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1、 标准中的10个核心概念在总结前期实验经验的基础上，通过广泛听取各方意见和建议，此次标准提出了10个核心概念。这就是：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。核心概念有何意义呢？首先应该注意到，这些核心概念的内涵在性质上是体现的学习主体学生的特征，它们涉及的是学生在数学学习中应该建立和培养的关于数学的感悟、观念、意识、思想、能力等，因此，可以认为，它们是学生在义务教育阶段数学课程中最应培养的数学素养，是促进学生发展的重要方面。第二，标准将这些核心概念放在课程内容设计栏目下提出，是想表明，这些概念不是设计者超乎于数学课程内容之上外加的，
2、而是实实在在蕴涵于具体的课程内容之中，或者与课程内容紧密结合的。从这一意义上看，核心概念往往是一类课程内容的核心或聚焦点，它有利于我们把握课程内容的线索和层次，抓住教学中的关键。并在数学内容的教学中有机地去发展学生的数学素养。第三，深入一步讲，核心概念本质上体现的是数学的基本思想。数学的基本思想指对数学及其对象、数学概念和数学结构及数学方法的本质性认识。数学基本思想集中反映为数学抽象、数学推理和数学模型思想。这些思想是数学学习中的重要目标。不难看出，核心概念对数学基本思想的体现是鲜明的。比如，与“数与代数”部分内容直接关联的数感、符号意识、运算能力、推理能力和模型思想等核心概念就不同程度的直接
3、体现了抽象、推理和模型的基本思想要求。这启示我们，核心概念的教学要更关注其数学思想本质。第四，这些核心概念都是数学课程的目标点，也应该成为数学课堂教学的目标，并通过教师的教学予以落实。仅以“数学思考”和“问题解决”部分的目标设定来看，标准就提出了：“建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力”；“发展数据分析观念，感受随机现象”；“发展合情推理和演绎推理能力”；“增强应用意识，提高实践能力”；“体验解决问题方法的多样性，发展创新意识”。这些目标表述几乎涵盖了所有的核心概念。综上所述，把握好这些核心概念无论对于教师教学和学生学习都是极为重要的。 第一节数感一般人提起数感，总感到它是
4、比较玄乎的。也有人质疑，像数感这种因人的感觉而异的、较“虚”的东西有必要作为核心概念提出来吗？一些老师也感到数感作为课堂教学目标不好把握。这些情况说明，我们有加强对数感认识的必要。一、两个实例给人的启示实例一：2010年2月25日，国家统计局公布的2009年国民经济和社会发展统计公报显示：我国70个大中城市房屋销售价格同比上涨1.5%，其中新建住宅价格上涨1.3%。此报告一出立刻引起全国一片哗然。公众普遍反映此数据与实际状况严重不符。面对公众质疑，国家统计局召开紧急会议，讨论统计数据来源是否真实可靠？统计方法是否科学？舆论提出的一个问题是：不论统计部门统计方式是否科学，为何公众对房价的感觉与统
5、计结果是大相径庭的呢？此例说明数感的确是存在的，它与公众的社会生活息息相关，并已成为现代社会公民所具有的基本数学素养的一部分。实例二：一老师在教学指数幂的意义时，抛出一个现实情境问题：将一张纸对折32次，它的厚度有多大呢？老师给出的结论使学生在感到惊讶之余，更表示出强烈的质疑。该问题的结论是：其厚度可以超过世界最高峰珠穆朗玛峰的高度。毫无疑问，这样的问题会像磁石一样，紧紧吸引学生的注意力，使学生产生一种“不见结果不信服”的学习内驱力。此例就其实质看，教师在这里利用的是，学生基于实际操作（将纸对折若干次）所建立起来的对2的直观感觉与数学科学计算得出的结果之间的巨大反差，由此创设出一个生动的极富吸
6、引力的学习环境。这一实例说明，学生在学习数学概念时，其固有的数感不仅在起作用，而且老师若能适时地利用学生原有数感的特点，使其形成课堂教学中的认知冲突，则能大大提高课堂教学的效率。二、对数感的基本认识“数感”一词的英文表述为“Number Sense”，可翻译为多种意思，如感觉、感官、理念、意识、领悟等等。那么，反映在数学课程中的数感基本内涵究竟应该如何理解呢？事实上，在这一点上人们的认识仍然是多元的。1.一些关于数感内涵的说法。因篇幅所限，这里不一一详述国内外关于数感的种种说法，只将其做大致的梳理。归纳成这样几类：其一，认为数感是“关于数字（量）的一种直觉”；其二，认为数感与语感、方向感、美感
