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1、专题09 不等式、推理与证明1【2019年高考全国II卷理数】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行点是平衡点，位于地月连线的延长线上设地球质量为M，月球质量为M，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：.设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为ABCD【答案】D【解析】由，得因为，所以，即，解得，所以【名师点睛】由于本题题干较长，所以，
2、易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错2【2019年高考全国II卷理数】若ab，则Aln(ab)0B3a0Dab【答案】C【解析】取，满足，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，所以，故选C【名师点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断3【2019年高考北京卷理数】若x，y满足，且y1，则3x+y的最大值为A7B1C5D7【答案】C【解析】由题意作出可行域如图阴影部分所示. 设,当直线经过点时,取最大值5.故选C【名师点睛】本题是简单
3、线性规划问题的基本题型,根据“画移解”等步骤可得解.题目难度不大,注重了基础知识基本技能的考查.4【2019年高考北京卷理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足m2m1=lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A 1010.1B 10.1C lg10.1D 1010.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选：A【名师点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识信息处理能力阅读理解能力以及指数对数运算.5【2019年高考天津卷理数】设变量满足约束条件，
4、则目标函数的最大值为A2B3C5D6【答案】D【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分.目标函数的几何意义是直线在轴上的截距，故目标函数在点处取得最大值.由，得，所以.故选C.【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围即：一画，二移，三求6【2019年高考天津卷理数】设，则“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】化简不等式，可知推不出，由能推出，故
5、“”是“”的必要不充分条件，故选B.【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件.7【2019年高考浙江卷】若实数满足约束条件，则的最大值是AB 1C 10D 12【答案】C【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示。因为，所以.平移直线可知，当该直线经过点A时，z取得最大值.联立两直线方程可得，解得.即点A坐标为，所以.故选C.【名师点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.8【2019年高考浙江卷】若，则“”是 “”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既
6、不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，当且仅当时取等号，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.【名师点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.9【2019年高考全国II卷理数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图2是一个棱数为48的半正多面体，它的
7、所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1则该半正多面体共有_个面，其棱长为_（本题第一空2分，第二空3分）【答案】26，【解析】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有个面如图，设该半正多面体的棱长为，则，延长与交于点，延长交正方体棱于，由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形，即该半正多面体棱长为【名师点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形10【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，
8、销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付_元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_【答案】130 ；15.【解析】（1）,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为元,元时,李明得到的金额为,符合要求.元时,有恒成立,即,即元.所以的最大值为.【名师点睛】本题主要考查不等
9、式的概念与性质数学的应用意识数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.11【2019年高考天津卷理数】设，则的最小值为_【答案】【解析】方法一：.因为，所以，即，当且仅当时取等号成立.又因为，当且仅当，即时取等号，结合可知，可以取到3，故的最小值为.方法二：.当且仅当时等号成立，故的最小值为.【名师点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.12（四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学（理)试题）已知集合，则ABCD【答案】C【解析】，故，故选C.【名师点睛】本题考查集合的交集，属于基础题，解题时注意对数不等式的
10、等价转化.13【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月)数学试题】若，满足约束条件，则的最大值为ABC5D6【答案】C【解析】变量，满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示：目标函数是斜率等于1、纵截距为的直线，当直线经过可行域的点时，纵截距取得最小值，则此时目标函数取得最大值，由可得，目标函数的最大值为：5故选：C【名师点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用14【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科数学试题】已知实数，满足约束条件，则目标函数的最小值为ABCD【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：目标函数的几何意义为动点到定点的斜率，当位于
