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1、3.2双曲线的简单性质,知识拓展1.等轴双曲线:实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线,其方程为x2-y2=a2.等轴双曲线有两个非常明显的特征:(1)离心率e=;(2)两条渐近线互相垂直.这两个特征可用来作为判断双曲线是不是等轴双曲线的充要条件.,2.共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线.,互为共轭的双曲线具有如下性质:(1)它们具有相同的渐近线;(2)它们的四个焦点共圆;,记忆方法:将中的1改为0即为渐近线,1改为-1即为共轭双曲线.,【做一做1】设双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线为y=x,则该双曲线的离心率e等于(),答案:C,解析:由题意知
2、a2=16,即a=4,又e=2,所以c=2a=8,则m=c2-a2=48.答案:48,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)双曲线的焦点一定位于双曲线的实轴上.()(2)若两条双曲线的焦点相同,则其渐近线也一定相同.()(3)焦点在x轴上的双曲线与焦点在y轴上的双曲线不可能具有共同的渐近线.(),探究一,探究二,探究三,思维辨析,双曲线的简单性质【例1】求双曲线4x2-y2=4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程,并作出草图.思维点拨:先将所给双曲线方程化为标准方程,再根据标准方程求出各有关量.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟
3、已知双曲线的方程讨论其几何性质时,需先看所给方程是不是标准方程,若不是,需先把方程化为标准方程,再由标准方程确定焦点所在的坐标轴,找准a和b,才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等.注意与椭圆的相关几何性质进行比较.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1(1)双曲线2x2-y2=-8的实轴长是(),答案:(1)D(2)C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,由双曲线的性质求双曲线方程,思维点拨:双曲线焦点不确定,可分情况讨论;也可由共渐近线的双曲线系方程求解,这样可避免讨论.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二
4、,探究三,思维辨析,解:(1)当所求双曲线的焦点在x轴上时,探究一,探究二,探究三,思维辨析,直线与双曲线的位置关系【例3】已知直线y=kx与双曲线4x2-y2=16.当k为何值时,直线与双曲线:(1)有两个公共点?(2)有一个公共点?(3)没有公共点?,当4-k2=0,即k=2时,方程(*)无解;当4-k20时,=-4(4-k2)(-16)=64(4-k2),当0,即-22时,方程(*)无解;当=0,且4-k20时,不存在这样的k值.综上所述,(1)当-2k0)的两焦点分别为F1,F2,以F1F2为边作等边三角形,若双曲线恰平分三角形的另两边,则双曲线的离心率为(),答案:A,12345,12345,答案:3,12345,5.求双曲线9x2-y2=81的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率、渐近线方程.,