7、等类似，都会有一种“直感”的涵义，具有对特定对象的一种敏感性及相关的鉴别（鉴赏）能力；其三，认为数感是一种主动地、自觉地或自动化地理解数和运用数的态度和意识，是一种基本的数学素养；其四，认为数感包含感觉、知觉、观念、能力，可以用“知识”来统一指称，这一知识是程序性的、内隐的、非结构性的。2标准对数感的表述课标实验稿首次明确提出了培养学生数感，但未对数感内涵做解释，而是采用外延描述的方式，提出“数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。”在新课程实验中
8、，广大第一线教师在课堂教学实践中对培养学生的数感做了许多有益的探讨，也形成了不少研究成果。此次修订，认真听取了各方意见，吸纳了前期实验研究的一些成果，重新对数感的内涵及功能作了表述。标准的提法是：“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”将数感表述为感悟不仅使这一概念有了较大的包容性，也使得这一概念有了更实在的意义，有利于一线教师的理解和把握。在前期课程实施中，人们对数感内涵的认识较多强调其直觉、感知、潜意识、经验等方面，在教学中教师也常常有“虚无缥缈”之感，找不到教学支点。将数感表述为感悟，揭示
9、了这一概念的两重属性：既有“感”，如感知，又有“悟”，如悟性、领悟。“感是外界刺激作用于主体而产生的，是通过肢体（如感官等）而不是通过大脑思维，它含有原始的、经验性的成分。悟是主体自身的，是通过大脑思维而产生的。感悟是既通过肢体又通过大脑，因此，既有感知的成分又有思维的成分。”（史宁中，吕世虎，对数感及其教学的思考数学教育学报，2006年2期）标准将这种对数的感悟归纳为三个方面：数与数量、数量关系、运算结果估计，这主要是基于义务教育阶段数学课程内容的范围并根据学生的实际所作出的要求，这有利于教师在教学中更好地把握数感培养的几条主线。关于数与数量。在小学低段，儿童对数的感悟是从数数学习辨认各组实
10、物对象的多少开始建立的。这是一个逐渐展开的过程。儿童对多少的感悟离不开具体的情境，这样他就需经历一个察觉实物集合中所包含的物体数量多少的过程，从而积累并形成对量的多少的感知。学习用数表示多少的第一步就是数数，即用自然数表示多少。在数数的过程中，他们能把数量词与其代表的少量物体联系起来，逐渐过渡到数大量的物体；与此同时他们会形成这样的经验：数数的顺序不会改变数的结果；数的过程中下一个数比前一个数多一；数数中的最后一个数不但代表这个数，也代表了这组物体的总数（事实上就是序数与基数相等）。随着学习年级的增高，学生还会经历更多的对数意义的感悟，如对分数、负数、有理数，并形成对数的各种表征方式，比如，他
11、们会知道1/4，25%，0.25是同一个数的不同表示。对数与数量建立起来的数感常常与实际情境关联，比如对数量单位的认识，提起教室的长度，应该想到米，提到两个城市的距离则应该想到公里（千米），同样，一个小学生会质疑一个宣传牌中所说“7000平方米森林中生活着两只东北虎”是否成立？结合实际情境，学生的数感起到了判断的作用（本文开始的实例一也说明了这一点）。关于数量关系。这是培养学生数感的另一个层次。不同年龄段的学生在理解了所学数的意义及表征后，他就具备了理解一定数量关系的基础。比如学生在学习分数概念后，会建立起整体与部分之间关系的感悟，依赖于具体情境或图形，会分辨两个分数的大小，“随着他们数感的增
12、强，学生应该能够用数进行推理。例如1/2+3/8一定小于1，因为每个加数都小于或等于1/2。”（美国学校数学教育的原则和标准，蔡金发等译，人民教育出版社，2004年12月，第33页）。随着年级的升高和数系的扩展，学生对数量关系的感悟会逐步提升，比如对有理数的大小，以至于一些函数所表示的数量关系的感悟。学生对一些相对综合，而显得复杂一点的数量关系的感悟是常常伴随着具体的问题情境而展开的。比如，具有一定数感的学生坐上出租车，他不会对车上的计程器熟视无睹，他会关注跳动的数码，并对数码变动的间隔时间、出租车已行路程、起步价以及每公里价、到达目的地的路程等等数量及相互关系在头脑中作出反应，并形成判断。这
