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1、第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划2019考纲考题考情1二元一次不等式(组)表示的平面区域2线性规划中的有关概念3.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法确定二元一次不等式(组)表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。(1)直线定界，不等式含等号，直线在区域内，不含等号，直线不在区域内。(2)特殊点定域，在直线上方(下方)取一点，代入不等式成立，则区域就为上方(下方)，否则就是下方(上方)。特别地，当C0时，常把原点作为测试点；当C0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点。在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b0时，截距取最大值时，z也取
2、最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值。 一、走进教材1(必修5P86练习T3改编)不等式组表示的平面区域是()解析x3y60表示直线x3y60及其右下方部分，xy20内B点(0,0)在区域xy14，xay2，则()A对任意实数a，(2,1)AB对任意实数a，(2,1)AC当且仅当a4，xy2，显然(2,1)不满足xy4，xy2，所以A不正确；当a4时，集合A(x，y)|xy1,4xy4，x4y2，显然(2,1)都满足上述三个不等式，在可行域内，所以B不正确；当a1时，集合A(x，y)|xy1，xy4，xy2，显然(2,1)不满足
3、xy4，所以(2,1)A，所以C不正确。故选D。答案(1)D(2)D解决求平面区域面积问题的方法步骤1画出不等式组表示的平面区域。2判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解。提醒：求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性。 【变式训练】已知不等式组表示的平面区域的面积等于3，则a的值为_。解析由题可推出a0，依据不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知其表示的平面区域为ABC，所以S2|AC|3，所以|AC|3，即C(2,3)，又点C在直线axy20上，得a。答案
4、考点二 求目标函数的最值微点小专题方向1：求线性目标函数的最值【例2】(2018全国卷)若x，y满足约束条件则zxy的最大值为_。解析画出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示。作出直线xy0，平移该直线，当直线过点A(5,4)时，z取得最大值，zmax549。答案9求目标函数zaxby的最大值或最小值，先准确作出可行域，令目标函数z0，将直线axby0平行移动，借助目标函数的几何意义求目标函数的最值。 方向2：求非线性目标函数问题的最值【例3】已知x，y满足约束条件则z的取值范围是_。解析画出满足条件的平面区域，如图所示：由解得A(1,2)，由解得B(3，1)，而z1，而的几何意义表示
5、过平面区域内的点与C(1，1)的直线的斜率，显然直线AC斜率最大，直线BC斜率最小，kAC，kBC，所以z的最大值是1，最小值为1。答案目标函数不是直线形式时，此类问题常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有：1.表示点(x，y)与原点(0,0)间的距离，表示点(x，y)与点(a，b)间的距离；2.表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率。 方向3：含参数的线性规划问题【例4】(2019山西八校联考)若实数x，y满足不等式组且z3(xa)2(y1)的最大值为5，则a_。解析设z3(xa)2(y1)，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分
6、所示，由z3(xa)2(y1)，得yx，作出直线yx，平移该直线，易知当直线过点A(1,3)时，z取得最大值，又目标函数的最大值为5，所以3(1a)2(31)5，解得a2。答案2求解线性规划中含参数问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数。 【题点对应练】1(方向1)若x，y满足约束条件则zx3y的最小值是_，最大值是_。解析由题可得，该约束条件表示的平面区域是以(2,2)，(1,1)，(4
7、，2)为顶点的三角形及其内部区域(图略)。由线性规划的知识可知，目标函数zx3y在点(2,2)处取得最大值，在点(4，2)处取得最小值，则最小值zmin462，最大值zmax268。答案282(方向2)若x，y满足约束条件则zx22xy2的最小值为()AB CD解析画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，zx22xy2(x1)2y21，其几何意义是平面区域内的点(x，y)到定点(1,0)的距离的平方再减去1，观察图形可得，平面区域内的点到定点(1，0)的距离的最小值为，故zx22xy2的最小值为zmin1。故选D。答案D3(方向3)已知实数x，y满足约束条件若z2xy的最小值为3，则实
8、数b()AB C1D解析作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示。由z2xy得y2xz，平移直线y2x，由图可知当直线y2xz经过点A时，直线y2xz的截距最小，此时z最小，为3，即2xy3。由解得即A，又点A也在直线yxb上，即b，所以b。故选A。答案A考点三 线性规划的实际应用【例5】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告。已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少
9、于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍。分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数。(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解(1)由已知，x，y满足即该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分：(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z60x25y。考虑z60x25y，将它变形为yx，这是斜率为，随z变化的一组平行直线。为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大。又因为x，y满足约束条件，所以由图可知，当直线z60x25y经过可行域上的点M时，截距最大，
10、即z最大。解方程组得点M的坐标为(6,3)。所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多。利用线性规划解决实际问题的一般步骤1审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系。2设元：设问题中起关键作用的(或关联较多的)量 为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数。3作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)。4求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)。5检验：根据结果，检验反馈。 【变式训练】某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克。
11、每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A1 800元 B2 400元C2 800元 D3 100元解析设该公司生产甲产品x桶，生产乙产品y桶，获利为z元，则x，y满足的线性约束条件为目标函数z300x400y。作出可行域，如图中四边形OABC的边界及其内部整点。作直线l0：3x4y0，平移直线l0经可行域内点B时，z取最大值，由得B(4,4)，满足题意，所以zmax430044002 800(元)。故选C。答案C1(配合例1使用
12、)不等式组的解集记为D。有下面四个命题：p1：(x，y)D，x2y2；p2：(x，y)D，x2y3；p3：(x，y)D，x2y；p4：(x，y)D，x2y2。其中的真命题是()Ap2，p3 Bp1，p4Cp1，p2 Dp1，p3解析不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分，由解得所以M。由图可知，当直线zx2y过点M处时，z取得最小值，且zmin2，所以真命题是p2，p3。故选A。答案A2(配合例3使用)已知实数x，y满足则的最小值为_。解析不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，表示可行域内的点(x，y)与原点连线的斜率，设k，由可行域可知k取得最小值时曲线yx4与直线ykx相切，设此时切点为P(x0，y0)(x00)，由yx4可得yx3，所以切线方程为yy0x(xx0)，又y0x，所以切线方程可化为yxxxx，即yxxx，又该切线过原点O(0,0)，所以有x1，所以x01，切线的斜率为x，则min。答案3(配合例4使用)若实数x，y满足使zaxy取得最大值的最优解有两个，则maxy1的最小值为()A0 B2C1 D1解析如图所示，画出不等式组所表示的区域。因为zaxy取得最大值的最优解有两个，所以a1，即a1，所以当x1，y0或x0，y1时，zaxyxy有最小值1，所以axy1的最小值是0。故选A。答案A