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1、21.2解一元二次方程解一元二次方程-配方法配方法问题问题1在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感按此比例，如果雕身）的高度比，可以增加视觉美感按此比例，如果雕像的高为像的高为 2 m，那么它的下部应设计为多高？，那么它的下部应设计为多高？解：设雕像的下部高为解：设雕像的下部高为 x m，据题意，列方程得据题意，列方程得整理得整理得x 2 + 2x - 4 = 0ACBx 2 = 2 2 - x ，（ ）探究新知你会解哪些方程，如何解的
2、？你会解哪些方程，如何解的？二元、三元二元、三元一次方程组一次方程组一元一次方程一元一次方程一元二次方程一元二次方程消元消元降次降次思考：如何解一元二次方程思考：如何解一元二次方程问题问题2解方程解方程 x 2 = 25，依据是什么？，依据是什么？解得解得x 1 = 5，x 2 = - 5平方根的意义平方根的意义请解下列方程：请解下列方程： x 2 = 3，2x 2 - 8=0，x 2 = 0，x 2 = - 2这些方程有什么共同的特征？这些方程有什么共同的特征？结构特征：方程可化成结构特征：方程可化成x 2 = p的形式，的形式，平方根平方根的意义的意义降次降次（当（当 p0 时）时）px问
3、题问题3解方程：解方程：（x + 3）= 52问题问题4怎样解方程怎样解方程 x 2 + 6x + 4 = 0？x 2 + 6x + 9 = 5（x + 3）= 52试一试：试一试：与方程与方程 x2 + 6x + 9 = 5 比较，比较，怎样解方程怎样解方程x2 + 6x + 4 = 0 ？ 怎样把方怎样把方程程化成方程化成方程的形式呢？的形式呢？ 怎样保证怎样保证变形的正确性变形的正确性呢？呢？ 即即由此可得由此可得解：解：左边写成平方形式左边写成平方形式 移项移项x2 + 6x = -4 两边加两边加 9 = -4 + 9 x2 + 6x + 9（x + 3）= 52回顾解方程过程：回顾
4、解方程过程：两边加两边加 9，左边，左边配成完全平方式配成完全平方式 移项移项左边写成完全左边写成完全平方形式平方形式 降次降次解一次方程解一次方程x2 + 6x + 4 = 0 x2 + 6x = -4x2 + 6x + 9 = -4 + 953x，或，或53 x53x，531x532x（x + 3）= 52想一想：想一想：以上解法中，为什么在方程以上解法中，为什么在方程两边加两边加 9？加其他数可以吗？如果不可以，说明理由加其他数可以吗？如果不可以，说明理由两边加两边加 9 一般地，当二次项系数为一般地，当二次项系数为 1 时，二次式加上一次项时，二次式加上一次项系数一半的平方，二次式就可
5、以写成完全平方的形式系数一半的平方，二次式就可以写成完全平方的形式x2 + 6x = -4 x2 + 6x + 9 = -4 + 9（x + 3）= 52269，即，即 2 = 3 2 = 9 （ ）议一议：议一议：结合方程的解答过程，说出解一般二次结合方程的解答过程，说出解一般二次项系数为项系数为 1 的一元二次方程的基本思路是什么？具体步的一元二次方程的基本思路是什么？具体步骤是什么？骤是什么？配成完全平方形式配成完全平方形式通过通过 来解一元二次方程的方法，来解一元二次方程的方法，叫做叫做配方法配方法配方配方具体步骤：具体步骤：（1）移项；）移项；（2）在方程两边都加上一次项系数一半的平
6、方）在方程两边都加上一次项系数一半的平方探究归纳平方根平方根的意义的意义降次降次（当（当 p0 时）时）pnx问题问题5通过解方程通过解方程 x 2 + 6x + 4=0 ，请归纳这类方程，请归纳这类方程是怎样解的？是怎样解的？结构特征：方程可化成结构特征：方程可化成 的形式，的形式，（x + n）= p2（2）配方法解一元二次方程的）配方法解一元二次方程的一般步骤一般步骤有哪些有哪些? （1）用配方法解一元二次方程的）用配方法解一元二次方程的基本思路基本思路是什么？是什么？ 把方程把方程配方配方为的形式，运用开平方法，为的形式，运用开平方法，降次降次求解求解（x + n）= p2思考归纳解一
7、元二解一元二次方程的一般次方程的一般步骤：步骤：两边加两边加 9，左边，左边配成完全平方式配成完全平方式 移项移项左边写成完全左边写成完全平方形式平方形式 降次降次x2 + 6x + 4 = 0 x2 + 6x = -4x2 + 6x + 9 = -4 + 953x，或，或53 x53x（x + 3）= 52解一次方程解一次方程，531x532x例例1 解下列方程：解下列方程：2228102133640（1） （2） （3） xxxxxx分析分析：（1）方程的二次项系数为）方程的二次项系数为1，直接运用配方法，直接运用配方法.（2）先把方程化成）先把方程化成2x2-3x+1=0.它的二次项系数
8、为它的二次项系数为2，为了便于，为了便于配方，需将二次项系数化为配方，需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以，为此方程的两边都除以2.例题学习解解:配方：配方：由此可得：由此可得：1-82 xx 41 -48222 xx 154x15)4( 2x15-4 , 154 21xx移项，得移项，得 原方程的解为：原方程的解为：2810（1） xx2221223131122314163144112移项，得-二次项系数化为 ，得x配方得： 由此可得： 解为：解：xxxxx,x,x 注意：注意：方程的二次项系数不是1时，为便于配方，可以让方程的各项除以二次项系数.2213（2） xx222236441
9、231131移项，得 x二次项系数化为 ，得： x配方得： 因为实数的平方不会是负数， 所以 取任何实数时，x都是非负数，解：上式都不成立，即原方程无实数根xxxxx. 23640（3） xx一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成（1）当）当p0时，方程有两个不等的实数根时，方程有两个不等的实数根2()xnp12,;xnp xnp （2）当）当p=0时，方程有两个相等的实数根时，方程有两个相等的实数根12;xxn （3）当）当p0时，因为对任意实数时，因为对任意实数x，都有，都有所以方程无实数根所以方程无实数根.2()0,xn归纳总结（2）配方法解一元二次方程的）配方法解一元二次方程的一般步骤一般步骤有哪些有哪些? （3）在配方法解一元二次方程的过程中应该）在配方法解一元二次方程的过程中应该注意注意哪些问题哪些问题?（1）用配方法解一元二次方程的）用配方法解一元二次方程的基本思路基本思路是什么？是什么？把方程把方程配方配方为的形式，运用开平方法，为的形式，运用开平方法，降次降次求解求解（x + n）= p2课堂小结1教科书第教科书第6页练习；第页练习；第 9页练习页练习2思考：利用本节课的知识，试解关于思考：利用本节课的知识，试解关于 x 的方程的方程 x 2 + px + q = 0课后作业