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1、风华中学风华中学 九（九（7）（）（8）1.已知四条线段已知四条线段a、b、c、d，如果，如果a bc d，那么那么a、b、c、d叫做组成比例的叫做组成比例的 ，线段，线段a、d叫做比例叫做比例 ，线段，线段b、c叫做比例叫做比例 ，线段，线段d叫做叫做a、b、c的的 。 比例中项：如果比例内项是两条相同的线段，比例中项：如果比例内项是两条相同的线段，即即 ，那么线段，那么线段b叫做线段叫做线段a和和c的比例中项。的比例中项。复习要点：复习要点：2. 2. 比例的性质：比例的性质：ababcdcd ；ababbcbc。 3两个相似形的特征：对应边成比例，对应角相等；两个相似形的特征：对应边成比
2、例，对应角相等；4识别两个多边形是否相似的方法：识别两个多边形是否相似的方法：如果两个多边形如果两个多边形 ，那么这两个多边形，那么这两个多边形相似相似 。 5相似三角形：相似三角形： 定义：定义： 的三角形叫相似三角形。如的三角形叫相似三角形。如ABC与与ABC相似，记作相似，记作: 。 相似比：相似三角形相似比：相似三角形 的比叫相似比，若的比叫相似比，若ABC A B C ，相似比为，相似比为k，则，则ABC与与ABC的相似比是的相似比是 。即相似比是有顺序的。即相似比是有顺序的。 6 6相似三角形的识别方法：相似三角形的识别方法： (1)(1)定义法：定义法： 的两个三角形相似。的两个
3、三角形相似。ABCDEABCDE(2)(2)平行线法：平行线法： 的直线和其它两边的直线和其它两边( (或两边的延长线或两边的延长线) ) ，所构成的三角形与原三角形相似。，所构成的三角形与原三角形相似。注意：适用此方法的基本图形，注意：适用此方法的基本图形，( (简记为简记为A A型，型，X X型型) ) EDBC EDBC，ABCABCAEDAED(3) 的两个三角形相似。的两个三角形相似。 (4) 的两个三角形相似。的两个三角形相似。 (5) 的两个三角形相似。的两个三角形相似。 (6) 对应成比例的两个直角三角形相似。对应成比例的两个直角三角形相似。 (7)被斜边上的高分成的两个直角三
4、角形与被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。原直角三角形相似。 7相似三角形的识别方法的选择：相似三角形的识别方法的选择：(1)已知有一角相等时，可选择方法已知有一角相等时，可选择方法 和方法和方法 ；(4)有直角三角形时，可考虑方法有直角三角形时，可考虑方法 ； (3)若有平行条件时，可考虑方法若有平行条件时，可考虑方法 ；(2)已知有二边对应成比例时，可选择方法已知有二边对应成比例时，可选择方法 和方法和方法 ； (4)相似三角形面积之比等于相似三角形面积之比等于 8.相似三角形的性质相似三角形的性质 (1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例相似三角形的对应角相等，对应边成
5、比例(2)相似三角形对应相似三角形对应 的比、对应的比、对应 的比、的比、对应角对应角 的比都等于相似比的比都等于相似比(3)相似三角形相似三角形 的比等于相似比的比等于相似比以上各条可以概括为：以上各条可以概括为：相似三角形的对应相似三角形的对应 之比等于相似比之比等于相似比 (3)用来证明线段的平方比、图形面积的比等。用来证明线段的平方比、图形面积的比等。9相似三角形性质的作用相似三角形性质的作用综合使用相似三角形的性质与相似三角形的识别综合使用相似三角形的性质与相似三角形的识别可以解决以下问题：可以解决以下问题：(1)可用来证明线段成比例、角相等、线段相等、可用来证明线段成比例、角相等、
6、线段相等、垂直、平行等；垂直、平行等；(2)可用来计算周长、边长、角度等；可用来计算周长、边长、角度等；注意：注意：(1)(1)求三角形某边长，可根据相似三角形的性质，得到对应求三角形某边长，可根据相似三角形的性质，得到对应线段成比例，再利用方程的思想方法，解出所求线段线段成比例，再利用方程的思想方法，解出所求线段 (2)(2)有关三角形或其它图形面积的题目，常用到有关三角形或其它图形面积的题目，常用到两个知识点：一、是三角形面积公式：两个知识点：一、是三角形面积公式：S S21 底底高，这里特别注意图形中高，这里特别注意图形中“同高同高”这个隐含条件；这个隐含条件；二、是相似三角形的面积比等
7、于相似比的平方。二、是相似三角形的面积比等于相似比的平方。ABCD直角三角形中的比例线段是这部分内容的一个重直角三角形中的比例线段是这部分内容的一个重点如图，由点如图，由RtRtACDRtACDRtCBDRtCBDRtABCABC，得，得ACAC2 2ADADABAB，BCBC2 2=BD=BDABAB，CDCD2 2=AD=ADDBDB熟记这三个等式有时会给解题带来很大的方便，熟记这三个等式有时会给解题带来很大的方便，尤其解几何综合题更明显，但须注意，在使用尤其解几何综合题更明显，但须注意，在使用它们时，一定要证明这三个直角三角形相似它们时，一定要证明这三个直角三角形相似例例1 1：已知：已
8、知235xyz且且3 3x x4 4z z2 2y y4040，求求x x、y y、z z的值。的值。， 变式练习：变式练习：已知：已知：x xy yz z2 23 34 4，求：，求：32xyzxyz的值。的值。例例2：如图，：如图，E、F分别为矩形分别为矩形ABCD的的边边AD、BC的中点，若矩形的中点，若矩形ABCD与矩与矩形形EABF相似，相似，AB1，求矩形，求矩形ABCD的面积的面积 .ABCDEF说明：运用相似多边形特征解题，应注意确定说明：运用相似多边形特征解题，应注意确定对应边、对应角，这里的对应边、对应角，这里的AB是大矩形的宽，那是大矩形的宽，那么它只能中小矩形的长，大矩