13、里的数感是对具体问题所涉及的数量关系的整体把握。关于运算结果估计。这是培养学生数感很重要的一个方面。数的运算是数学课程中所占学时较多的内容，过去，这一部分内容的学习我们更多的是关注运算法则的掌握和运算技能的训练，其实通过运算培养学生的估算意识和能力，以此发展学生的数感也应该成为课程教学的目标。所以，标准在课程内容中特别是“数与代数”部分多处提到估计及估算的要求。如，“在生活情境中感受大数的意义并能进行估计”，“能结合具体情境，选择恰当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用”（一学段）；“在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算”，“会根据给出的有正比例关系的数据在方格子上画图，会根据其
14、中一个量的值估计另一个量的值”（二学段）；“能用有理数估计一个无理数的大致范围”（三学段）。其实，对运算结果的估计涉及的因素很多：对参与运算的数与量意义及关系的理解、对运算方法的选择与判断、对运算方式角度的把握、对具体情境的数量化的处理等等，所以，对运算结果的估计反映的是学生对数学对象更为综合的数感。三、关于学生数感的培养数感既然是对数的一种感悟，它就不会象知识、技能的习得那样立竿见影，它需要在教学中潜移默化，积累经验，经历一个逐步建立、发展的过程。1、重视低段学生对数的感觉的建立，并在数感培养上处理好阶段性和发展性的关系在教学中培养学生的数感在第一学段是重点。标准在第一学段目标中明确指出：“
15、在运用数及适当的度量单位描述现实生活中的简单现象，以及对运算结果进行估计的过程中，发展数感。”这一学段教学要选择适合学生年龄特征的方式，提供实物，联系身边具体事物，观察操作、游戏等都是较好的方式。比如刚入学的儿童在认识10以内数的时候，应该通过实数、图片等，将数与物对应起来；以后在认识20以内、100以内的数时，可以对具体实物通过估一估、数一数等活动帮助学生形成对十、百等数量大小的感觉，如数100粒黄豆、100根小棒，估计教室里的学生人数，估计一堆水果的数量等。我们还可以就同一个数在实际生活中的多种意义所表现的数量来加强对数的感知。比如1200张纸大约有多厚？你的1200步大约有多长？1200
16、名学生站成做广播操的队形需要多大的场地？类似这样的问题可让学生举一反三。应结合每一学段的具体教学内容，逐步提升和发展学生的数感。比如在二学段应结合学生所熟悉的现实素材感受大数的意义，并能对一些问题进行估算；能了解负数的意义，用负数表示日常生活的问题，建立起对负数的数感。在第三学段，随着对数的认识领域的扩大以及数的认识经验的积累，可以引导学生在较复杂的数量关系和运算问题中提升数感，发展更为良好的数感品质。2、紧密结合现实生活情境和实例，培养学生的数感现实生活情境和实例，与学生的实际生活经验密切相连，不仅能够为学生提供真实自然的数的感悟环境，也能让学生在数的认知上经历由具体到抽象的过程，逐步发展学
17、生关于数的思维。反之，学生数感的提升也使得他们能用数字的眼光看周围世界，正如标准所说：“建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”比如，让学生通过调查、讨论，弄清楚自己的学号、地区邮编号、汽车牌照号、身份证编号的规律和意义。如下的一个问题更是能让学生感到，建立良好的数感，对数字信息作出合理解释与推断的重要：火车票上车次号有两个含义，一是数字越小表示车速越快，198次为特快车，101198次为直快车，301398次为普快车，401598次为普客车；二是单数表示从北京开出，双数表示开往北京，现在有一张车票的车次号为122，它能给你什么信息？3、让学生多经历有关数的
18、活动过程，逐步积累数感经验在具体的数学活动中，学生能动脑、动手、动口，多种感官协调活动，加之能相互交流，这对强化感知和思维，积累数感经验非常有益。比如，组织学生参加调查活动，让学生调查：从你家到学校的路程大约有多远？你上学大约要多少时间？教室面积有多大？学校食堂有多大？你家住房多少平方米？你所在城市有多少人口？如何测量一张纸的厚度？还可组织学生针对一周出版的某种报纸讨论中间出现了哪些与数、数量、运算有关的数学问题，分别表述这些问题中关于数的意义作用，如何用数来解决这些具体问题等等。这样的数学活动有利于学生在相互交流中从多角度去感悟数，丰富自己的数感经验。 第二节符号意识符号对于数学来说是特有的
