在区间内内函数函数单调递增；单调递增；1,13（0y ，在区间在区间内内函数函数单调递减单调递减;1,0y ，在区间在区间内内函数函数单调递增单调递增例例4 确定函数确定函数3221yxxx的单调区间的单调区间3221yxxx(,). 解解 函数函数定义域为定义域为因为因为2341yxx (31)(1)xx0y ，(31)(1)0 xx ，13x ，1.x 令令有有得得13x ，1x 把定义域分成：把定义域分成：1, 3（，1,13（,1, ，1,3（0y ，且在区间且在区间内内函数函
8、数单调递增；单调递增；1,13（0y ，在区间在区间内内函数函数单调递减单调递减;1,0y ，在区间在区间内内函数函数单调递增单调递增例例5 确定函数确定函数41333( )324f xxx的单调区间的单调区间,0，0,1(，1,将函数的定义域分成三个区间将函数的定义域分成三个区间,0 x ( )0fx ，且当且当时，时，0,1x( )0fx ，当当时，时，1,x( )0fx ，当当时，时，f(x)单调减少；单调减少；f(x)单调减少，单调减少，f(x)单调递增单调递增利用函数的单调性，还可证明一些不等式利用函数的单调性，还可证明一些不等式例例5说明说明: 虽然函数单调性改变发生的虽然函数单调
9、性改变发生的分界点一分界点一定在函数导数为定在函数导数为0的点和不可导点的点和不可导点.但不可导点和导数为但不可导点和导数为0的点不一定是函数单调性的点不一定是函数单调性发生改变的分界点，例发生改变的分界点，例5的不可导点就不是分界点的不可导点就不是分界点一般的，如果一般的，如果f(x)在某区间的有限个点导数为在某区间的有限个点导数为0或导数不存在，在其余点均正（或负），则或导数不存在，在其余点均正（或负），则f(x)在该在该区间上仍是单调递增（或递减）的区间上仍是单调递增（或递减）的例例6 证明不等式证明不等式 123(1)xxx证明证明 设设1( )=23f xxx ，知知(1)0f ，)
10、 (x211xx3221xx0(1)x ( )f x(1,)在在单调递增单调递增, ( )f x(1)0,f1x ，1230 xx ， 2 x 13x， (1).x 即即二、函数的凹凸性与拐点二、函数的凹凸性与拐点函数的单调性反映了函数曲线在区间上的上升或函数的单调性反映了函数曲线在区间上的上升或下降，但它不能反映函数曲线在这一区间上的弯曲下降，但它不能反映函数曲线在这一区间上的弯曲程度程度( )f x ， ( )g x, a b( )x( )g x如图如图3.3，函数曲线，函数曲线在在上都上都是上凸的，曲线是上凸的，曲线是递增的，弯曲程度不同，是递增的，弯曲程度不同，曲线曲线是上凹的是上凹的
11、.为此，我们有必要研究一下曲线的弯曲方向问题。为此，我们有必要研究一下曲线的弯曲方向问题。下面我们给出描述曲线弯曲程度的下面我们给出描述曲线弯曲程度的曲线凹凸性曲线凹凸性定义定义( )f x12,x x，1212()()22xxxx，( )f x定义定义1 设函数设函数在区间在区间上连续，若对上连续，若对恒有恒有那么称那么称在区间在区间上图形是凹的；上图形是凹的；1212()()22xxxx，( )f x若恒有若恒有那么称那么称在区间在区间上图形是凸的上图形是凸的定义定义1的实际意义是的实际意义是:若位于这两点连线上方，则曲线是凸的若位于这两点连线上方，则曲线是凸的在区间在区间 上函数曲线任意
12、上函数曲线任意两点间的部分，两点间的部分，若位于这两点连线下方，若位于这两点连线下方， 则曲线是则曲线是凹的；凹的；xyo)(xfy 1x2xABxxyo)(xfy 1x2xABx关于函数曲线的凹凸性，我们有如下判定定理关于函数曲线的凹凸性，我们有如下判定定理:( )x, a b, a b定理定理2 设函数设函数在在上连续，在上连续，在内具有一阶和二阶导数，内具有一阶和二阶导数，, a b( )0fx( )f x, a b若在若在内内，则，则在在上的上的图形是图形是凹凹的；的；, a b( )0fx( )f x, a b若在若在内内，则，则在在上的上的图形是图形是凸凸的；的；, a b)0 (
