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1、模块综合测评(A)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知i为虚数单位,复数z满足iz=3+4i,则|z|=()A.25B.7C.5D.1解析:i为虚数单位,复数z满足iz=3+4i,|iz|=|3+4i|=32+42=5.故|z|=5.答案:C2.设函数f(x)的导函数为f(x),且f(x)=x2+2xf(1),则f(0)等于()A.0B.-4C.-2D.2解析:因为f(x)=x2+2xf(1),所以f(x)=2x+2f(1),f(0)=2f(1).因为f(1)=2+2f(1),所以f(
2、1)=-2,故f(0)=-4.答案:B3.复数1+2i2-i的共轭复数是()A.3i5B.-3i5C.iD.-i解析:因为复数1+2i2-i=(1+2i)(2+i)(2-i)(2+i)=5i5=i,所以复数1+2i2-i的共轭复数是-i.答案:D4.已知a,b是空间中两不同直线,是空间中两不同平面,下列命题正确的是()A.若直线ab,b,则aB.若平面,a,则aC.若平面,a,b,则abD.若a,b,ab,则解析:若直线ab,b,则a或a,故A不对;若平面,a,则a或a,故B不对;若平面,a,b,则ab或a,b是异面直线,故C不对;根据垂直于同一条直线的两个平面平行,可得D正确.答案:D5.观
3、察下列等式,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,根据上述规律,13+23+33+43+53+63=()A.192B.202C.212D.222解析:归纳得13+23+33+43+53+63=(1+2+6)2=212.答案:C6.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图,则函数y=ax2+32bx+c3的递增区间是()A.(-,-2B.12,+C.-2,3D.98,+解析:由题图可知d=0.不妨取a=1,f(x)=x3+bx2+cx,f(x)=3x2+2bx+c.由图可知f(-2)=0,f(3)=0,12-4b+c=0,27+6b+c=0.b=-1.
4、5,c=-18.y=x2-94x-6,y=2x-94.当x98时,y0,y=x2-94x-6的递增区间为98,+.故选D.答案:D7.定积分12 1+x2xdx的值为()A.32+ln 2B.34C.3+ln 2D.12解析:12 1+x2xdx=12 1x+xdx=12 1xdx+12 xdx=ln x|12+12x2|12=ln 2-ln 1+1222-1212=32+ln 2.答案:A8.已知命题p:x1,2,12x2-ln x-a0是真命题,则实数a的取值范围是()A.12,+B.-,12C.2-ln 2,+)D.(-,2-ln 2解析:命题p:x1,2,12x2-ln x-a0是真命
5、题,a12x2-ln x,令y=12x2-ln x,则y=x-1x,x1,2,y0.y=12x2-ln x是增函数.ymin=12.a12.答案:B9.由曲线y=(x-2)2+1,横坐标轴及直线x=3,x=5围成的图形的面积等于()A.323B.325C.503D.11解析:S=35 (x-2)2+1dx=35 (x2-4x+5)dx=x33-2x2+5x|35=323.答案:A10.设函数f(x)=sin3x3+3cos2x2+tan ,其中0,512,则导数f(1)的取值范围是()A.-2,2B.2,3C.3,2D.2,2解析:f(x)=sin x2+3cos x,f(1)=sin +3c
6、os =2sin+3.0,512,+33,34.sin+322,1.2sin+32,2.答案:D11.设m=01 exdx,n=e 11xdx,则m与n的大小关系为()A.mnD.mn解析:m=01 exdx=ex|01=e-1n=e 11xdx=ln x|e1=1.答案:C12.函数f(x)的图像如图所示,下列数值排序正确的是()A.0f(2)f(3)f(3)-(2)B.0f(3)f(3)-f(2)f(2)C.0f(3)f(2)f(3)-f(2)D.0f(3)-f(2)f(2)f(3),而f(3)-f(2)=f(3)-f(2)3-2,表示连接点(2,f(2)与点(3,f(3)割线的斜率,根据
7、导数的几何意义,一定可以在(2,3)之间找到一点,该点处的切线与割线平行,则割线的斜率就是该点处的切线的斜率,即该点处的导数,则必有0f(3)f(3)-f(2)3-22x1+x22,请对比函数f(x)=2x得到函数g(x)=lg x一个类似的结论:.解析:由题意知函数f(x)=2x是一个凹函数,函数g(x)=lg x是一个凸函数,所以x1,x2是R上的任意两个数,且x1x2,则lg x1+lg x22lg x1+x22.答案:x1,x2是R上的任意两个数,且x1x2,则lg x1+lg x22lg x1+x2215.若函数f(x)=x2+ax+1在x=1处取得极值,则a=.解析:f(x)=2x
8、(x+1)-(x2+a)(x+1)2=x2+2x-a(x+1)2=0,x2+2x-a=0,x-1.又f(x)在x=1处取得极值,x=1是x2+2x-a=0的根,a=3.答案:316.已知点P(-1,-1)在曲线y=xx+a上,则该曲线在点P处的切线方程为.解析:由于点P(-1,-1)在曲线y=xx+a上,则-1=-1a-1,得a=2,即有y=xx+2,导数y=x+2-x(x+2)2=2(x+2)2,则曲线在点P处的切线斜率为k=2(2-1)2=2.故曲线在点P处的切线方程为y+1=2(x+1),即y=2x+1.答案:y=2x+1三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程
