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1、高等数学多媒体课件广东石油化工学院理学院数学系广东石油化工学院理学院数学系3.4函数的单调性与凹凸性一、函数单调性的判别法一、函数单调性的判别法函数的函数的单调单调性是函数的基本性性是函数的基本性质质之一之一函数函数在在上的上的单调单调性是指性是指对对，若若，则则有有（单调递单调递增）增）或或（单调递单调递减）减）一般情况，我一般情况，我们们判判别别函数在函数在上的上的单调单调性，基本性，基本，若，若证证明明（或（或但若函数比但若函数比较较复复杂杂和特殊，用和特殊，用这这种方法种方法方法是方法是对对）即可）即可,就很就很难难判判别别应应用用拉格朗日中拉格朗日中值值定理定理，得到判，得到判别别函
2、数函数单调单调性方法性方法.若若在在上上连续连续，在，在可可导导，对对，若，若，在区，在区间间上上应应用拉格朗日用拉格朗日中中值值定理有定理有，（，（介于介于与与之之间间）若在若在内内，则则，即，即故故在在上上单调递单调递增；增；若在若在内内，可，可证证得得在在上上单调递单调递减减 我我们们得到如下函数得到如下函数单调单调性的判性的判别别定理定理定理定理1 设设函数函数在在上上连续连续，在，在内可内可导导，下列下列结论结论成立：成立：(1)若在若在内内则则在在上上单调递单调递增；增；(2)若在若在内内则则在在上上单调递单调递减减此判此判别别法把法把闭闭区区间间换换成其它各种区成其它各种区间结论
3、间结论仍成立仍成立只在只在上有限个点上有限个点导导数数为为0或或导导数不存在，数不存在，如果如果定理定理结论结论仍成立仍成立例例1 判定函数判定函数在在的的单调单调性性解解 因因为为在在上，上，在在上是上是单调单调增加的增加的 例例2 讨论讨论函数函数的的单调单调性性解解 函数定函数定义义域域为为在在不能确定不能确定或或令令，得，得所以当所以当时时，函数在函数在区区间间上上当当时时，函数在函数在上是上是是是单调递单调递减的，减的，单调递单调递增的增的例例3 讨论讨论函数函数的的单调单调性性解解 定定义义域域为为当当时时，当当时时，函数，函数导导数不存在数不存在 在在内内 在在内是内是单调递单调
4、递减减的的 在在内内在在上是上是单调递单调递增增的的由由例例2，例例3可可以以看看出出，函函数数单单调调区区间间发发生生改改变变的的分界点一般在分界点一般在导导数数为为0的点或的点或导导数不存在的点数不存在的点因因此此，讨讨论论函函数数的的单单调调性性，只只要要求求出出函函数数导导数数为为0的的点点和和导导数数不不存存在在的的点点，利利用用这这些些点点来来划划分分函函数数的的定定义义域域区区间间，在在每每个个区区间间上上就就可可判判断断函函数数的的单单调调性了性了例例4 确定函数确定函数的的单调单调区区间间解解 函数函数定定义义域域为为因因为为令令有有得得把定把定义义域分成：域分成：且在区且在
5、区间间内内函数函数单调递单调递增；增；在区在区间间内内函数函数单调递减单调递减;在区在区间间内内函数函数单调递单调递增增例例4 确定函数确定函数的的单调单调区区间间且在区且在区间间内内函数函数单调递单调递增；增；在区在区间间内内函数函数单调递减单调递减;在区在区间间内内函数函数单调递单调递增增例例4 确定函数确定函数的的单调单调区区间间解解 函数函数定定义义域域为为因因为为令令有有得得把定把定义义域分成：域分成：且在区且在区间间内内函数函数单调递单调递增；增；在区在区间间内内函数函数单调递减单调递减;在区在区间间内内函数函数单调递单调递增增例例5 确定函数确定函数的的单调单调区区间间将函数的定
6、将函数的定义义域分成三个区域分成三个区间间且当且当时时，当当时时，当当时时，f(x)单调单调减少；减少；f(x)单调单调减少，减少，f(x)单调递单调递增增利用函数的利用函数的单调单调性，性，还还可可证证明一些不等式明一些不等式例例5说说明明:虽虽然然函函数数单单调调性性改改变变发发生生的的分分界界点点一一定在函数定在函数导导数数为为0的点和不可的点和不可导导点点.但但不不可可导导点点和和导导数数为为0的的点点不不一一定定是是函函数数单单调调性性发发生改生改变变的分界点，例的分界点，例5的不可的不可导导点就不是分界点点就不是分界点一一般般的的，如如果果f(x)在在某某区区间间的的有有限限个个点
