10排列组合与概率.doc

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1、10.1 分类计数原理与分步计数原理教学目标1掌握分类计数原理和分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题；2通过对分类计数原理与分步计数原理的理解和运用，提高学生分析问题和解决问题的能力，开发学生的逻辑思维能力3提高比较分类计数原理与分步计数原理的异同，培养学生学习比较、类比、归纳等数学思想方法和灵活应用的能力4通过对两个原理的学习，培养学生周密思考、细心分析的良好学习习惯教学建议（一）教材分析1 知识结构2重点难点分析重点是分类计数原理和分步计数原理内容及两者的区别难点是对较为复杂事件的分类和分步（1）分类计数原理中的“做一件事，完成它可以有 类办法”，是对完成这件事的所有方法的

2、一个分类分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的分类标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法，即不重复也不遗漏只有满足这些条件，才能用分类计数原理（2）分步计数原理中的“做一件事，完成它需分成 类方法”，是指完成这件事的任何一种方法，都要分成 个步骤分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准；其次分步时还要注意满足完成一件事必须并且只需连续完成这 个步骤后这件事才算完成，只有满足这些条件，才能用分步计数原理（3）分类计数原理和分步计数原理的共同点是它们完成一件事情，共有多少种不同的

3、方法区别在于完成一件事情的方式不同：分类计数原理是“分类完成”，即任何一种办法中用任何一个方法都能独立完成这件事；分步计数原理是“分步完成”，即这些方法需要分步骤顺次相依，且每一个步骤都完成了，才能完成这件事情区分分类还是分步的关键是看经过这个过程，有没有完成整个事情（4）透彻理解两个原理，注意两个基本原理的区别及联系，在运用两个基本原理解决问题的过程中，要注意如下思维过程的训练和总结：由少到多，由具体到抽象，由特殊到一般，由简单到复杂，由形象思维转化为逻辑思维（二）教法建议1教学时建议从实际生活中引入，可以让学生先举身边的例子，老师然后补充，这样容易调动学生学习的积极主动性2可以与学生旧有的

4、知识相对比，教师可以根据实际学生情况考虑是否可以将两个原理与物理中的串并联相联系：分类计数原理类似于电学中的并联；分步计数原理类似于串联在处理问题时应紧紧抓住“分类”还是“分步”：“分类”用“加法”，“分步”用“乘法”3关于两个计数原理的教学可以分三个层次：第一是对两个计数原理的认识与理解这里要求学生理解两个计数原理的意义，并弄清两个计数原理的区别知道什么情况下使用加法计数原理，什么情况下使用乘法计数原理（建议利用一课时）第二是对两个计数原理的使用可以让学生做一下习题（建议利用两课时）：用0，1，2，9可以组成多少个8位号码；用0，1，2，9可以组成多少个8位整数；用0，1，2，9可以组成多少

5、个无重复数字的4位整数；用0，1，2，9可以组成多少个有重复数字的4位整数；用0，1，2，9可以组成多少个无重复数字的4位奇数；用0，1，2，9可以组成多少个有两个重复数字的4位整数等等第三是使学生掌握两个计数原理的综合应用，这个过程应该贯彻整个教学中，每个排列数、组合数公式及性质的推导都要用两个计数原理，每一道排列、组合问题都可以直接利用两个原理求解，另外直接计算法、间接计算法都是两个原理的一种体现教师要引导学生认真地分析题意，恰当的分类、分步，用好、用活两个基本计数原理4对于较为复杂的既要用分类计数原理，又要用分步计数原理的问题，教学时可以根据题意恰当合理的画出示意留或者列出表格，使问题的

6、实质直观地显现出来，从而便于解题教学设计方案10.1 分类计数原理与分步计数原理 教学目标：掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单问题教具准备：投影胶片（两个原理）教学过程：设置情境先看下面的问题：2002年夏季在韩国与日本举行的第17届世界杯足球赛共有32个队参赛它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强，这16个队按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还决出了第三、第四名问一共安排了多少场比赛？要回答上述问题，就要用到排列、组合的知识排列、组合是一个重要的数学方法，粗略地说，排列、组合方法就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法在运用排列、组合方

7、法时，经常要用到分类计数原理与分步计数原理，下面我们举一些例子来说明这两个原理探索研究引导学生看下面的问题（出示投影）从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有325种不同的走法，如图所示一般地，有如下原理：（出示投影）分类计数原理 完成一件事，有类办法，在第1类办法中有 种不同的方法，在第2类办法中有 种不同的方法，在第 类办法中有 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法再看下面的问题（出示投影）从甲地到乙地，要