9、或演算步骤)17.(本小题满分10分)设f(x)=ax3+bx2+cx的极小值为-8,其导函数y=f(x)的图像经过点(-2,0),23,0,如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)若对x-3,3都有f(x)m2-14m恒成立,求实数m的取值范围.解(1)f(x)=3ax2+2bx+c,且y=f(x)的图像经过点(-2,0),23,0,-2+23=-2b3a-223=c3ab=2a,c=-4a,f(x)=ax3+2ax2-4ax,由图像可知函数y=f(x)在(-,-2)上是减少的,在-2,23上是增加的,在23,+上是减少的,由f(x)极小值=f(-2)=a(-2)3+2a(-2)2-4a(
10、-2)=-8,解得a=-1.f(x)=-x3-2x2+4x.(2)要使对x-3,3都有f(x)m2-14m恒成立,只需f(x)minm2-14m即可.由(1)可知函数y=f(x)在-3,-2)上是减少的,在-2,23上是增加的,在23,3上是减少的,且f(-2)=-8,f(3)=-33-232+43=-33-8,f(x)min=f(3)=-33.-33m2-14m3m11.故所求的实数m的取值范围为m|3m11.18.(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1底面ABC,底面ABC为等边三角形,E,F分别是BC,CC1的中点.求证:(1) EF平面A1BC1;(2)
11、平面AEF平面BCC1B1.解(1)因为E,F分别是BC,CC1的中点,所以EFBC1.又因为BC1平面A1BC1,EF平面A1BC1,所以EF平面A1BC1.(2)因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以BB1平面ABC.又AE平面ABC,所以AEBB1.又因为ABC为正三角形,E为BC的中点,所以AEBC.又BB1BC=B,所以AE平面BCC1B1.又AE平面AEF,所以平面AEF平面BCC1B1.19.(本小题满分12分)如图,某小区有一矩形地块OABC,其中OC=2,OA=3.已知OEF是一个游泳池,计划在地块OABC内修一条与池边 EF相切于点 M的直路l(宽度不计),交线段O
12、C于点D,交线段OA于点 N.现以点 O为坐标原点,以线段 OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,若池边 EF满足函数y=-x2+2(0x2)的图像,点 M到y轴距离记为t.(1)当t=23时,求直路l所在的直线方程;(2)当t为何值时,地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大,最大值是多少?解(1)当t=23时,点M的横坐标x=23,将其代入函数y=-x2+2,得M23,149,y=-2x,k=-43.直线方程为y=-43x+229.(2)由(1)知,直线的方程为y=-2tx+t2+2,令y=0,得x=12t+2t,令x=0,得y=t2+2,12t+2t2,t2+23.2-2t1.S
13、OND=1212t+2t(t2+2)=14t3+4t+4t.令g(t)=14t3+4t+4t,则g(t)=(t2+2)(3t2-2)4t2,当t=63时,g(t)=0,当t2-2,63时,g(t)0,g(t)g63=896,故所求面积的最大值为6-896.20.(本小题满分12分)已知ABC的三边长分别为a,b,c,且其中任意两边长均不相等,若1a,1b,1c成等差数列.(1)比较ba与cb的大小,并证明你的结论;(2)求证:角B不可能是钝角.(1)解bacb.证明如下:要证bacb,只需证ba0,只需证b2ac.1a,1b,1c成等差数列,2b=1a+1c21ac,b2ac.又a,b,c均不
14、相等,b2ac-b22ac0,角B不可能是钝角.方法二假设角B是钝角,则角B的对边为最大边,即ba,bc,1a1b0,1c1b0,则1a+1c1b+1b=2b,这与1a+1c=2b矛盾,故假设不成立.角B不可能是钝角.21.导学号88184075(本小题满分12分)已知f(x)=ln x+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性.(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=1x-a.若a0,则f(x)0,所以f(x)在(0,+)上是增加的.若a0,则当x0,1a时,f(x)0;x1a,+时,f(x)0时,f(x)在x=1a处
15、取得最大值,最大值为f1a=ln1a+a1-1a=-ln a+a-1.因此f1a2a-2等价于ln a+a-10,令g(a)=ln a+a-1,则g(a)在(0,+)上是增加的,g(1)=0.于是,当0a1时,g(a)1时,g(a)0.因此,a的取值范围是(0,1).22.导学号88184076(本小题满分12分)已知数列an的前n项和Sn满足:Sn=an2+1an-1,且an0,nN+.(1)求a1,a2,a3;(2)猜想an的通项公式,并用数学归纳法证明.解(1)因为a1=S1=a12+1a1-1,所以a1=-13.又因为an0,所以a1=3-1.S2=a1+a2=a22+1a2-1,所以a2=5-3.S3=a1+a2+a3=a32+1a3-1,所以a3=7-5.(2)由(1)猜想an=2n+1-2n-1,nN+.下面用数学归纳法加以证明:当n=1时,由(1)知a1=3-1成立.假设n=k(kN+)时,ak=2k+1-2k-1成立.当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=ak+12+1ak+1-1-ak2+1ak-1=ak+12+1ak+1-2k+1,所以ak+12+22k+1ak+1-2=0.所以ak+1=2(k+1)+1-2(k+1)-1,即当n=k+1时猜想也成立.综上可知,猜想对一切nN+都成立.