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1、专题对点练6导数与函数的单调性、极值、最值1.已知函数f(x)=ln x+axx+1(aR).(1)若函数f(x)在区间(0,4)上单调递增,求a的取值范围;(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=2x相切,求a的值.2.已知函数f(x)=ln x+12ax2-x-m(mZ).(1)若f(x)是增函数,求a的取值范围;(2)若a0,且f(x)0时,求函数f(x)的极值;(2)若不等式f(x)0在区间(0,e2内有解,求实数a的取值范围.4.已知函数f(x)=13x3-12ax2,aR.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3)处的切线方程;(2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)
2、cos x-sin x,讨论 g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.专题对点练6答案1.解 (1)f(x)=1x+a(x+1)-ax(x+1)2=(x+1)2+axx(x+1)2,函数f(x)在区间(0,4)上单调递增,f(x)0在(0,4)上恒成立,(x+1)2+ax0,即a-x2+2x+1x=-x+1x-2在(0,4)上恒成立,x+1x2,取等号条件为当且仅当x=1,a-4.(2)设切点为(x0,y0),则y0=2x0,f(x0)=2,y0=ln x0+ax0x0+1,1x0+a(x0+1)2=2,且2x0=ln x0+ax0x0+1.由得a=2-1x0(x0+1)2,代入得2
3、x0=ln x0+(2x0-1)(x0+1),即ln x0+2x02-x0-1=0.令F(x)=ln x+2x2-x-1,则F(x)=1x+4x-1=4x2-x+1x.4x2-x+1=0的=-150恒成立.F(x)在(0,+)上恒为正值,F(x)在(0,+)上单调递增.F(1)=0,x0=1代入式得a=4.2.解 (1)f(x)=1x+ax-1,依题设可得a1x-1x2max,而1x-1x2=-1x-122+1414,当x=2时,等号成立.所以a的取值范围是14,+.(2)由(1)可知f(x)=1x+ax-1=ax2-x+1x.设g(x)=ax2-x+1,则g(0)=10,g(1)=a0,g(
4、x)=ax-12a2+1-14a在(0,+)内单调递减,因此g(x)=0在(0,1)内有唯一的解x0,使得ax02=x0-1,而且当0x0,当xx0时,f(x)0.所以r(x)在(0,1)内单调递增.所以r(x)0),当a0时,由f(x)0,解得xea,由f(x)0,解得0xea,故函数f(x)在0,ea递减,在ea,+递增,故函数f(x)只有极小值fea=alnea+a,无极大值.(2)f(x)0在区间(0,e2内有解,即f(x)在区间(0,e2的最小值小于0.()当a0时,f(x)0,则函数f(x)在区间(0,e2内为减函数,故f(x)的最小值是f(e2)=2a+1e0,即a0时,函数f(
5、x)在区间0,ea内为减函数,在区间ea,+内为增函数,若e2ea,即0a1e,函数f(x)在区间(0,e2内为减函数,由()知,f(x)的最小值f(e2)0时,a-12e,与0ea,即a1e,则函数f(x)的最小值是fea=alnea+a,令fea=alnea+ae2.综上,实数a的范围是-,-12e(e2,+).4.解 (1)由题意f(x)=x2-ax,所以当a=2时,f(3)=0,f(x)=x2-2x,所以f(3)=3,因此曲线y=f(x)在点(3,f(3)处的切线方程是y=3(x-3),即3x-y-9=0.(2)因为g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,所以g(x)=f
6、(x)+cos x-(x-a)sin x-cos x=x(x-a)-(x-a)sin x=(x-a)(x-sin x).令h(x)=x-sin x,则h(x)=1-cos x0,所以h(x)在R上单调递增.因为h(0)=0,所以当x0时,h(x)0;当x0时,h(x)0.当a0时,g(x)=(x-a)(x-sin x),当x(-,a)时,x-a0,g(x)单调递增;当x(a,0)时,x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x)单调递增.所以当x=a时g(x)取到极大值,极大值是g(a)=-16a3-sin a,当x=0时g(x)取到极小值,极小值是g(0)=-a.当a=0时,g(x)=x(x-s
7、in x),当x(-,+)时,g(x)0,g(x)单调递增.所以g(x)在(-,+)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值.当a0时,g(x)=(x-a)(x-sin x).当x(-,0)时,x-a0,g(x)单调递增;当x(0,a)时,x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x)单调递增.所以当x=0时g(x)取到极大值,极大值是g(0)=-a;当x=a时g(x)取到极小值,极小值是g(a)=-16a3-sin a.综上所述:当a0时,函数g(x)在(-,0)和(a,+)上单调递增,在(0,a)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(0)=-a,极小值是g(a)=-16a3-sin a.