19、。它既是数学的语言，也是数学的工具，更是数学的方法。数学符号的功能特性是多方面的：它具有抽象性，这使得数学能够超越于数学对象的具体属性，而从形式化的角度进行逻辑推演，并一步步把数学引向深入；它具有明确性，某一数学符号的意义一旦被赋予，它就在这确定的意义下被运用，不会含糊，不会产生歧义，从而带来数学极大的严谨性；它具有可操作性，数学过程往往体现于数学符号之间的“运算”。针对这种“运算”的算法是形式化的，“几乎是自动化的，不需要每次都从头做起”。（迪多内论数学的进展，载数学史译文集上海科技出版社，1980年版，126页）；此外数学符号还具有简略性和通用性等特点。正因为如此，数学符号在数学发展中起着
20、举足轻重的作用。法国数学家让迪内多在论数学的进展一文中将“引进好的符号”作为促进数学发展的重要原因之一。学生在数学学习过程中，将无时无刻不与符号打交道，对数学符号的语言、工具、方法的功能和上述特性的认识事实上构成了学生数学学习的重要内容，学生掌握数学符号、运用数学符号能力的培养也成为重要的教学目标。一、对符号意识的认识从一般意义上说，所谓符号就是针对具体事物对象而抽象概括出来的一种简略的记号或代号。数字、字母、图形、关系式等等构成了数学的符号系统。符号意识（Symbol sense）是学习者在感知、认识、运用数学符号方面所作出的一种主动性反应，它也是一种积极的心理倾向。数学符号最本质的意义就在
21、于它是数学抽象的结果。比如，在数与代数中，数来源于对数量本质（多与少）的抽象，而数字就成为能够以大小排序的符号。与数的符号表示一样，关于数的运算知识也是从生活实践中加以抽象，逐渐形成法则。这一过程中很重要的一步是使用字母这一符号来表示抽象运算，这使得“可以像对数那样对符号进行运算，并且，通过符号运算得到的结果是具有一般性的”（史宁中数学思想概论，第一辑，地34页）。这表明，数学符号不仅是一种表示方式，更是与数学概念、命题等具体内容相关的、体现数学基本思想的核心概念，发展学生的符号意识是数学教学的重要目标。二、 标准中符号意识所包含的内容此次标准修订，将原来的“符号感”改为了“符号意识”，这两个
22、称谓就其英文表述来看没有变化，而中文表述将“感”改为“意识”应该说其意义与课程目标的价值取向和数学符号的本质意义要求更加吻合。在数学学习中，无论是概念、命题学习还是问题解决，都涉及用符号去表征数学对象，并用符号去进行运算、推理，得到一般性的结论。在这个过程中，数学符号对于学习者来说主要的还不是潜意识、直觉或感觉，而是一种主动的使用符号的心理倾向。所以用“意识”更准确些。标准对符号意识的表述有这样几层意思值得我们体会：1.能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律标准中的这个要求针对的是符号表示，它有两层意思：一是能够理解符号所表示的意义；二是能够运用符号去表示数学对象（数、数量关系和变化规
23、律等）。每一个数学符号都有它特定的含义，如、分别表示特定的运算意义，、则表示数学对象之间的某种关系。使学生理解符号的意义是数学学习中的最基本的要求，也是符号意识的最基本要求。由于数学符号是一种特殊的语言，对数学符号的理解也有其固有的特点和要求：因为符号具有一定抽象度，对符号的认识和理解就不应是形式上的，而应是实质上的，即应从抽象的符号本身看到其所表征的准确的数学意义；由于符号具有压缩信息的功能，所以对符号的意义的理解就不应是片面的，而应是全面的、完整的、特别将符号语言转换为我们所熟悉的生活语言时，应该抓住其数学本质予以解读和表征；由于数学符号具有概括性和一般性特征，所以对它的认识和理解又不应是
24、孤立的、僵化的，比如应注意符号与符号之间的关联（如“”与“”之间的关系），也应注意同一符号的多重意义的理解（如既可表示矩形面积与长、宽关系，也可表示平行四边形面积与底、高的关系，也可表示路程与时间、速度的关系，也可表示总价与单价、数量之间的关系，还可表示半圆周长与圆周率、半径的关系，）。对数学符号不仅要“懂”，还要会“用”。运用符号表达数学对象就是“用”符号的重要方面。这里的数学对象主要指数、数量关系和变化规律，它们在各个学段都有自己的特定的要求。关于用符号表达数学对象这里着重指出两点：一是要注意义务教育阶段整个学习过程中，学生用符号表达数学对象是一个由简单到复杂，由相对具体到相对抽象的过程。