11、时，此时的斜率最小，此时故选B【名师点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键15【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷)考试数学试题】设不等式组，表示的平面区域为，在区域内任取一点，则点的坐标满足不等式的概率为ABCD【答案】A【解析】画出所表示的区域如图中阴影部分所示，易知，所以的面积为，满足不等式的点，在区域内是一个以原点为圆心，为半径的圆面，其面积为，由几何概型的公式可得其概率为，故选A.【名师点睛】本题考查由约束条件画可行域，求几何概型，属于简单题.16【山西省2019届高三高考考前适应性训练
12、（三)数学试题】设，则ABCD【答案】A【解析】，,即，故.又，所以.故，所以选A.【名师点睛】本题考查利用作差法、作商法比较大小，考查对数的化简与计算，考查分析计算，化简求值的能力，属中档题.17【陕西省2019年高三第三次教学质量检测数学试题】若正数满足，则的最小值为ABCD3【答案】A【解析】由题意，因为，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，故选A.【名师点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中合理构造，利用基本不等式准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18【浙江省三校2019年5月份第二次联考数学卷】已知log2a-2+log2b-11
13、，则2a+b取到最小值时，ab=A3B4C6D9【答案】D【解析】由log2a-2+log2b-11，可得a-20，b-10且a-2b-12.所以2a+b=2a-2+b-1+522a-2b-1+5222+5=9，当2a-2=b-1且a-2b-1=2时等号成立，解得a=b=3.所以2a+b取到最小值时ab=33=9.故选D.【名师点睛】本题考查基本不等式取得最值的条件，多次用不等式求最值时要注意不等式取等的条件要同时满足.19【北京市东城区2019届高三第二学期综合练习（一)数学试题】某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票. 这3名候选人的得票
14、数（不考虑是否有效）分别为总票数的 , ,，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为ABC96%D98%【答案】C【解析】设投1票的有x,2票的y,3票的z，则,则,即,由题投票有效率越高z越小，则x=0时，z=4,故本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为96%.故选：C.【名师点睛】本题考查推理的应用，考查推理与转化能力，明确有效率与无效票之间的关系是解题关键,是中档题.20【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考卷数学试题】甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出如下预测：甲说：获奖者在乙丙丁三人中；乙说：我不会获奖，丙获奖；丙
15、说：甲和丁中的一人获奖；丁说：乙猜测的是对的.成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符.已知俩人获奖，则获奖的是A甲和丁B甲和丙C乙和丙D乙和丁【答案】D【解析】乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，可知矛盾，故乙、丁的预测不成立，从而获奖的是乙和丁，故选D.【名师点睛】本题考查了逻辑推理能力，假设法是解决此类问题常用的方法.21【广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试数学试题】已知实数，满足，则的最大值是_【答案】【解析】由约束条件可知可行域为图中阴影部分所示：其中，又，可知的几何
16、意义为可行域中的点到直线距离的倍可行域中点到直线距离最大的点为.，故填.【名师点睛】本题考查利用线性规划求解最值的问题，关键是能够明确目标函数所表示的几何意义，利用数形结合来进行求解22【天津市和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学试题】已知，且，则最小值为_【答案】【解析】，结合可知原式，且，当且仅当时等号成立.即的最小值为.【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误23【天津市河北区2019届高三二模数学试题】已知首项与公比相等的等比数列an中，若m
17、，满足aman2=a42，则2m+1n的最小值为_【答案】1【解析】设等比数列an公比为q，则首项a1=q，由aman2=a42得：a1qm-1a1qn-12=a1q32，则：qm+2n=q8，m+2n=8，2m+1n=182m+1nm+2n=182+4nm+mn+2=184+4nm+mn，4nm0,mn0.则4nm+mn24nmmn=4（当且仅当4nm=mn，即2n=m时取等号）2m+1nmin=184+4=1.故填1.【名师点睛】本题考查基本不等式求解和最小值的问题，关键是能够根据等比数列各项之间的关系，通过等比数列基本量得到m,n满足的等式，从而配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式
18、求得结果.24【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试数学试题】观察下列式子，根据上述规律，第个不等式应该为_【答案】【解析】根据题意，对于第一个不等式，则有，对于第二个不等式，则有，对于第三个不等式，则有，依此类推：第个不等式为：，故答案为：【名师点睛】本题考查归纳推理的应用，分析不等式的变化规律25【陕西省延安市2019届高考模拟试题数学】甲、乙、丙三位教师分别在延安、咸阳、宝鸡的三所中学里教不同的学科A，B，C，已知：甲不在延安工作，乙不在咸阳工作；在延安工作的教师不教C学科；在咸阳工作的教师教A学科；乙不教B学科.可以判断乙工作的地方和教的学科分别是_、_【答案】宝鸡，C【解析】由得在咸阳工作的教师教A学科；又由得乙不在咸阳工作，所以乙不教A学科；由得乙不教B学科，结合乙不教A学科，可得乙必教C学科，所以由得乙不在延安工作，由得乙不在咸阳工作；所以乙在宝鸡工作，综上，乙工作地方和教的学科分别是宝鸡和C学科故答案为：宝鸡，C【名师点睛】本题考查简单的合理推理，考查逻辑推理能力，是基础题