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1、第23练导数与函数的单调性、极值、最值明晰考情1.命题角度：讨论函数的单调性、极值、最值以及利用导数求参数范围是高考的热点.2.题目难度：偏难题考点一利用导数研究函数的单调性方法技巧(1)函数单调性的判定方法：在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在此区间内单调递增；如果f(x)0；当x(2,0)时，h(x)0.则h(x)在(，2)上单调递增，在(2,0)上单调递减当x(，0)时，h(x)h(2)10，即当x(，0)时，f(x)0，讨论f(x)在(0,2)上的单调性解因为f(x)1(x0，k0)当0kk0，且2，所以当x(0，k)时，f(x)0，所以函数f(x)在(0，k)
2、上是减函数，在(k，2)上是增函数；当k2时，k2，f(x)2时，0，所以当x时，f(x)0，所以函数f(x)在上是减函数，在上是增函数综上可知，当0k2时，f(x)在上是减函数，在上是增函数3已知函数f(x)aln(x1)axx2，讨论f(x)在定义域上的单调性解f(x)a2x，令f(x)0，得x0或x，又f(x)的定义域为(1，)，当1，即当a0时，若x(1,0)，f(x)0，则f(x)单调递增；若x(0，)，f(x)0，则f(x)单调递减当10，即2a0时，若x，f(x)0，则f(x)单调递减；若x，f(x)0，则f(x)单调递增；若x(0，)，f(x)0，则f(x)单调递减当0，即a2
3、时，f(x)0，f(x)在(1，)上单调递减当0，即a2时，若x(1,0)，f(x)0，则f(x)单调递减；若x，f(x)0，则f(x)单调递增；若x，f(x)0，则f(x)单调递减综上，当a0时，f(x)在(1,0)上单调递增，在(0，)上单调递减；当2a0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，在(0，)上单调递减；当a2时，f(x)在(1，)上单调递减；当a2时，f(x)在(1,0)上单调递减，在上单调递增，在上单调递减考点二利用函数的单调性求参数范围方法技巧(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等
4、式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f(x)不恒等于0的参数的范围(2)若函数yf(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f(x)0在(a，b)上有解4已知函数f(x)(x2bxb)(bR)，若f(x)在区间上单调递增，求b的取值范围解f(x)，因为当x时，0，依题意得当x时，有5x(3b2)0，从而(3b2)0，b.所以b的取值范围为.5设函数f(x)(aR)(1)若f(x)在x0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若f(x)在3，)上为减函数，求a的取值范围解(1)对f(x)求导，得f(x)，因为f(x)在x0处取得极值，所以f(0)0，
5、即a0.当a0时，f(x)，f(x)，故f(1)，f(1)，从而f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y(x1)，化简得3xey0.(2)由(1)知，f(x).令g(x)3x2(6a)xa，由g(x)0，解得x1，x2.当xx1时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为减函数；当x1xx2时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为增函数；当xx2时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为减函数由f(x)在3，)上为减函数知，x23，解得a，故a的取值范围为.6已知函数f(x)x22alnx(a2)x.(1)当a1时，求函数f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使函数g(x)f(x)ax在
6、(0，)上单调递增？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由解(1)当a1时，f(x)x22lnx3x(x0)，则f(x)x3.当0x2时，f(x)0，f(x)单调递增；当1x2时，f(x)0，均有x(2lnalnx)a恒成立，求正数a的取值范围解(1)f(x)，x(0，)当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上为增函数，无极值；当a0时，x(0，a)时，f(x)0，f(x)在(a，)上为增函数，所以f(x)在(0，)上有极小值，无极大值，f(x)的极小值为f(a)lna1.(2)若对任意x0，均有x(2lnalnx)a恒成立，即对任意x0，均有2lnalnx恒成立，由(1)可知f(x
7、)的最小值为lna1，问题转化为2lnalna1，即lna1，故0ae，故正数a的取值范围是(0，e例(15分)设函数f(x)a2x2lnx(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)如果函数f(x)的图象不在x轴的下方，求实数a的取值范围审题路线图(1)(2)规范解答评分标准解(1)f(x)a2x(x0).1分当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减当a0时，f(x)，由f(x)0，得x；由f(x)0，得0x.4分所以f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.当a0时，f(x)，由f(x)0，得x；由f(x)0，得0x0时，h(x)0；当x0时，h(x)0.当a0时，g(x)(
8、xa)(xsinx)，当x(，a)时，xa0，g(x)单调递增；当x(a，0)时，xa0，g(x)0，g(x)0，g(x)单调递增所以当xa时，g(x)取到极大值，极大值是g(a)a3sina；当x0时，g(x)取到极小值，极小值是g(0)a.当a0时，g(x)x(xsinx)，当x(，)时，g(x)0，g(x)单调递增；所以g(x)在(，)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值当a0时，g(x)(xa)(xsinx)，当x(，0)时，xa0，g(x)单调递增；当x(0，a)时，xa0，g(x)0，g(x)0，g(x)单调递增所以当x0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)a；当xa时，g(
9、x)取到极小值，极小值是g(a)a3sina.综上所述，当a0时，函数g(x)在(，0)和(a，)上单调递增，在(0，a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(0)a，极小值是g(a)a3sina.4已知函数f(x)x2ax2lnx.(1)若函数yf(x)在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；(2)设f(x)有两个极值点x1，x2，若x1，且f(x1)tf(x2)恒成立，求实数t的取值范围解(1)因为函数yf(x)在定义域上单调递增，所以f(x)0，即2xa0在(0，)上恒成立，所以a2x(x(0，)而2x24，所以a4，所以实数a的取值范围是(，4(2)因为f(x)(x0)，由题意可得x1，x2为方程f(x)0，即2x2ax20(x0)的两个不同实根，所以ax12x2，ax22x2.由根与系数的关系可得x1x21.由已知0x1，则x2e.而f(x1)f(x2)(xax12lnx1)(xax22lnx2)x(2x2)2lnx1x(2x2)2lnx2(x22lnx1)(x22lnx2)xx2(lnx1lnx2)xx2lnx2lnx2lnx(x2e)设p(x)x2lnx(xe2)，则p(x)1，显然当xe2时，p(x)0，函数p(x)单调递增，故p(x)p(e2)e22lne2e24.故f(x1)f(x2)e24，故te24.所以实数t的取值范围是.