25、比如用数字符号表示现实中的多少，用单一的运算符号表示数字运算关系，其抽象度显然不及用字母代替数及用字母表示数量关系，后者对前者来说是一个阶段性的变化。而用符号关系式或一定的数学模式语言去表示特定的数学变化规律则又更为抽象和复杂。这表明关于数学表达的符号意识的发展是一个逐渐积累变化的过程。二是数学符号的表达是多样化的，比如关系式、表格、图像等等都是表达数量关系和变化规律的符号工具，有时，即使是同一数学对象也可采用多种符号予以表达。而多种符号表达方式之间也是可以转换的。符号表达上的这些特点值得我们在教学中关注。比如这样一个例题：在下列横线上填上合适的数字，字母或图形，并说明理由。通过观察规律，使一
26、学段学生能够感悟到：对于有规律的事物，无论是用数字还是字母或图形都可以反映相同的规律，只是表达形式不同而已。1.知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性这一点很重要。从某种意义上说这正是符号意识作为一种“意识”需要强化的。这一要求的核心是基于运算和推理的符号“操作”意识。由于运算和推理是数学活动最重要的基本形式，所以标准的这一要求是希望在各学段学习中，都加强学生在逻辑法则下使用符号进行运算、推理的训练，这涉及到的类型较多，如对具体问题的符号表示、变量替换、关系转换、等价推演、模型抽象及模型解决等等。3.使学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式数学表达是学生在解决具体问
27、题时必须采用的方式，数学表达实质上就是以数学符号作为媒介的一种语言表达。通过培养学生的符号意识，发展学生的数学表达能力成为当今课堂关注的目标。比如这样一个问题：“某书定价8元，如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折。分析并表示购书数量与付款金额之间的关系。”显然，购书数量与付款金额之间是呈函数关系（分段函数），为了解决问题的方便，我们可以分别采用函数关系式、列表、作出图象等多种符号表达方式来表示这一具体问题。发展符号意识最重要的是运用符号进行数学思考，我们不妨把这种思考称为“符号思考”，这种思考是数学抽象、数学推理、数学模型等基本数学思想的集中反映，是最具数学特色的思维方式。举一个简单的
28、例子：“房间里有4条腿的椅子和三条腿的凳子共16个，如果椅子腿数和凳子腿数加起来共有60个，那么有几个椅子和几个凳子？”如果学生没有经过专门的“鸡兔同笼”解题模式的思维训练，他完全可以使用恰当的符号进行数学思考，找到解题思路。如可以用表格分析椅子数的变化引起凳子数和腿总数的变化规律，直接得到答案；也可采用一元一次方程或一元二次方程组的、关于字母的思考方式来加以解决。一、关于学生符号意识的培养1.在各学段紧密结合概念、命题、公式的教学，培养学生的符号意识概念、命题公式等是数学课程内容中的重要组成部分，它们常常是数学教学的重点，而它们又和数学符号的表达和使用密切相关。正因为如此，标准在学段目标和各
29、学段内容标准中都提出了具体要求。如：“理解符号、=、的含义，能使用符号和词语描述万以内数的大小”，“认识小括号”。（一学段）；“认识中括号”“在具体情境中能用字母表示数”，“结合简单的时间情境，了解等量关系，并能用字母表示”，“能用方程表示简单情境中的等量关系”（二学段）；“能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示”，“通过用代数式、方程、不等式、函数等表述数量关系的过程，体会模型思想，建立符号意识”（三学段）。2.结合现实情境培养学生的符号意识一方面，尽可能通过实际问题或现实情境的创设，引导、帮助学生理解符号以及表达式、关系式的意义，或引导学生对现实情境问题进行符号的抽象和表达；另一方面，
30、对某一特定的符号表达式启发学生进行多样化的现实意义的填充和解读。这种建立在现实情境与符号化之间的双向过程，有利于增强学生数学表达和数学符号思维的变通性、迁移性和灵活性。3.在数学问题解决过程中发展学生的符号意识符号意识更多地表现为以学生为主体的一种主动用符号的意识，因此，符号意识的培养仅靠一些单纯的符号推演训练和模仿记忆是难以达到应有的效果的。引导学生经历发现问题，提出问题（这实际上需要运用符号抽象和表达问题）、分析问题、解决问题（这实际上是使用符号进行运算、推理和数学思考）的全过程，在这一过程中积累运用符号的数学活动经验，更好地感悟符号所蕴涵的数学思想本质。逐步促进学生符号意识得到提高。第三