9、形宽与长的比等于么它只能中小矩形的长，大矩形宽与长的比等于小矩形宽与长的比。小矩形宽与长的比。例例3 3：(1)(1)、如图，、如图，DEBCDEBC，EFABEFAB，则图中相似形三角形有则图中相似形三角形有 对，对，分别是分别是 。ABCDE图(1)F (2)(2)、如果、如果ADAD5 5，DBDB3 3，FCFC2 2，则则ADEADE与与ABCABC的相似比是的相似比是 ；如何求出如何求出BFBF的长？的长？EFEMABCDMFEDCBA例例4 4：如图，在四边形：如图，在四边形ABCDABCD中，中，E E是对是对角线角线BDBD上的一点，上的一点，EFEFABAB，EMEMCDC
10、D，求求的值。的值。AFEFBFFDABCDEF例例5 5：如图，在：如图，在ABCABC中，中，ADADBCBC，BEBEACAC，则图中有，则图中有 对相似三角形，对相似三角形，当当 时，则有时，则有要要 ACACCECECBCBCDCD，则应找哪两个三角，则应找哪两个三角形相似？形相似？解：解：例例6 6：如图，在：如图，在ABCABC中，中，ABABACAC，ADAD是是中线，中线，P P是是ADAD上一点，过点上一点，过点C C作作CFCFABAB，延，延长长BPBP交交ACAC于点于点E E，交，交CFCF于点于点F F. .说明：说明：BP BP 2 2PEPEPFPF. .AB
11、CDEFP解：解：说明：当成比例的四条线段说明：当成比例的四条线段在同一直线上时，可用相等在同一直线上时，可用相等的线段代换的方法来分散开的线段代换的方法来分散开来，后再找相似三角形来，后再找相似三角形.例例7 7如图，在如图，在ABCABC中，中，DEFGBCDEFGBC，并将，并将ABCABC分成三块分成三块S S1 1、S S2 2、S S3 3，若，若S S1 1S S2 2S S3 31 14 41010，BCBC1515，求，求DEDE、FGFG的长的长A AB BC CD DE EF FG GS S1 12 23 3S SS S例例8:8:如图，在如图，在ABCABC中，中，D
12、D是是BCBC边上的边上的中点，且中点，且ADADACAC，DEBCDEBC，DEDE与与ABAB相相交于点交于点E E，ECEC与与ADAD相交于点相交于点F F。FDCEABM (1)(1)说明：说明：ABCABCFCDFCD (2) (2)若若S SFCDFCD5 5，BCBC1010，求，求DEDE的长。的长。例例9 9、如图、如图(3)(3)，在，在ABCABC中，中，E E、F F分别是分别是ACAC、BCBC的中点，的中点，AFAF与与BEBE交于点交于点O O，EDAFEDAF，交，交BCBC于点于点D D，求，求BOOEBOOE的值。的值。ABCDEFO例例1010、如图，、
13、如图，AEAE2 2ADADABAB，且，且ABEABEC C，试说明试说明BCEBCEEBDEBD。ABDCE1 28 8、如图，点、如图，点C C、D D在线段在线段ABAB上，上，PCDPCD是是等边三角形，等边三角形，当当ACAC、CDCD、BDBD满足怎样的关系时，满足怎样的关系时，ACPACPPDBPDB？当当ACPACPPDBPDB时，求时，求APBAPB的度数。的度数。ABCDPk221ABAD练习练习一、填空：一、填空：1如果两个相似三角形对应高的比为如果两个相似三角形对应高的比为4:5，那么它们的面积比为，那么它们的面积比为 2把一个三角形变成和它相似的三角形，而面积扩大为
14、原来的把一个三角形变成和它相似的三角形，而面积扩大为原来的100倍，则边长扩大为原来的倍，则边长扩大为原来的 倍。倍。3如果两个相似三角形的面积比为如果两个相似三角形的面积比为8，周长比为，周长比为k，那么，那么。4如图（如图（3），在），在ABC中，中，DEBC，且，且SABC8cm2，那么，那么SADE cm2 。5如图如图(2)，C为线段为线段AB上的一点，上的一点，ACM、CBN都是等边三角形，若都是等边三角形，若AC3， BC2，则则MCD与与BND的面积比为的面积比为 。ABCDE图(3)ABCDMN图(2)6如图如图(3)，在，在ABC中，中，D、E分别是分别是AB、AC的中点，
15、则的中点，则ADE与四边形与四边形DECB的面积之比为的面积之比为 。7如图如图(4)，DEFGBC，且，且SADES梯形梯形DFGES梯形梯形FBCG，则，则DE:FG。8如图如图(5)，在梯形，在梯形ABCD中，中，ADBC，AC、BD交交于于O点，点，SAOD:SCOB1:9，则，则SDOC:SBOC 。 ABCDE图(3)ABCDEF图(4)GABCD图(5)O二、解答：二、解答： 如下图，在如下图，在ABC中，中，C900，BC8，ACBC35，点，点P从点从点B出发，沿出发，沿BC向点向点C以以2/s的速度移动，点的速度移动，点Q从点从点C出发沿出发沿CA向向点点A以以1/s的速度移动，如果的速度移动，如果P、Q分别从分别从B、C同时出发：同时出发：经过多少秒经过多少秒CPQCBA？经过多少秒时，以经过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形为顶点的三角形恰与恰与ABC相似？相似？A AB BC CP PQ Q