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1、24.1.1 24.1.1 圆圆 圆也是一种和谐、美丽的图形，无圆也是一种和谐、美丽的图形，无论从哪个角度看，它都具有同一形状。论从哪个角度看，它都具有同一形状。十五的满月、圆圆的月饼都象征着圆满、十五的满月、圆圆的月饼都象征着圆满、团圆、和谐。团圆、和谐。 古希腊的数学家毕达古希腊的数学家毕达哥拉斯认为：哥拉斯认为：“一切立体图一切立体图形中最美的是球，一切平面形中最美的是球，一切平面图形中最美的是圆图形中最美的是圆”。 圆是一种基本的几何图形，圆是一种基本的几何图形，圆形物体在生活中随处可见。圆形物体在生活中随处可见。 圆是生活中常见的图形，许多圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的
2、形象。物体都给我们以圆的形象。欣赏图片 如图，在一个平面内，线段如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个绕它固定的一个端点端点O旋转一周，另一个端点旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做所形成的图形叫做圆圆rOA固定的端点固定的端点O叫做叫做圆心圆心线段线段OA叫做叫做半径半径以点以点O为圆心的圆，记作为圆心的圆，记作“ O”，读作读作“圆圆O”我国古人很早对我国古人很早对圆就有这样的认圆就有这样的认识了，战国时的识了，战国时的墨经墨经就有就有“圆，一中同长圆，一中同长也也”的记载它的记载它的意思是圆上各的意思是圆上各点到圆心的距离点到圆心的距离都等于半径都等于半径圆的概念圆的概念提问：根据
3、圆的定义，”圆“指的是”圆周“还是”圆面“？圆指的是圆周.我们知道，线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点的距离相等的点的集合，那么圆从集合的角度应该怎样定义？（1）圆上各点到定点（圆心）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于）的距离都等于_ 归纳：归纳：圆心为圆心为O、半径为、半径为r的圆可以的圆可以看成是所有到定点看成是所有到定点O的距离等于定长的距离等于定长r 的点的集合的点的集合从画圆的过程可以看出：从画圆的过程可以看出：（2）到定点的距离等于定长的点都在）到定点的距离等于定长的点都在_上上定长（半径定长（半径r）同一个圆同一个圆动态动态：在一个平面内，线段在一个平面内，线段OA绕它固
4、定绕它固定的一个端点的一个端点O旋转一周，另一个端点旋转一周，另一个端点A所所形成的图形叫做形成的图形叫做圆圆静态静态：圆心为圆心为O、半径为、半径为r的圆可以看成的圆可以看成是所有到定点是所有到定点O的距离等于定长的距离等于定长r 的点组的点组成的图形成的图形同心圆同心圆 等圆等圆圆心相同，半径不同圆心相同，半径不同半径相同，圆心不同半径相同，圆心不同确定一个圆的要素确定一个圆的要素:圆心确定其圆心确定其位置位置，一是一是圆心圆心，二是二是半径半径半径确定其半径确定其大小大小思考：观察下列图形中的圆有什么特征？议一议、说一说1、车轮为什么做成圆形的？试想一下，如果车轮不是圆的（比如椭或正方形
5、的），坐车的人会是什么感觉？议一议、说一说2、如果车轮做成三角形或正方形的，坐如果车轮做成三角形或正方形的，坐车的人会是什么感觉？车的人会是什么感觉？ 把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感到非常平稳，这就是车轮都做成圆形的数学道感到非常平稳，这就是车轮都做成圆形的数学道路。路。圆上的点到圆心的距离是一个定值圆
6、上的点到圆心的距离是一个定值同步练习同步练习1 1、填空：、填空： （1 1）根据圆的定义，）根据圆的定义，“圆圆”指的是指的是“ ”，而不是，而不是“圆面圆面”。（2 2）圆心和半径是确定一个圆的两个必需条件，）圆心和半径是确定一个圆的两个必需条件，圆心决定圆的圆心决定圆的 ，半径决定圆的，半径决定圆的 ，二者缺一不可。二者缺一不可。 圆周圆周位置位置大小大小 2.2.如何在操场上画一个半径是如何在操场上画一个半径是5m5m的圆？说出你的理由的圆？说出你的理由. . 首先确定圆心首先确定圆心, , 然后用然后用5 5米长的绳子米长的绳子一端固定为圆心端一端固定为圆心端, ,另一端系上一根尖木