8、从甲地选乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地一天中，火车有3班，汽车有2班那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法（如图）？这个问题与前一个问题不同在前一个问题中，采用乘火车或汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地；而在这个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤，才能从甲地到乙地这里，因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有326种不同的走法（让学生具体列出6种不同的走法）于是得到如下原理：（出示投影）分步计数原理 完成一件事，需要分成 个步骤，做第1步有 种不同的方法，做第2步有 种不同的方法，做第种不同的方法教师提出问题：分类计数

9、原理与分步计数原理有什么不同？学生回答后，教师出示投影：分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题，它们的区别在于：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成（出示投影）例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？（解答略）教师点评：注意区别“分类”与“分步”例2 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨

10、号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码？（解答略）例3 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？（解答略）演练反馈1有不同的中文书9本，不同的英文书7本，不同的日文书5本从其中取出不是同一国文字的书2本，问有多少种不同的取法？（由一名学生板演后，教师讲评）2集合 ， 从 、 中各取1个元素作为点 的坐标（1）可以得到多少个不同的点？（2）这些点中，位于第一象限的有几个？（由一名学生板演后，教师讲评）3某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯，问从1楼到5楼共有多少种不同的走法？4某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会

11、钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？参考答案1解：取出不是同一国文字的书2本，可以分为三类：中英、中日、英日，而每一类中又都可分两步来取，因此有种不同的取法注意：有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”“分步”可以解决的，而要将“分类”“分步”结合起来运用一般是先“分类”，然后再在每一类中“分步”，综合应用分类计数原理和分步计数原理2解：（1）一个点的坐标有 、 两个元素决定，它们中有一个不同则表示不同的点可以分为两类： 中的元素为 ， 中的元素为 或 中的元素为 ， 中的元素为 ，共得到344324个不同的点（2）第一象限内的点，即 、 均为正数，所以只能取

12、、 中的正数，共有22228个不同的点3解：由于1、2、3、4层每一层到上一层都有3处楼梯，根据分步计数原理4解：由题意可知，在艺术组9人中，有且仅有一人既会钢琴又会小号（把该人称为“多面手”），只会钢琴的有6人，只会小号的有2人，把会钢琴、小号各1人的选法分为两类：第一类：多面手入选，另一人只需从其他8人中任选一个，故这类选法共有8种第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从6个只会钢琴的人中选出，会小号的1人也只能从只会小号的 2人中选出，放这类选法共有6212种，因此有 种故共有20种不同的选法注意：像本题中的“多面手”可称为特殊“对象”，本题解法中按特殊“对象”进行“两分法分类”是常用的方

13、法总结提炼分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分步解决或分类解决，它不仅是推导排列数与组合数计算公式的依据，而且其基本思想贯穿于解决本章应用问题的始终要注意“类”间互相独立，“步”间互相联系布置作业：课本P87习题10.1 2，3，4，5板书设计：10.1分类计数原理与分步计数原理（一）图101图102两个原理（二）例题分析例1例2例3（三）练习（四）小结典型例题例1 在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？ 分析与解：分析个位数字，可分以下几类个位是9，则十位可以是1，2，3，8中的一个，故有8个；个位是8，则十位可以是1，2，3，7中的一个，

14、故有7个；与上同样：个位是7的有6个；个位是6的有5个；个位是2的只有1个由分类计数原理知，满足条件的两位数有（个）说明：本题是用分类计数原理解答的，结合本题可加深对“做一件事，完成之可以有n类办法”的理解，所谓“做一件事，完成它可以有n类办法”，这里是指对完成这件事情的所有办法的一个分类分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求：完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类计数原理例2 在由电键组A与B所组成的并联电路中，如图，要接通电源，使电灯发光的

15、方法有多少种？解：因为只要合上图中的任一电键，电灯即发光，由于在电键组A中有2个电键，电键组B中有3个电键，应用分类计数原理，所以共有：2+3=5种接通电源使灯发亮的方法。例3 二年级一班有学生56人，其中男生38人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种分析与解：男生38人，女生18人，由分步计数原理共有 （种）答：选取代表的方法有684种说明：本题是用分步计数原理解答的，结合本题可以加深对“做一件事，完成之需要分成n个步骤”的理解，所谓“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，分析时，首先要根据问题的特点，确定一个分步的可行标准；其次，分步时还要注意满足

16、完成这件事情必须并且只需连续完成这对 个步骤后，这件事情才算圆满完成，这时，才能使用来法原理例4 在电键组A、B组成的串联电路中，如图，要接通电源使灯发光的方法有几种？解：只要在合上A组中两个电键之后，再合上B组中3个电键中的任意一个，才能使电灯的电源接通，电灯才能发光，根据分步计数原理共有：23=6种不同的方法接通电源，使电灯发光。例5 有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，有多少种不同取法？分析：任取两本不同类的书，有三类：一、取数学、语文各一本；二、取语文、英语各一本；三、取数学、英语各一本然后求出每类取法，利用分类计数原理即可得解解：取出两本

