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1、2.2.1综合法和分析法,1.综合法,2.分析法,【做一做1】下列表述:综合法是由因导果法;综合法是顺推法;分析法是执果索因法;分析法是间接证明法;分析法是逆推法.其中正确的表述有()A.2个B.3个C.4个D.5个解析:结合综合法和分析法的定义可知均正确,分析法和综合法均为直接证明法,故不正确.答案:C【做一做2】要证明,可选择的方法有以下几种,其中最合理的是()A.综合法B.分析法C.类比法D.归纳法解析:因为我们很难想到从“216abc.证明:因为a,b,c是正数,所以b2+c22bc,所以a(b2+c2)2abc.同理可得b(c2+a2)2abc,c(a2+b2)2abc.又因为a,b
2、,c不全相等,所以三式中不能同时取到“=”,故三式相加得a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc.,探究一,探究二,探究三,规范解答,分析法的应用【例2】已知函数f(x)=x2-2x+2,若mn1,求证:,思路分析:已知条件较少,且很难和要证明的不等式直接联系起来,故可考虑从要证明的不等式出发,采用分析法证明.,即证2m2+2n2m2+2mn+n2,只需证m2+n22mn,即证(m-n)20,因为mn1,所以(m-n)20显然成立,故原不等式成立.,探究一,探究二,探究三,规范解答,反思感悟分析法的证明过程、书写形式及适用范围(1)证明过程:确定结论与已知条件间的联系,合理
3、选择相关定义、定理、公理对结论进行转化,直到获得一个明显成立的条件即可.(2)书写形式:要证,只需证,即证,然后得到一个明显成立的条件,所以结论成立.(3)适用范围:已知条件不明确,或已知条件较少而结论式子较复杂的问题.,探究一,探究二,探究三,规范解答,变式训练2如图,SA平面ABC,ABBC,过点A作SB的垂线,垂足为E,过点E作SC的垂线,垂足为F.求证:AFSC.证明:已知EFSC,要证AFSC,只需证SC平面AEF,只需证AESC,而AESB,故只需证AE平面SBC,只需证AEBC,而ABBC,故只需证BC平面SAB,只需证BCSA,由SA平面ABC,可知SABC,即上式显然成立,所
4、以AFSC成立.,探究一,探究二,探究三,规范解答,综合法与分析法的综合应用【例3】已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且三个内角A,B,C构成等差数列.求证:思路分析:本题条件较为简单,但结论中的等式较为复杂,故可首先用分析法,将要证明的等式进行转化,转化为一个较为简单的式子,然后再从已知条件入手,结合余弦定理,推导出这个式子,即可得证.,探究一,探究二,探究三,规范解答,探究一,探究二,探究三,规范解答,反思感悟1.有些数学问题的证明,需要把综合法与分析法结合起来使用:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P.若由P可以
5、推出Q成立,就可以证明结论成立,这种边分析边综合的证明方法,称为分析综合法,或者称“两头凑法”.2.在证明过程中,分析法能够发现证明的思路,但解题的表述过程较为繁琐,而综合法表述证明过程则显得简洁,因此在实际解题过程中,常常将分析法和综合法结合起来运用,先利用分析法探求得到解题思路,再利用综合法有条理地表述解题过程.,探究一,探究二,探究三,规范解答,变式训练3设实数a,b,c成等比数列,非零实数x,y分别为a与b,b与c的等差中项,证明:.,探究一,探究二,探究三,规范解答,分析法的证明过程及步骤【典例】设函数f(x)=ax2+bx+c(a0),若函数y=f(x+1)的图象与f(x)的图象关
6、于y轴对称,求证:为偶函数.审题策略:由于已知条件较为复杂,且不易与要证明的结论联系,故可从要证明的结论出发,利用分析法,从函数图象的对称轴找到证明的突破口.,探究一,探究二,探究三,规范解答,探究一,探究二,探究三,规范解答,答题模板第1步:将证明函数为偶函数的问题转化为证明其对称轴为y轴的问题.第2步:将对称轴用系数a,b表示,从而得到系数a,b应满足的条件.第3步:将已知条件中对称轴满足的条件用系数a,b表示,得到系数a,b之间的关系.第4步:对照第2步中的条件,由分析法证明问题得证.第5步:结论成立.,探究一,探究二,探究三,规范解答,失误警示通过阅卷统计分析,发现造成失分的原因主要如
7、下:(1)不能将所要证明的问题转化为对称轴的问题;(2)不能将对称轴正确地用系数a,b表示;(3)不能将已知中的条件转化为a,b之间的关系式;(4)证明过程中的文字叙述不规范.,探究一,探究二,探究三,规范解答,探究一,探究二,探究三,规范解答,1.用分析法证明:要使AB,只需使C0,sinA=1,又A(0,),A=,ABC是直角三角形,故选C.答案:C,3.命题“函数f(x)=x-xlnx在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)=x-xlnx求导,得f(x)=-lnx,当x(0,1)时,f(x)=-lnx0,故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”,应用了的证明方法.解析:本命题的证明,利用题设条件和导数与函数单调性的关系,经推理论证得到了结论,所以应用的是综合法的证明方法.答案:综合法,