7、另一端系上一根尖木棒棒, ,木棒绕着圆心端划动一周木棒绕着圆心端划动一周, ,所形成的图所形成的图形就是所画的圆形就是所画的圆. .根据圆的形成定义根据圆的形成定义3 你见过树木的年轮吗你见过树木的年轮吗?从树木的年轮从树木的年轮,可以很清楚可以很清楚的看出树木生长的年龄的看出树木生长的年龄,如果一棵如果一棵20年树龄的红杉年树龄的红杉树的树干直径是树的树干直径是23cm,这棵红杉树的半径每年增加这棵红杉树的半径每年增加多少多少?解解: 23220=0.575cm 答答: 这棵红衫树的半径每年增加这棵红衫树的半径每年增加0.575cm 画一画画一画已知已知AB=3cmAB=3cm，作图说明满足
8、下列要求的图形：作图说明满足下列要求的图形：(3)(3)到点到点A A和和B B的距离都等于的距离都等于2cm2cm的所有点组成的图形的所有点组成的图形. . (1)(1)到点到点A A的距离的距离等等于于2cm2cm的所有点组成的图形的所有点组成的图形. . (2)(2)到到点点B B的距离的距离等等于于2cm2cm的所有点组成的图形。的所有点组成的图形。 画一画画一画已知已知AB=3cmAB=3cm，作图说明满足下列要求的图形：作图说明满足下列要求的图形： (1)(1)到点到点A A的距离的距离等等于于2cm2cm的所有点组成的图形的所有点组成的图形. . 到点到点A A的距离等于的距离等
9、于2cm2cm的所的所有点组成的图形是以有点组成的图形是以A A为为圆心，以圆心，以2cm2cm为半径的圆。为半径的圆。A2cmB画一画画一画已知已知AB=3cmAB=3cm，作图说明满足下列要求的图形：作图说明满足下列要求的图形： (2)(2)到到点点B B的距离的距离等等于于2cm2cm的所有点组成的图形。的所有点组成的图形。 到点到点B B的距离等于的距离等于2cm2cm的所的所有点组成的图形是以有点组成的图形是以B B为为圆心，以圆心，以2cm2cm为半径的圆。为半径的圆。B2cmA设设AB=3cm，作图说明满足下列要求的图形：，作图说明满足下列要求的图形：（）到点（）到点A和点和点B
10、的距离都等于的距离都等于2cm的所有点的所有点组成的图形组成的图形.ABCD到点到点A和点和点B的距离都等于的距离都等于2cm的所有点组成的图形是分别的所有点组成的图形是分别以以A、B为圆心，为圆心，2cm为半径的两个圆的交点。为半径的两个圆的交点。 经过圆心的弦（如图中的经过圆心的弦（如图中的ABAB）叫做）叫做直径直径COA连接圆上任意两点的线段（如图连接圆上任意两点的线段（如图ACAC）叫做）叫做弦弦，与圆有关的概念与圆有关的概念弦B议一议议一议小明和小强为了探究小明和小强为了探究 , O中有没有最长的弦中有没有最长的弦?经过了大量的测量，最后得出一致结论，直径经过了大量的测量，最后得出
11、一致结论，直径是圆中最长的弦，你认为他们的结论对吗？是圆中最长的弦，你认为他们的结论对吗？试说说你的理由试说说你的理由.ABOCD圆上任意两点间的部分叫做圆上任意两点间的部分叫做圆弧圆弧，简称，简称弧弧以以A A、B B为端点的弧记作为端点的弧记作 ，读作，读作“圆弧圆弧ABAB”或或“弧弧ABAB”圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做弧，每一条弧都叫做半圆半圆OAB弧ABABBOACOAB劣弧与优弧劣弧与优弧 小于半圆的弧（如图中的）叫做小于半圆的弧（如图中的）叫做劣弧；劣弧；AC大于半圆的弧（用三个字母表示，大于半圆的弧（用三个字母
12、表示，如图中的如图中的 ）叫做）叫做优弧优弧.ABC弧有三类，分别是弧有三类，分别是优弧、劣弧、半圆。优弧、劣弧、半圆。由弦及其所对的弧组成的图弧组成的图形叫弓形。形叫弓形。提醒：知道弧的两个起弧的两个起点，不能判断它是优弧点，不能判断它是优弧还是劣弧，需分情况讨还是劣弧，需分情况讨论。论。等圆等圆能够重合的两个圆是能够重合的两个圆是等圆等圆。容易看出：半径相等的两个圆是等圆；容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等。反过来，同圆或等圆的半径相等。BO1A等弧等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧等弧。DO2FECv同心圆同心圆：