31、节空间观念一、空间观念的含义与意义几何学是最早成为人们以课程的形式进行学习的科目。19世纪以前的两千多年里，欧氏几何一直在课程中占有统治地位，然而，随着几何学自身的发展、数学在社会发展中的应用，几何作为课程的地位、价值的认识也在发生着变化。二十世纪以来，关于欧氏几何作为中小学课程内容的有关争论从未间断过。但是，无论争论如何，空间想象力却是被较为一致的认为是数学诸多能力中的重要组成部分。空间观念作为空间想象力发展的基础受到普遍的重视，也成为我国义务教育阶段几何课程的主要目标之一。心理学把人对头脑中已有表象进行改造，创造出新形象的过程称作想象。关于空间想象力的含义，林崇德（1991）指出，中学生的
32、空间想象包括对平面几何图形和立体几何图形的运动、变换和位置关系的认识，以及数形结合、代数问题的几何解释等。空间想象能力主要体现在对诸如一维、二维、三维空间中方向、方位、形状、大小等空间概念的理解水平及其几何特征的内化水平上，体现在对简单形体空间位置的想象和变换（平移、旋转以及分割、割补和叠合等）上，以及对抽象的数学式子（算式或代数式等）给与具体几何意义的想象解释或表象能力上。曹才翰提出，空间想象能力就是以现实世界为背景，对几何表象进行加工改造，创造新的形象的能力。同时他指出，空间想象能力对初中生来说，这种要求太高了，所以义务教育阶段教学大纲中只提出培养学生的空间观念。空间观念至少反映了如下的5
33、个方面的要求：（1）由形状简单的实物抽取出空间图形；（2）由空间图形反映出实物；（3）由复杂图形中分解出简单的、基本的图形；（4）由基本的图形中寻找出基本元素及其关系；（5）由文字或符号作出或画出图形。全美数学教师理事会（NCTM）指出，空间观念是对一个人周围环境和实物的直接感知；对于23维图形及其性质的领会和感知，图形之间的相互关系和变换图形的效果是空间观念的重要方面1。关于发展学生的空间观念的意义，数学家和数学教育研究者都有相关的描述。数学家阿蒂亚（MAtiyah）认为，几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位，而代数则是数学中有序思维占主导地位的部分。这种区分也许用另一对词刻画
34、更好，即“洞察”对“严格”，两者在真正的数学研究中都起着本质的作用。它们在教育中的意义也是清楚的。我们的目标应是培养学生发展这两种思维模式，过分强调一种而损害另一种是错误的2。荷兰数学家、数学教育家弗莱登塔尔（Freudenthal，1989）指出，几何是对空间的把握这个空间是儿童生活、呼吸和运动的空间。在这个空间里，儿童必须学会去了解、探索、征服，从而能更好地在其中生活、呼吸和运动。全美数学教师理事会在美国学校数学课程与评价标准提到，几何有助于我们用一种有序的方式表示和描述我们生活的现实世界，将帮助学生描述和弄清世界的意义。对于学生来说，发展牢固的空间关系的观念，掌握几何的概念和语言，可以较
35、好地为学习数和度量概念做准备，还可以促进其他数学课程的进一步学习。几何的模型提供了一个透视图，从中，学生可以分析和解决问题，而且几何的解释还可以帮助学生形成一个抽象的（符号的）表示，使人更容易理解。的确，一方面，空间与人类的生存密切相关，了解、探索和把握我们生活的空间能使人类更好地生存、活动和利用空间。另一方面，空间观念是创新精神所需的基本要素，没有空间观念和空间想象力，几乎很难谈发明与创造，因为许许多多的发明创造都是以实物的形态呈现的，作为设计者要先要对自己的创造物进行想象，然后可能是模型的构建，这里的模型包括图形和实物，再根据模型修改设计，直至最终完善成型。这是一个充满丰富想象和创造的探求
36、过程，也是人的思维不断在二维和三维空间之间转换，利用直观进行思考的过程。空间观念和空间想象力在这个过程中起着至关重要的作用。基于这样的分析与认识，我们可以更好地理解标准把“空间观念”作为义务教育数学课程的核心概念的缘由与意义。二、标准中空间观念所包含的内容标准中没有具体给出空间观念的内涵，而是从是否具有空间观念的几个表征出发对其进行描述。标准是从四个方面加以刻画描述的：空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。标准对空间观念的描述，是在义务教育阶段通过图形与几何内容的学习