7、点导导数数为为0或或导导数数不不存存在在，在在其其余余点点均均正正（或或负负），则则f(x)在在该该区区间间上仍是上仍是单调递单调递增（或增（或递递减）的减）的例例6 证证明不等式明不等式 证证明明 设设知知 在在单调递单调递增增,即即二、函数的凹凸性与拐点二、函数的凹凸性与拐点函数的函数的单调单调性反映了函数曲性反映了函数曲线线在区在区间间上的上升或上的上升或下降，但它不能反映函数曲下降，但它不能反映函数曲线线在在这这一区一区间间上的弯曲程上的弯曲程度度如如图图3.3，函数曲，函数曲线线在在上都上都是上凸的，曲是上凸的，曲线线是是递递增的，弯曲程度不同，增的，弯曲程度不同，曲曲线线是上凹的是
8、上凹的.为此，我们有必要研究一下曲线的弯曲方向问题。为此，我们有必要研究一下曲线的弯曲方向问题。下面我下面我们给们给出描述曲出描述曲线线弯曲程度的弯曲程度的曲曲线线凹凸性凹凸性定定义义定定义义1 设设函数函数在区在区间间上上连续连续，若，若对对恒有恒有那么称那么称在区在区间间上上图图形是凹的；形是凹的；若恒有若恒有那么称那么称在区在区间间上上图图形是凸的形是凸的定定义义1的的实际实际意意义义是是:若位于若位于这这两点两点连线连线上方，上方，则则曲曲线线是凸的是凸的在区在区间间 上函数曲上函数曲线线任意任意两点两点间间的部分，的部分，若位于若位于这这两点两点连线连线下方，下方，则则曲曲线线是是凹
9、的；凹的；xx关于函数曲关于函数曲线线的凹凸性，我的凹凸性，我们们有如下判定定理有如下判定定理:定理定理2 设设函数函数在在上上连续连续，在，在内具有一内具有一阶阶和二和二阶导阶导数，数，若在若在内内，则则在在上的上的图图形是形是凹凹的；的；若在若在内内，则则在在上的上的图图形是形是凸凸的；的；证证 若在区若在区间间内内我我们证们证函数函数曲曲线线在在上的凹性上的凹性对对不妨不妨设设要要证证只要只要证证,即可即可 事事实实上，由于上，由于在区在区间间上上应应用微分中用微分中值值定理定理,使得使得将将在在上上应应用微分中用微分中值值定理，存在定理，存在使得使得即即这这就就证证明了明了曲曲线线在在
10、上是凹的上是凹的曲曲线线在在上凸性上凸性证证明明类类似于凹性似于凹性证证明明例例7 判定曲判定曲线线的凹凸性的凹凸性解解 的定的定义义域域为为在在内内故曲故曲线线在在内是凸的内是凸的例例8 判定曲判定曲线线 的凹凸性的凹凸性.的定的定义义域是域是当当时时，当当时时，曲曲线线在在上是凸的，上是凸的，内曲内曲线线是凹的是凹的解解 在在定定义义2 若曲若曲线线经过经过点点时时凹凸性凹凸性为为曲曲线线的的拐点拐点发发生改生改变变，那么称点，那么称点函数曲函数曲线线的拐点一般的拐点一般出出现现在函数二在函数二阶导阶导数数为为0的点的点和和二二阶导阶导数不存在的点数不存在的点.二二阶导阶导点点是拐点；是拐
11、点；二二阶导阶导不存在，不存在，点是拐点点是拐点 例例10 求曲求曲线线的拐点及凹凸区的拐点及凹凸区间间解解 函数函数的定的定义义域域为为且且令令得得当当时时，当当时时，因此，点因此，点是函数曲是函数曲线线的拐点，的拐点，且且是函数曲是函数曲线线的凸区的凸区间间，是函数曲是函数曲线线的凹区的凹区间间问题讨论问题讨论：1举举例例说说明明函函数数导导数数为为0的的点点和和不不可可导导点点不不一一定定是函数是函数单调单调性性发发生改生改变变的分界点的分界点2通通过过函数函数，说说明二明二阶导为阶导为零的点和二零的点和二阶导阶导不存在的点，不一定不存在的点，不一定是函数曲是函数曲线线的拐点的拐点本本节节利利用用微微分分中中值值定定理理给给出出了了函函数数单单调调性性的的判判别别方法和函数曲方法和函数曲线线凹凸性的判凹凸性的判别别方法方法函函数数单单调调性性发发生生改改变变的的点点一一定定在在函函数数导导数数为为0的点和不可的点和不可导导点取得；点取得；函函数数曲曲线线的的拐拐点点一一定定在在函函数数二二阶阶导导为为0的的点点和和二二阶导阶导不可不可导导点取得点取得