13、x， f x, a b12,x x，12xx，122xxf12()()2f xf x，12()2xf（x1202xxf证证 若在区间若在区间内内我们证函数我们证函数曲线在曲线在上的凹性对上的凹性对不妨设不妨设要证要证只要证只要证,即可即可 事实上，由于事实上，由于1212()()22xxf xf xf12122122xxxxf xfff x121,2xxx，122,2xxx1211,2xxx ，1222,2xxx ，1212xxff x2112xxf ，1222xxf xf212.2xxf 在区间在区间上应用微分中值定理上应用微分中值定理, 使得使得1212( )() 2 ()2xxf xf
14、xf212121( )()( )22xxxxff 2121()( )2xxff ( )fx12, 12, ，将将在在上应用微分中值定理，存在上应用微分中值定理，存在使得使得21ff 21f121222xxf xf xf 21212xxf 21210,fxxx，1212202xxf xf xf121222f xf xxxf f x, a b即即这就证明了这就证明了曲线在曲线在上是凹的上是凹的 f x, a b曲线曲线在在上凸性证明类似于凹性证明上凸性证明类似于凹性证明例例7 判定曲线判定曲线lnyx的凹凸性的凹凸性lnyx0,.1,yx 21,yx 0,0y ，lnyx0,解解 的定义域为的定义
15、域为在在内内故曲线故曲线在在内是凸的内是凸的3yxx3yxx,. 231yx ，6yx ，0,x0y ，,0 x 0.y 3yxx,00,例例8 判定曲线判定曲线 的凹凸性的凹凸性. 的定义域是的定义域是当当时，时，当当时，时，曲线曲线在在上是凸的，上是凸的，内曲线是凹的内曲线是凹的解解 在在 f x00,xf x00,xf x f x定义定义2 若曲线若曲线经过点经过点时凹凸性时凹凸性为曲线为曲线的的拐点拐点发生改变，那么称点发生改变，那么称点函数曲线的拐点一般函数曲线的拐点一般出现在函数二阶导数为出现在函数二阶导数为0的点的点和和二阶导数不存在的点二阶导数不存在的点. 3f xx 00f
16、，0,0 13f xx 0f 0,0二阶导二阶导点点是拐点；是拐点；二阶导二阶导不存在，不存在，点是拐点点是拐点 例例10 求曲线求曲线32231214yxxx的拐点及凹凸区间的拐点及凹凸区间32231214yxxx, ，解解 函数函数的定义域为的定义域为且且26612yxx ，1126122yxx ，0y ，12x ，12x 0y ，令令得得当当时，时， 12x 0y ，当当时，时， 因此，点因此，点11,2022是函数曲线的拐点，是函数曲线的拐点， 1,2 1,2且且是函数曲线的凸区间，是函数曲线的凸区间，是函数曲线的凹区间是函数曲线的凹区间问题讨论：问题讨论：1举例说明函数导数为举例说明
17、函数导数为0的点和不可导点不一定的点和不可导点不一定是函数单调性发生改变的分界点是函数单调性发生改变的分界点4yx23yx2通过函数通过函数，说明二阶导为零的点和二阶导不存在的点，不一定说明二阶导为零的点和二阶导不存在的点，不一定是函数曲线的拐点是函数曲线的拐点本节利用微分中值定理给出了函数单调性的判本节利用微分中值定理给出了函数单调性的判别方法和函数曲线凹凸性的判别方法别方法和函数曲线凹凸性的判别方法函数单调性发生改变的点一定在函数导数为函数单调性发生改变的点一定在函数导数为0的点和不可导点取得；的点和不可导点取得；函数曲线的拐点一定在函数二阶导为函数曲线的拐点一定在函数二阶导为0的点和的点和二阶导不可导点取得二阶导不可导点取得