37、对学生在这些方面的要求以及需要达成的目标。这样的目标达成的过程是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象分析的过程，它贯穿在图形与几何学习的全过程中，无论是图形的认识，图形的运动，图形与坐标等都承载着发展学生空间观念的任务。1.根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体有研究表明，三维图形与二维图形的相互转换是培养学生空间观念的主要途径。“根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体”的过程，是三维图形与二维图形的相互转换的基本表现形式，这是一个充满观察、想象、比较、推理和抽象的过程，是建立在对周围环境直接感知基础上的、对空间与平面相互关系的理解与把握。由实物
38、或几何体再到视图，经历了抽象以及从三维图形到二维图形转化的过程，而由视图到几何体或实物，则实现了从二维图形到三维图形的转换。此外，几何体与侧面展开图、几何体与用平面去截所得的截面等，都蕴含着三维图形与二维图形的相互转换。画出物体的三视图，就需要在头脑加工的基础上，把观察到的经过了想象、抽象后的再现出来的纪录下来，使空间观念从感知不断发展上升为一种可以把握的能力。2.想象出物体的方位和相互之间的位置关系方位与现实生活是密切联系的，也是个体对空间把握能力的一个具体的体现，对方位的感知和图形相互之间位置关系的把握，是表现空间观念的一个重要的方面。“想象物体的方位和相互之间的位置关系”，在不同的问题情
39、境中有不同的想象的水平要求。在给出包含四个方向并注明中心点的方位结构中判断某一物体的相对于中心的方位，是最基本的层次；只给出一个方向（如北），判断物体之间的位置关系，就需要学生更复杂一些的想象力了，同时推理也是必要的。例如，下图是一张动物园的示意图，根据图中所标的位置回答下列问题：1全美数学教师理事会著美国学校数学课程与评价标准M北京：人民教育出版社,19942英MAtiyah著数学的统一性M南京:江苏教育出版社，199512（1）熊猫馆在猴山的哪个方向上？（2）大象馆在海洋馆的哪个方向上？进一步可以再改变观测点，描述与其他物体的相对方位。3.描述图形的运动和变化图形的运动既有形式上的（平移、
40、旋转、翻折、放大、缩小等），也有运动的方向上的。对图形的运动和变化的描述，更具有综合性，它要求对相关知识和内容的理解，同时需要观察、想象并再现图形的运动和变化过程，无论是语言表述还是图形刻画这个过程，也同样是把空间观念从感知推向一种可以把握的能力。例如，描述从学校到家的路线示意图，并注明方向及途中的主要参照物。学生需要回忆实际的路线，想象它经过的各个环节的方向，学生也可以借助实物模拟路线，进一步画出路线的简单示意图。这其中涉及到的方位实际上比单纯描述物体的方位又复杂了一些，它是一种综合的运用。4.依据语言的描述画出图形这里所要求的想象空间是很开放的，可以是具体的图形，或具有某种大小或位置关系的
41、一组图形，等等。当有人向你描述你看不到的情境时，你需要根据他人的描述构建符合原形的直观想象，阐述和倾听都需要在逻辑上对图形关系进行分析和操作，准确地反映出描述的结果，体现了操作者对其中涉及的图形的关系等的把握的能力，其核心也是空间观念。三、空间观念的培养空间观念的培养，是一个长期的经验积累的过程，因此对教学的要求有别于具体的几何知识，但它又是在几何知识的学习中体现的。NCTM（全美数学教师理事会，1989）指出，发展学生的空间观念，儿童必须具有许多经验。例如，几何关系的要点，在空间中物体的方向、方位和透视观点；相关的形状和图形与实物的大小，以及如何通过改变大小来改变形状。这些经验要依靠儿童以下
42、几个方面的能力，如会运用象“上面”、“下面”和“后面”等一些词语，画出一个图形旋转900或1800以后的图形，作图、折叠，让儿童想象、绘制和比较放在不同位置上的图形，等等，这些活动将有助于发展他们的空间观念。事实上，在图形与几何课程的学习中，还是可以利用很多的素材和机会发展学生的空间观念的，主要是我们如何来认识和利用这些素材和机会。1.促进空间观念发展的课程内容标准中不仅将发展空间观念作为核心概念和目标，同时，在三个学段都重视了发展学生空间观念的内容的设置，这些在本书的内容分析部分都有提及。例如，第一、二学段的“图形与运动”、“图形与位置”中的大部分内容的学习，都是发展学生空间观念的很好的素材