17、书中，一本数学一本语文有 种不同取法，一本语文一本英语有 种不同取法，一本数学，一本英语有 种不同取法由分类计数原理知：共有 种不同取法说明：本例是一个综合应用分步计数原理和分类计数原理的题目，在处理这类问题时，一定要搞清哪里是分类，哪里是分步，以确定利用加法或分步计数原理例6（1993年全国高考题）同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有（ ）A6种 B9种 C11种 D23种分析：本题完成的具体事情是四个人，每人抽取一张贺卡，问题是按照一定要求，抽取结果有多少种不同情况我们可以把抽卡片的过程分成四步，先是第一人抽，然后第二人，以

18、此类推，但存在的问题是，我们把四个人记为 、 、 、 ，他们的卡片依次记为 、 、 、 ，如果第一步 抽取 ，接着 可抽 、 、 ，有三种方法，而 抽 或 ， 仅有两种抽法，这样两步之间产生影响，这样必须就 抽的结果进行分类解法1：设四人A，B，C，D写的贺年卡分别是a，b，c，d，当A拿贺年卡b，则B可拿a，c，d中的任何一个，即B拿a，C拿d，D拿c或B拿c，D拿a，C拿d或B拿d，C拿a，D拿c，所以A拿b时有三种不同分配方法同理，A拿c ，d时也各有三种不同的分配方式由分类计数原理，四张贺年卡共有333=9种分配方式解法2：让四人A，B，C，D依次拿一张别人送出的贺年卡如果A先拿有3种

19、，此时写被A拿走的那张贺年卡的人也有3种不同的取法接下来，剩下的两个人都各只有一种取法由分步计数原理，四张贺年卡不同的分配方式有 种 应选B注意：（1）本题从不同的角度去思考，从而得到不同的解答方法，解法1是用分类计数原理解答的，解法2是用分步计数原理解答的在此有必要再进一步对两个原理加以理解：如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理（2）分类计数原理、来法原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方

20、法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用（3）如果把四个人依次抽取的结果用一个图表体现出来，就显得更加清楚共有9种不同结果这个图表我们称之为“树形图”，在解决此类问题往往很有效，通过它可以把各种不同结果直观地表现出来扩展资料排列组合问题的来源排列组合问题，最早见于我国的易经一书所谓“四象”就是每次取两个爻的排列，“八卦”是每次取三个爻的排列在汉代数学家徐岳的数术记遗（公元2世纪）中，也曾记载有与占卜有关的“八卦算”，即把卦按不同的方法在八个方位中排列起来它与“八个人围一张圆桌而坐，问有多少种不同坐法”这一典型的排列问题类似11世纪时，邵雍还进一步研究了六十四卦的排列问题唐朝僧人

21、一行曾经研究过围棋布局的总数问题古代的棋盘共有17路，289个点，后来发展到19路361个点一行曾计算过一切可能摆出的棋局总数后来，17世纪，北宋时期沈括在梦溪笔谈中，进一步讨论了围棋布局总数问题他利用一些排列、组合的办法对一行的计算作了分析沈括指出，当361个棋子全用上时，棋局总数达到 的数量级（选自中学数学思想史）抽屉原理原理1：多于 个的元素，按任一确定方式分成 个集合，则至少有一个集合中含有至少二个元素原理2： 个元素，分成 个集合，则至少有一个集合中含有至少 个元素原理3：无穷多个元素分成 个集合，则至少有一个集合中含有无穷多个元素【例】求证：任意三个整数中，至少有两个整数的和为2的

22、倍数证明 将任意三个整数分成两类A： ， B： （共中 ）则至少有两个整数在同一类， 其和必为偶数，即为2的倍数【例】坐标平面上任意五个整点（横、纵坐标均为整数）中，必有两点，其连线的中点也是整点证明 将坐标平面上全体整点分成四类A：奇，奇； B：奇，偶； C：偶，奇； D：偶，偶则任意五个整点中，必有两点在同一类若在A类，则两点连线的中点必可表示为如下形式 ，该点必为整点同理可证，两点同在 、 、 类时，结论成立，综上结论成立对称原理“对称”在生活中随处可见，其例子举不胜举，数学上的对称问题，要用对称法解决，其特点是计算量大大减少定义一 将一个式子的某个字母互换，若所得式子与原式恒等，则称此

