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1、2.2.2反证法,1.反证法(1)反证法是间接证明的一种基本方法.(2)一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这种证明方法叫做反证法.名师点拨反证法的实质用反证法证明命题“若p,则q”的过程可以用以下框图表示:肯定条件p,否定结论q导致逻辑矛盾“p且q为假”“若p则q”为真特别提醒反证法不是通过证明逆否命题来证明原命题.反证法是先否定命题,然后再证明命题的否定是错误的,从而肯定原命题正确.,【做一做1】用反证法证明命题“已知实数x,y满足x3+y3=2,求证:x+y2”时,应作的假设是.解析:命题的结论
2、是x+y2,其否定是x+y2,故应假设“x+y2”.答案:x+y2,2.反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾等.3.反证法的一般步骤用反证法证明命题时,要从否定结论开始,经过正确的推理,导出逻辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程,这个过程包括下面三个步骤:(1)反设假设命题的结论不成立,即假设原结论的反面为真;(2)归谬由“反设”作为条件,经过一系列正确的推理,得出矛盾;(3)存真由矛盾结果断定反设错误,从而肯定原结论成立.,【做一做2】用反证法证明命题“若直线AB,CD是异面直线,则直线
3、AC,BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤:则A,B,C,D四点共面,所以AB,CD共面,这与AB,CD是异面直线矛盾;所以假设错误,即直线AC,BD也是异面直线;假设直线AC,BD是共面直线.则正确的序号顺序为()A.B.C.D.解析:结合反证法的证明步骤可知,其正确步骤为.答案:B,思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)反证法是间接证明的一种基本方法.()(2)反证法与“证明逆否命题法”是同一种方法.()(3)否定性命题、唯一性命题等只能用反证法进行证明.()(4)反证法证明的第一步是对原命题的结论进行否定.()(5)反证法的证明过程既可以是合
4、情推理,也可以是一种演绎推理.()答案:(1)(2)(3)(4)(5),探究一,探究二,探究三,思维辨析,用反证法证明否定性命题,思路分析:这是否定性命题,可用反证法证明.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟用反证法证明否定性命题的适用类型所谓否定性命题,就是指所证问题中,含有“不”“不是”“不相等”“不存在”“不可能”“都不”“没有”等否定性词语的命题,这类命题,其结论的反面比较具体,适合采用反证法证明.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,用反证法证明“至少、至多”命题,思路分析:本题为“至少、至多”型问题,反设其结论,容易导出矛盾,故用反证法证明.
5、,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.对于“至少、至多”型问题,直接证明时分类情况较多,证明过程繁琐,而如果运用反证法证明,则分类情况单一,证明过程简单,这体现了“正难则反”的思想方法.2.证明“至少、至多”型问题时,常见的“结论词”与“反设词”:,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,用反证法证明唯一性命题【例3】求证:经过平面外一点A只能有一条直线和平面垂直.思路分析:本题为唯一性命题,可用反证法证明,即假设经过点A有两条直线都与平面垂直,然后根据空
6、间以及平面中的有关定理推出矛盾.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,证明:如图,点A在平面外,假设经过点A至少有平面的两条垂线AB,AC(B,C为垂足),那么AB,AC是两条相交直线,它们确定一个平面,平面和平面相交于直线BC,因为AB平面,AC平面,且BC,所以ABBC,ACBC.在平面内经过点A有两条直线都和BC垂直,这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾,因此假设错误,即经过平面外一点A只能有一条直线和平面垂直.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟用反证法证明唯一性命题的注意点(1)当所证命题的结论是以“有且只有”“只有一个”“唯一一个”“存在唯一”等形式出现
7、时,反设其结论易于导出矛盾,因此可用反证法证明该类命题.(2)用反证法证明唯一性命题时,如果其结论的反面呈现多样性,必须罗列出所有可能的各种情况,缺少任何一种情况时,反证都是不完全的.(3)证明“有且只有”等形式的问题时,需要证明两个方面,即证明存在性和唯一性.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3已知函数f(x)在区间m,n上的图象是一条连续不断的曲线,且f(x)在m,n上单调递减,若f(m)f(n)x1,则有f(x0)f(x1),即00,矛盾;故假设错误,即方程f(x)=0在m,n上的根是唯一的.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反证法证明过程中未用反设致误【典例】已知实数k满足
8、2k2+3k+10,运用反证法证明:关于x的方程x2-2x+5-k2=0没有实数根.错解分析:本题常见错解是虽然对命题的结论进行了反设,但后面的证明过程中,没有将这一“反设”作为条件进行推理,因此没有推出矛盾,故这种证明过程不是利用反证法进行的,是错误的.证明:假设方程x2-2x+5-k2=0有实数根,则其判别式=4-4(5-k2)=4k2-160,解得k2或k-2.又因为实数k满足2k2+3k+10,所以-1k-,“k2或k-2”与“-19相矛盾,故x,y,z中至少有一个大于3.答案:34.命题“关于x的方程ax+b=0(a0)的解是唯一的”的结论的否定是.答案:无解或至少有两个解,证明:假设a,b,c都小于1,即a1,b1,c1,则a+b+c3.,这与a+b+c3矛盾,因此假设错误,即a,b,c中至少有一个不小于1.,