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1、抛物线中两线段和最小问题（及差最大问题）（已整理A4）1. （2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与一直线相交于A（1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N其顶点为D（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EFBD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC的面积的最大值1，（2012湖北恩施8分）【分析】（1）利用待定系数法求二
2、次函数解析式、一次函数解析式。（2）根据轴对称的性质和三角形三边关系作N点关于直线x=3的对称点N，当M（3，m）在直线DN上时，MN+MD的值最小。（3）分BD为平行四边形对角线和BD为平行四边形边两种情况讨论。（4）如图，过点P作PQx轴交AC于点Q；过点C作CGx轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，x2+2x+3），求得线段PQ=x2+x+2。由图示以及三角形的面积公式知，由二次函数的最值的求法可知APC的面积的最大值解：（1）由抛物线y=x2+bx+c过点A（1，0）及C（2，3）得，解得。抛物线的函数关系式为。设直线AC的函数关系式为y=kx+n，AC过点A（1，0）及C（2，3
3、）得，解得。直线AC的函数关系式为y=x+1。（2）作N点关于直线x=3的对称点N， 令x=0，得y=3，即N（0，3）。N（6， 3）由得D（1，4）。设直线DN的函数关系式为y=sx+t，则，解得。故直线DN的函数关系式为。根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当M（3，m）在直线DN上时，MN+MD的值最小，。使MN+MD的值最小时m的值为。（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）， 当BD为平行四边形对角线时，由B、C、D、N的坐标知，四边形BCDN是平行四边形，此时，点E与点C重合，即E（2，3）。当BD为平行四边形边时，点E在直线AC上，设E（x，x+1），则F（x，）。又
4、BD=2若四边形BDEF或BDFE是平行四边形时，BD=EF。，即。若，解得，x=0或x=1（舍去），E（0，1）。若，解得，E或E。综上，满足条件的点E为（2，3）、（0，1）、。（4）如图，过点P作PQx轴交AC于点Q；过点C作CGx轴于点G， 设Q（x，x+1），则P（x，x2+2x+3）。 。，当时，APC的面积取得最大值，最大值为。2. （2012湖北黄冈14分）如图，已知抛物线的方程C1:与x 轴相交于点B、C，与y 轴相交于点E，且点B 在点C 的左侧.(1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m 的值(2)在(1)的条件下，求BCE的面积(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴
5、上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标(4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与BCE相似?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由2，（2012湖北黄冈14分）【分析】（1）将点（2，2）的坐标代入抛物线解析式，即可求得m的值。（2）求出B、C、E点的坐标，从而求得BCE的面积。（3）根据轴对称以及两点之间线段最短的性质，可知点B、C关于对称轴x=1对称，连接EC与对称轴的交点即为所求的H点。（4）分两种情况进行讨论：当BECBCF时，如图所示，此时可求得+2。当BECFCB时，如图所示，此时得到矛盾的等式，故此种情形不存在。解：（1）抛物线C1过
6、点M(2，2)，解得m=4。（2）由（1）得。 令x=0，得。E（0，2），OE=2。 令y=0，得，解得x1=2，x=4。B（2，0），C（4，0），BC=6。 BCE的面积=。（3）由（2）可得的对称轴为x=1。连接CE，交对称轴于点H，由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质，知此时BH+EH最小。设直线CE的解析式为，则，解得。直线CE的解析式为。 当x=1时，H（1，）。（4）存在。分两种情形讨论： 当BECBCF时，如图所示。则，BC2=BEBF。由（2）知B（2，0），E（0，2），即OB=OE，EBC=45，CBF=45。作FTx轴于点F，则BT=TF。令F（x，x2）（x0），
7、又点F在抛物线上，x2=，x+20（x0），x=2m，F（2m，2m2）。此时，又BC2=BEBF，（m+2）2= ，解得m=2。m0，m=+2。当BECFCB时，如图所示。则，BC2=ECBF。同，EBC=CFB，BTFCOE。令F（x，（x+2）（x0），又点F在抛物线上，（x+2）=。x+20（x0），x=m+2。F（m+2，（m+4），BC=m+2。又BC2=ECBF，（m+2）2= .整理得：0=16，显然不成立。综合得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与BCE相似，m=+2。3 （2012湖南郴州10分）如图，已知抛物线经过A（4，0），B（2，3）