43、；第一、二学段中的从不同方向观察物体、运用基本图形拼图，以及基本几何体的展开图等，也都是旨在发展学生空间观念的课程内容。在第三学段，“图形的变化”中的各种图形的运动，尤其是“图形的投影”内容的安排，其核心目标也是发展学生的空间观念。事实上，空间观念的培养在图形的认识以及图形的证明过程中，都会有所体现，因为对几何图形的认识、证明中对图形特点的观察等，也需要想象，也有根据他人的描述画出图形的过程，因此，很好的认识空间观念的含义与意义，在图形与几何内容学习中抓住典型内容，利用一切可以利用的学习材料，就可以将空间观念的培养贯穿在这个学习过程中。2.促进空间观念发展的教学策略（1）现实情境和学生经验是发
44、展空间观念的基础空间观念的形成基于对事物的观察与想象，而现实世界中的物体及其关系是学生们观察的最好材料，学生的已有经验也是观察、想象、分析的基础，因此教学中，结合学生们熟悉的现实问题情境，是发展学生空间观念的有效策略。例如，绘制学生自己房间或学校的平面图；描述从家到学校的路线图；描述观察到的情境的画面；描述游乐园中各种运动的现象等等，这些问题既是他们生活中熟悉的，又是在数学学习中需要重新审视和加工的。平时看到的东西，要进行回忆，在头脑中想象、加工之后的再现，已经是数学的抽象了，这其中即渗透了空间观念发展的元素了。无论是教材的开发者还是教师的教学设计，开发和利用现实世界中丰富的资源，城市的建筑与
45、立交桥，乡村的院落与山水，我们生活的广阔空间和其中的大量实物，为我们提供了一个鲜活的大课堂，供我们观察、想象与描述。（2）利用多种途径发展学生的空间观念从标准对空间观念的描述和有关的课程内容的分析中，我们能够感觉到，发展学生的空间观念应该是有多种途径的。生活经验的回忆与再现、实物观察与描述、拼摆与画图、折纸与展开、分析与推理等，都是发展学生空间观念的有效途径。教学中教师应结合教学内容恰当地安排学习的活动，创造条件使学生有机会从事上述的活动来发展空间观念。例如，我们可以在小学高年级安排这样的折纸活动：将一张正方形的纸对折后，再对折一次，然后用剪刀剪出一个小洞。再把纸完全展开。请画出或从下面四个图
46、中选择它的展开图。（3）在学生的思考、想象过程中发展空间观念空间观念的培养不是一蹴而就的，它需要不断的经验的积累、想象力的丰富，因此教学中要为学生提供足够的时间和空间去观察和想象、操作和分析。这其中还有观察与想象的相互关系问题。观察与描述往往是空间观念发展的基础，而想象与再现则是更高一层次的空间观念的表现。如果在教学中，我们提出这样的问题：如图（1）所示，桌子上摆着三件物品，图（2）是从上面看到的物品的图片，其中的a、b、c、d和e五点表示从四周观察三件物品的不同地点。请判断下边的一组图分别是从a、b、c、d和e五点中的哪一点看到的。对于学生来讲，可能直接的观察与想象是有些困难的，有的教师会模
47、拟地创设这样一个情景，让学生直接去观察具体物体的摆放场景，然后进行判断。这样做确实能够降低纯粹靠想象做出判断的难度，但同时也失去了学生想象的机会。因此，教师不妨让学生先想一想，尝试着做出判断，然后再实际的看一看，在实际看到的和想像的之间进行比较，这样将由助于学生积累想象的经验，提高对物体之间关系进行把握的能力，发展学生空间观念。第四节几何直观一、对几何直观的认识顾名思义，几何直观所指有两点：一是几何，在这里几何是指图形；一是直观，这里的直观不仅仅是指直接看到的东西（直接看到的是一个层次），更重要的是依托现在看到的东西、以前看到的东西进行思考、想象，综合起来几何直观就是依托、利用图形进行数学的思
48、考、想象。它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力。爱因斯坦（Einstein）曾说过一句名言：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且它是进化的源泉。严格地说，想象力是科学研究中的实在因素。”（爱因斯坦文集，第一卷，许良英、范岱年译，商务印书馆，1976，284）“数学是研究数量关系与空间形式的科学。”空间形式最主要的表现就是“图形”，除了美术，只有数学把图形作为基本、主要研究对象。在数学研究、学习、讲授中，不仅需要关注如何研究图形的方法、研究图形的结果，还需要感悟图形给我们带来的好处，几何直观就是在数学几何图形这样一个关系链中让我们体会到它所带来的最大好处。这正如20世纪最伟大的数学家希尔伯特（Hilbert）在其名著直观几何一书中所谈到的，图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思