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1、第二节一元二次不等式及其解法2019考纲考题考情1一元二次不等式的特征一元二次不等式的二次项(最高次项)系数不等于0。2一元二次不等式的解集3.(xa)(xb)0或(xa)(xb)0型不等式解法1解不等式ax2bxc0(0(0对任意实数x恒成立或(2)不等式ax2bxc0对任意实数x恒成立或 一、走进教材1(必修5P80A组T4改编)已知全集UR，集合Ax|x2x60，Bx，那么集合A(UB)等于()A2,4) B(1,3C2，1 D1,3解析因为Ax|2x3，Bx|x1或x4，故UBx|1x0，令3x22x20，得x1，x2，所以3x22x20的解集为。答案二、走近高考3(2016全国卷)设
2、集合Ax|x24x30，则AB()A BC D解析集合A(1,3)，B，所以AB。答案D4(2018浙江高考)已知R，函数f(x)当2时，不等式f(x)0的解集是_。若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是_。解析若2，则当x2时，令x40，得2x4；当x2时，令x24x30，得1x2。综上可知1x4，所以不等式f(x)0的解集为(1,4)。令x40，解得x4；令x24x30，解得x1或x3。因为函数f(x)恰有2个零点，结合函数的图象(图略)可知14。答案(1,4)(1,3(4，)三、走出误区微提醒：解不等式时变形必须等价；注意二次项的系数符号；对参数的讨论不要忽略二次项系数为0的情况。5
3、不等式2x(x7)3(x7)的解集为_。解析2x(x7)3(x7)2x(x7)3(x7)0(x7)(2x3)0，解得x7，所以，原不等式的解集为x。答案x6不等式(x3)(1x)0的解集为_。解析(x3)(1x)0(x3)(x1)0，解得3x1，所以不等式的解集为x|3x1。答案x|3x17对于任意实数x，不等式mx2mx10恒成立，则实数m的取值范围是_。解析当m0时，mx2mx110，不等式恒成立；当m0时，由解得4m0。综上，m的取值范围是(4,0。答案(4,0考点一 一元二次不等式的解法微点小专题方向1：一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)0x2x24；(2)1；(3)ax
4、2(a1)x10)。解(1)原不等式等价于借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为x|2x1或25或x。所以原不等式的解集为x。(3)原不等式变为(ax1)(x1)0，所以a(x1)1，即1时，解为x1；当a1时，解集为；当0a1时，解为1x。综上，当0a1时，不等式的解集为x。含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：1若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论。2若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式。3其次对相应方程的根进行讨论，比较大小
5、，以便写出解集。 方向2：利用函数性质解不等式【例2】(2019河南中原名校联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数。当x0时，f(x)x22x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为_。解析设x0，因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)(x22x)。又f(0)0，于是不等式f(x)x等价于或解得x3或3x0。故不等式的解集为(3,0)(3，)。答案(3,0)(3，)这类问题应先判断函数的单调性和奇偶性，再解不等式。 【题点对应练】1(方向1)已知不等式ax2bx10的解集是，则不等式x2bxa0的解集是()A(2,3)B(，2)(3，)CD解析由题意知，是方程ax2bx10的两根，所以由根与
6、系数的关系得解得不等式x2bxa0即为x25x60的解集为()A(，2) B(2，)C(，1) D(1，)解析由于f(x)f(x)，所以函数为奇函数，且为单调递增函数，故f(12x)f(3)0f(12x)f(3)f(3)，所以12x3,2x4，xa2(aR)的解集。解原不等式可化为12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，解得x1，x2。当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为(，0)(0，)；当a0时，不等式的解集为。考点二 一元二次不等式恒成立问题微点小专题方向1：在R上恒成立问题【例3】若不等式(a2)x22(a2)x40对一切xR恒成立，则实数a
7、的取值范围是()A(，2 B2,2C(2,2 D(，2)解析当a20，即a2时，不等式为40，对一切xR恒成立。当a2时，则即解得2a0a0，0，0ax2bxc0a0，0ax2bxc0a0恒成立，求实数b的取值范围。解由f(1x)f(1x)知f(x)的图象关于直线x1对称，即1，解得a2。又因为f(x)的图象开口向下，所以当x1,1时，f(x)为增函数，所以当x1,1时，f(x)minf(1)12b2b1b2b2，若当x1,1时，f(x)0恒成立，则b2b20恒成立，解得b2。所以实数b的取值范围为(，1)(2，)。一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法1若f(x)0在集合A中恒成立
8、，即集合A是不等式f(x)0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)。2转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为m，n，则f(x)a恒成立f(x)mina，即ma；f(x)a恒成立f(x)maxa，即na。 【题点对应练】1(方向1)若不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A(3,0) B3,0)C3,0 D(3,0解析当k0时，显然成立；当k0时，即一元二次不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则解得3k0。综上，满足不等式2kx2kx0对一切实数x都成立的k的取值范围是(3,0。答案D2(方向2)若不等式x2mx10对于任意xm，m1都
9、成立，则实数m的取值范围是_。解析由题意，得函数f(x)x2mx1在m，m1上的最大值小于0，又抛物线f(x)x2mx1开口向上，所以只需即解得m0时，原不等式化为(x1)0，解得x或x1。当a1，即a2时，解得1x；当1，即a2时，解得x1满足题意；当1，即2a0时，不等式的解集为x；当2a0时，不等式的解集为x；当a2时，不等式的解集为1；当a2时，不等式的解集为x。2(配合例2使用)已知函数f(x)e1xe1x，则满足f(x2)e21的x的取值范围是()Ax3 B0x3C1xe D1x3解析因为f(x)e1xe1xeexe，令tex，可得ye，内函数tex为增函数，而外函数ye在(0,1
10、)上为减函数，在(1，)上为增函数，所以函数f(x)e1xe1x的减区间为(，0)，增区间为(0，)。又f(x)e1xe1x为偶函数，所以由f(x2)e21，得f(|x2|)f(1)，得|x2|1，解得1x3。故选D。答案D3(配合例3、例4使用)函数f(x)x2ax3。(1)当xR时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x2,2时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；(3)当a4,6时，f(x)0恒成立，求实数x的取值范围。解(1)因为当xR时，x2ax3a0恒成立，需a24(3a)0，即a24a120，所以实数a的取值范围是6,2。(2)当x2,2时，设g(x)x2ax3a0，分如下三种情况讨论(如图所示)：如图，当g(x)的图象恒在x轴上方且满足条件时，有a24(3a)0，即6a2。如图，g(x)的图象与x轴有交点，但当x2，)时，g(x)0，即即可得解得a。如图，g(x)的图象与x轴有交点，但当x(，2时，g(x)0。即即可得所以7a6，综上，实数a的取值范围是7,2。(3)令h(a)xax23。当a4,6时，h(a)0恒成立。只需即解得x3或x3。所以实数x的取值范围是(，33，)。