8、，C（0，3）三点（1）求抛物线的解析式及对称轴（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MB的值最小，并求出点M的坐标（3）在抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由3，（2012湖南郴州10分）,【分析】（1）已知抛物线上三点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再由对称轴公式求出对称轴。（2）如图1所示，连接AC，则AC与对称轴的交点即为所求之M点；已知点A、C的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式，从而求出点M的坐标。（3）根据梯形定义确定点P，如图2所示：若BCAP1，确定梯形
9、ABCP1此时P1为抛物线与x轴的另一个交点，解一元二次方程即可求得点P1的坐标；若ABCP2，确定梯形ABCP2此时P2位于第四象限，先确定CP2与x轴交点N的坐标，然后求出直线CN的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P2的坐标。解：（1）抛物线经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点， ，解得。抛物线的解析式为：，其对称轴为：。（2）由B（2，3），C（0，3），且对称轴为x=1，可知点B、C是关于对称轴x=1的对称点。如图1所示，连接AC，交对称轴x=1于点M，连接MB，则MAMB=MAMC=AC，根据两点之间线段最短可知此时MAMB的值最小。设直线AC的解析式为y=kxb，
10、A（4，0），C（0，3）， ，解得。直线AC的解析式为：y=x3。令x=1，得y= 。M点坐标为（1，）。（3）结论：存在。如图2所示，在抛物线上有两个点P满足题意：若BCAP1，此时梯形为ABCP1。由B（2，3），C（0，3），可知BCx轴，则x轴与抛物线的另一个交点P1即为所求。在中令y=0，解得x1=-2，x2=4。P1（2，0）。P1A=6，BC=2，P1ABC。四边形ABCP1为梯形。若ABCP2，此时梯形为ABCP2。设CP2与x轴交于点N，BCx轴，ABCP2，四边形ABCN为平行四边形。AN=BC=2。N（2，0）。设直线CN的解析式为y=k1x+b1，则有： ，解得。直线
11、CN的解析式为：y=x+3。点P2既在直线CN：y=x+3上，又在抛物线：上，x+3=，化简得：x26x=0，解得x1=0（舍去），x2=6。点P2横坐标为6，代入直线CN解析式求得纵坐标为6。P2（6，6）。ABCN，AB=CN，而CP2CN，CP2AB。四边形ABCP2为梯形。综上所述，在抛物线上存在点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形，点P的坐标为（2，0）或（6，6）。4. （2012四川自贡14分）如图，抛物线l交x轴于点A（3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，3）将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l1（1）求l1的解析式；（2）在l1的对称轴上找出点P，使点P
12、到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由；（3）平行于x轴的一条直线交抛物线l1于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径4，（2012四川自贡14分）,【分析】（1）根据翻折变换的性质，求得A1和B1的坐标，用待定系数法即可求得抛物线l1的解析式，（2）根据三角形两边之差小于第三边的性质即可知，B1C的延长线与对称轴x=1的交点P，即为所求。求出B1C的解析式即可求得点P的坐标。（3）设圆心为D，半径为r，根据直线与圆相切的性质知D（1，r），F（1+r，r）。由于点F在抛物线l1上，代入即可求得r。分圆位于x轴上方和下方两种情况讨论即可。解：（1）如图1，设经翻折
13、后，点AB的对应点分别为A1、B1，依题意，由翻折变换的性质可知A1（3，0），B1（1，0），C点坐标不变，抛物线l1经过A1（3，0），B1（1，0），C（0，3）三点，设抛物线l1的解析式为y=ax2+bx+c，则，解得。抛物线l1的解析式为：y=x22x3。（2）抛物线l1的对称轴为：x=，如图2，连接B1C并延长，与对称轴x=1交于点P，则点P即为所求。此时，|PA1PC|=|PB1PC|=B1C。设P为对称轴x=1上不同于点P的任意一点，则有：|PAPC|=|PB1PC|B1C（三角形两边之差小于第三边），|PAPC|PA1PC|，即|PA1PC|最大。设直线B1C的解析式为y=kx+b，则，解得k=b=3。直线B1C的解析式为：y=3x3。令x=1，得y=6。P（1，6）。（3）依题意画出图形，如图3，有两种情况：当圆位于x轴上方时，设圆心为D，半径为r，由抛物线及圆的对称性可知，点D位于对称轴x=1上，则D（1，r），F（1+r，r）。点F（1+r，r）在抛物线y=x22x3上，r=（1+r）22（1+r）3，化简得：r2r4=0解得r1=，r2=（舍去）。此圆的半径为；当圆位于x轴上方时，同理可求得圆的半径为。综上所述，此圆的半径为或。