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1、3双曲线,3.1双曲线及其标准方程,一,二,思考辨析,一、双曲线定义平面内到两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线.定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距名师点拨要注意定义中的限制条件:“小于|F1F2|”“绝对值”“非零”.(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”,其余条件不变,此时动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线(包括端点).若将其改为“大于|F1F2|”,其余条件不变,此时动点轨迹不存在.(2)若将绝对值去掉,其余条件不变,则动点的轨迹成为双曲线的一支.(3)若将“等于非零常数”改为“等
2、于零”,则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.,一,二,思考辨析,【做一做1】已知A(0,-5),B(0,5),|PA|-|PB|=2a,当a=3或5时,P点的轨迹为()A.双曲线或一条直线B.双曲线或两条直线C.双曲线的一支或一条直线D.双曲线的一支或一条射线解析:当a=3时,2a=6,此时|AB|=10,P点的轨迹为双曲线的一支(靠近点B).当a=5时,2a=10,此时|AB|=10,P点的轨迹为射线,是以B为端点向上的一条射线.答案:D,一,二,思考辨析,二、双曲线的标准方程,一,二,思考辨析,名师点拨1.在双曲线的标准方程中,可用x2,y2项的系数的正负来判断双曲线的焦点在哪一个
3、坐标轴上:焦点在系数为正项对应的坐标轴上.2.双曲线标准方程中的两个参数a,b是双曲线的定形条件,但不定位,双曲线在坐标系中的位置由焦点来确定.,一,二,思考辨析,【做一做2】若k1,则关于x,y的方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示的曲线是()A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在y轴上的双曲线D.焦点在x轴上的双曲线,方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线.,答案:C,一,二,思考辨析,【做一做3】已知双曲线,则双曲线的焦点坐标为(),解析:由双曲线的标准方程可知a2=16,b2=9,则c2=a2+b2=16+9=25,故c=5.又焦点在x轴上,所以焦点坐标为(-5,0
4、),(5,0).答案:B,一,二,思考辨析,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹就是双曲线.()(2)对于双曲线标准方程,三个参数a,b,c中,最大的一定是c.(),探究一,探究二,探究三,思维辨析,双曲线的定义及应用【例1】若一个动点P(x,y)到两个定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离的差的绝对值为定值a(a0),试讨论点P的轨迹方程.思维点拨:从题设条件看,P点的轨迹似乎是双曲线,但注意到双曲线定义中的条件,所以要确定点P的轨迹方程,应依据条件,对a进行分类讨论.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解:|
5、F1F2|=2.(1)当a=2时,轨迹是两条射线y=0(x1)与y=0(x-1);(2)当a=0时,轨迹是线段F1F2的垂直平分线,即y轴,方程为x=0;,(4)当a2时,轨迹不存在.反思感悟利用双曲线的定义确定点的轨迹方程时,要注意定义中的条件02a|F1F2|.若条件中不能确定|F1F2|与2a的大小,需分类讨论.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1已知在ABC中,C(-2,0),B(2,0),sinB-sinC=sinA,求顶点A的轨迹方程.,由双曲线的定义知,顶点A的轨迹是以C,B为焦点,实轴长为2的双曲线的右支,c=2,a=1,b2=c2-a2=3,探究一,探究二,探究三,
6、思维辨析,求双曲线的标准方程,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解:(方法一)当双曲线的焦点在x轴上时,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(方法二)双曲线的焦点位置不确定,设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn0).点P1,P2在双曲线上,反思感悟当双曲线的焦点位置不确定时,将双曲线方程设为mx2+ny2=1(mn1或k0,-1k1.答案:A,12345,2.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1(-,0),点P位于该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则双曲线的方程是(),答案:B,12345,答案:B,12345,4.如图,已知双曲线以长方形ABCD
7、的顶点A,B为左、右焦点,且过C,D两顶点.若AB=4,BC=3,则此双曲线的标准方程为.,解析:A,B为双曲线的左、右焦点,且AB=4,双曲线的焦点为(-2,0),(2,0),c=2.,12345,5.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到该巨响的时间比其他两个观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置(假定当时声音传播速度为340m/s,相关各点均在同一平面上).,解:如图,以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正方向,建立直角坐标系.,12345,设A,B,C分别是正西、正东、正北观测点,则A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020).设P(x,y)为巨响发生点.由A,C同时听到巨响声,得|PA|=|PC|,故点P在AC的垂直平分线PO上,PO的方程为y=-x.B点比A点晚4s听到巨响声,|PB|-|PA|=3404=136021020=2040.由双曲线的定义,知P点在以A,B为焦点的双曲线上.由题意,得a=680,c=1020,b2=c2-a2=10202-6802=53402.,