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1、课时作业21数学归纳法的应用知识点一 用数学归纳法证明整除问题1.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，下列关于步骤(2)的说法正确的个数是()假设当nk(kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立；假设当nk(k是正奇数)时命题成立，证明当nk2时命题也成立；假设当n2k1(kN*)时命题成立，证明当n2k时命题也成立；假设当n2k1(kN*)时命题成立，证明当n2k1时命题也成立A1 B2 C3 D4答案B解析因为n为正奇数，所以步骤(2)应为：假设当nk(k是正奇数)时命题成立，证明当nk2时命题也成立；也可为：假设当n2k1(kN*)时命题成立，证明当n2k1时命
2、题也成立故正确，选B.2下列代数式(其中kN*)能被9整除的是()A667k B27k1C2(27k1) D3(27k)答案D解析(1)当k1时，显然只有3(27k)能被9整除(2)假设当kn(nN*)时，3(27n)能被9整除那么当kn1时，3(27n1)21(27n)36.这就是说，当kn1时，3(27n1)也能被9整除根据(1)和(2)，可知对任何kN*,3(27k)均能被9整除3用数学归纳法证明“nN*,34n252n1一定能被14整除”时，当nk1时，对于34(k1)252(k1)1应变形为_答案81(34k252k1)5652k1解析上一步是假设nk时，34k252k1能被14整除
3、，所以当nk1时，34(k1)252(k1)181(34k252k1)5652k1也能被14整除.知识点二 归纳猜想证明4.设f(n)5n23n11(nN*)，若f(n)能被m(mN*)整除，则m的最大值为()A2 B4 C8 D16答案C解析f(1)8，f(2)3284，f(3)144818.猜想m的最大值为8.证明：当n1时，由f(1)8知命题成立假设当nk(kN*)时命题成立，即f(k)5k23k11能被8整除那么当nk1时，f(k1)5k123(k1)1155k63k11(5k23k11)4(5k3k1)f(k)4(5k3k1)这里，5k,3k1都是奇数，二者的和为偶数，从而4(5k3
4、k1)能被8整除，又f(k)能被8整除，故f(k1)能被8整除即当nk1时命题也成立根据和，可知命题对任何nN*都成立5设n为正整数，f(n)1，计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，观察上述结果，可推测出一般结论()Af(2n) Bf(n2)Cf(2n) D以上都不对答案C解析f(2)，f(4)f(22)，f(8)f(23)，f(16)f(24)，f(32)f(25)，所以f(2n).故选C.6设函数yf(x)，对任意实数x，y都有f(xy)f(x)f(y)2xy.(1)求f(0)的值；(2)若f(1)1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；(4)在(2)的条件下，
5、猜想f(n)(nN*)的表达式并用数学归纳法证明解(1)令xy0，得f(00)f(0)f(0)200，得f(0)0.(2)由f(1)1，得f(2)f(11)f(1)f(1)2114；f(3)f(21)f(2)f(1)2219；f(4)f(31)f(3)f(1)23116.(3)由(2)可猜想f(n)n2(nN*)用数学归纳法证明如下：当n1时，f(1)112显然成立假设当nk(kN*)时，猜想成立，即f(k)k2，则当nk1时，f(k1)f(k)f(1)2kk212k(k1)2，故当nk1时，猜想也成立由可得，对一切nN*都有f(n)n2成立1用数学归纳法证明42n13n2能被13整除，其中n
6、N*.解(1)当n1时，421131291能被13整除(2)假设当nk(kN*)时，42k13k2能被13整除，则当nk1时，42(k1)13k342k1423k2342k1342k1342k1133(42k13k2)42k113能被13整除，42k13k2能被13整除，当nk1时命题也成立由(1)(2)知，当nN*时，42n13n2能被13整除2平面内有n(nN*)个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n2n2部分证明(1)当n1时，n2n22，即一个圆把平面分成两部分，故结论成立(2)假设当nk(k1，kN*)时命题成立，即k个圆把平面分成k2
7、k2部分则当nk1时，这k1个圆中的k个圆把平面分成k2k2个部分，第k1个圆被前k个圆分成2k条弧，这2k条弧中的每一条把它所在的平面部分都分成两部分，这样共增加2k个部分，故k1个圆把平面分成k2k22k(k1)2(k1)2部分，即nk1时命题也成立综上所述，对一切nN*，命题都成立3证明凸n边形的对角线的条数f(n)n(n3)(n4，nN*)证明(1)当n4时，f(4)4(43)2，凸四边形有两条对角线，命题成立(2)假设nk(k4且kN*)时命题成立即凸k边形的对角线的条数f(k)k(k3)(k4)，当nk1时，凸(k1)边形是在k边形基础上增加了一边，增加了一个顶点，设为Ak1，增加
8、的对角线是顶点Ak1与不相邻顶点的连线再加上原k边形一边A1Ak，共增加了对角线的条数为k21k1.f(k1)k(k3)k1(k2k2)(k1)(k2)(k1)(k1)3，故当nk1时命题成立由(1)(2)知，对任意n4，nN*，命题成立4已知f(x)，且f(1)log162，f(2)1.(1)求函数f(x)的表达式；(2)已知数列xn的项满足xn(1f(1)(1f(2)(1f(n)，试求x1，x2，x3，x4；(3)猜想xn的通项公式，并用数学归纳法证明解(1)把f(1)log162，f(2)1，代入函数表达式得即解得，f(x)(x1)(2)x11f(1)1，x2(1f(2)，x3(1f(3
9、)，x4.(3)由(2)知，x1，x2，x3，x4，由此可以猜想xn.证明：当n1时，x1，而，猜想成立假设当nk(kN*)时，xn成立，即xk，则nk1时，xk1(1f(1)(1f(2)(1f(k)(1f(k1)xk(1f(k1).当nk1时，猜想也成立，根据可知，对一切nN*，猜想xn都成立5将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S1S3S5S2n1的结果，并用数学归纳法证明S11，S2235，S345615，S47891034，S511
10、1213141565，S6161718192021111，解分别计算n1,2,3,4时，S1S3S5S2n1的值，并将结果改写为统一形式，猜测出一般结果，然后用数学归纳法证明即可由题意知，当n1时，S1114；当n2时，S1S31624；当n3时，S1S3S58134；当n4时，S1S3S5S725644.猜想：S1S3S5S2n1n4.下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，S1114，等式成立(2)假设当nk(kN*)时等式成立，即S1S3S5S2k1k4.那么，当nk1时，S1S3S5S2k1S2k1k4(2k2k1)(2k2k2)(2k2k2k1)k4(2k1)(2k22k1)k44k36k24k1(k1)4，即当nk1时等式也成立根据(1)和(2)，可知对于任何nN*，S1S3S5S2n1n4都成立