13、圆心相同而半径不等的两个圆或多个圆圆心相同而半径不等的两个圆或多个圆。同心圆同心圆 1 1、如图，请用正确的方式表示出以点、如图，请用正确的方式表示出以点A A为端点的优弧及劣弧为端点的优弧及劣弧. . F E D C B A O?IACDACFADEADCACAEAFAD优弧：优弧：劣弧：劣弧：应用概念：应用概念：2、想一想、想一想判断下列说法的正误：判断下列说法的正误：(1)(1)弦是直径；弦是直径；(2)(2)半圆是弧；半圆是弧；(3)(3)过圆心的线段是直径；过圆心的线段是直径；(7)(7)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆；(8)半径相等的两个圆是等
14、圆半径相等的两个圆是等圆；(4)(4)过圆心的直线是直径；过圆心的直线是直径；(5)(5)半圆是最长的弧；半圆是最长的弧；(6)(6)直径是最长的弦；直径是最长的弦；( )( )( )( )( )( )( )( )（9）长度相等的弧是等弧）长度相等的弧是等弧； ( )OBCA 3. 3.如图如图, ,半径有半径有:_:_OAOA、OBOB、OCOC7.7.如图如图, ,弦有弦有:_:_ABAB、BC BC 、ACAC直径是过圆心的弦，凡是直径都是弦，但弦不一定是直径，因此，提到?“弦”时，如果没有特殊说明，不要忘记直径这种特殊的弦.OBCA 4. 4.如图如图, ,ABABBCBC 劣弧劣弧有
15、：有：优弧优弧有：有：A ACBBABAC你知道优弧与劣弧的区别么？你知道优弧与劣弧的区别么？判断判断：半圆是弧，但弧不一定是半圆半圆是弧，但弧不一定是半圆.( )5 5、圆中最长的弦长为、圆中最长的弦长为12cm,12cm,则该圆则该圆的半径为的半径为 . . 1010、下列说法错误的有（、下列说法错误的有（ ）个）个经过经过P P点的圆有无数个点的圆有无数个. .以以P P为圆心的圆有无数个为圆心的圆有无数个. .半径为半径为3cm3cm且经过且经过P P点的圆有无数个点的圆有无数个. .以以P P为圆心，以为圆心，以3cm3cm为半径的圆有无数为半径的圆有无数个个. A. A、1 B1
16、B、2 C2 C、3 D3 D、4 4A A6cm提示：圆心和半径是确定一个圆的两个必要条件，圆心确定位置，半径确定大小，二者缺一不可. 6 6、 如图如图, ,一根一根5m5m长的绳长的绳子子, ,一端栓在一端栓在柱子上柱子上, ,另一另一端栓着一只羊端栓着一只羊, ,请画出羊的活请画出羊的活动区域动区域. . 练一练5 55mo4m正确答案正确答案5mo4m6、圆的半径为、圆的半径为1cm，它的周长是，它的周长是 ； 面积是面积是 。7、下列说法中，正确是有（、下列说法中，正确是有（ ）（1）直径是圆中最长的弦；（）直径是圆中最长的弦；（2）弧）弧AB的长度的长度大于弦大于弦AB的长度；（
17、的长度；（3）直径的中点是圆心；）直径的中点是圆心；（4）不在圆上的点到圆心的距离不等于半径。）不在圆上的点到圆心的距离不等于半径。A4个个 B3个个 C2个个 D1个个范例范例例例1、如图，点、如图，点A、B在在 O上，上，AOB=60，试说明，试说明ABO的等边三角形。的等边三角形。OAB2、如图，、如图，OA、OB、OC是是 O的三条的三条半径，半径，AOC=BOC ，M、N分别是分别是OA、OB的中点。的中点。求证：求证：MC=NC。巩固巩固OCNABM3、如图，、如图， O的直径的直径AB=4cm，AC与与AB成成45角，求圆心角，求圆心O到到AC的距离。的距离。OABC巩固巩固范例
18、范例例例2、已知：如图，在、已知：如图，在 O中，中，A、B是是线段线段CD于圆的两个交点，且于圆的两个交点，且AC=BD。求证：求证：OCD为等腰三角形。为等腰三角形。OCDAB半径是重要的辅助线半径是重要的辅助线4、如图，点、如图，点A、B、C都在都在 O上，且上，且AB=AC，求证：，求证： BAO=CAO。巩固巩固OBCA巩固巩固5、如图，、如图，AB、CD是是 O的两条互相的两条互相垂直的直径。垂直的直径。(1)试判断四边形试判断四边形ACBD是什么特殊四是什么特殊四边形，并证明你的猜想；边形，并证明你的猜想；(2)若若 O的半径的半径r=2cm，求四边形求四边形ACBD的周长。的周长。OABCD6、如图，、如图，CD是是 O的直径，点的直径，点A在在DC的延长线上，的延长线上，AE交交 O于点于点B、E，AB等于等于 O的半径，的半径，DOE=78，求，求A的度数。的度数。OCDEAB巩固巩固