23、式子关于这两个字母对称定义二 若某式子的所有字母按确定的顺序排成一列后，将第一个字母用第二个字母代替，第二个字母用第三个字母代替，最后一个字母用第一个字母代替，如果所得式子与原式恒等，那么称此式子为关于这些字母的这种顺序的轮换对称式【例如】分解因式： 分析 此式为 的轮换对称式， 最高次数为4，因此只能解如下三种形式之一 项系数为1，前两式必有 ，不可能有“-”，因此只能是第三式正确， 必须系数为1，且两“+”，两“-”，根据轮换对称有排序原理排序原理的思想：在解答数学问题时常常涉步到一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，不妨可以将它们按一定顺序排列起来，往往

24、十分有助于解题，它在不等式中应用尤为广泛【引例】设有 个彼此不等的正数 ，作出某一切可能的和数，证明得到的和数中至少有 由 得到证明 不妨设 ，则1个数的和不等的有 ，共 个；2个数的和不等的有 ，共 个；3个数的和不等的有 ，共 个； 个数的和不等的有 ，共2个； 个数的和不等有的 ，共1个和数中至少有 个两两不相等排序原理：设 ， 是两个非负序列， ， ，则（反序） （乱序）（同序）探究活动某西餐馆三明治餐柜有这样的菜单： 问能买到多少种不同的三明治，并调查研究，列出你自己的菜单（包括价格）习题精选一、选择题 1将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有（ ）A 种B 种C 种D 种2将4个不同

25、的小球放入3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有（ ）A种B 种C18种D36种3已知集合 ， ，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是（ ）A18B10C16D144用1，2，3，4四个数字在任取数（不重复取）作和，则取出这些数的不同的和共有（ ）A8个B9个C10个D5个二、填空题1由数字2，3，4，5可组成_个三位数，_个四位数，_个五位数用1，2，3，9九个数字，可组成_个四位数，_个六位数商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有_种不同的选法要买上衣、裤子各一件，共有_种不同的选法大小不等的两

26、个正方体玩具，分别在各面上标有数字1，2，3，4，5，6，则向上的面标着的两个数字之积不小于20的情形有_种三、解答题1从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，能得到多少个不同的对数值？2在连结正八边形的三个顶点组成的三角形中，与正八边形有公共边的有多少个？参考答案：一、选择题：1B 2D 3D 4A二、填空题： ； 33；270 5三、解答题：1注意到1不能为底数，1的对数为0，以2，3，4，7，9中任取两个不同数为真数、底数，可有 个值，但 ， ， ， ，所以对数值共有 （个）. 2与正八边形有两个公共边的有8个，有一个公共边的有 个，所以共有40个10.2

27、 排列教学目标（1）正确理解排列的意义。能利用树形图写出简单问题的所有排列；（2）了解排列和排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；（3）掌握排列数公式，并能根据具体的问题，写出符合要求的排列数；（4）会分析与数字有关的排列问题，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；（5）通过对排列应用问题的学习，让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律，得出结论，培养学生解决应用问题的能力和严谨的学习态度。 教学建议（一）教材分析1知识结构2重点难点分析重点是排列的定义、排列数及排列数的公式，并运用这个公式解决有关排列数的应用问题难点是导出排列数的公式和解有关排列的应用题突破重点、难点的关键是对分

28、类计数原理和分步计数原理的掌握和运用，并将这两个原理的基本思想方法贯穿在解决排列应用问题当中（1）教材对两个实例分析的目的在于：给出排列概念的感性认识，为引进排列定义作准备舍去具体内容，可以看出问题的共同特点是：若干个对象（元素），按一定的顺序排成一列这正是排列概念的本质分析了具体问题排列数的计算方法，为推导一般的排列数公式作准备列出了排列的框图或树图，使学生初步看出，图形的直观性强，易于找出解题途径，具有启发作用指出具体写出全部排列的方法，要求不重复、不遗漏加深学生对排列概念的认识（2）排列的定义中包含两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”从定义知，只有当元素完全相同，并且元

29、素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的排列，都不是同一排列。叫不同排列两个相同排列，当且仅当他们的元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同在定义中“一定顺序”就是说与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件来决定，这一点要特别注意，这也是与后面学习的组合的根本区别在排列的定义中 ，如果 有的书上叫选排列，如果 ，此时叫全排列（3）要分清“排列”和“排列数”这两个不同的概念：一个排列是指从n个不同元素中任取m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一列的一种具体排法，它不是数；而排列数是指指从n个不同元素中任取m（mn）个元素的所有不

30、同排列的种数，它是一个数。如：元素的所有排列的个数，它是一个数；又如从 中任取两个元素的排列可以有以下6种： 每一种都是一个排列，而6就是排列数。（4）公式 是在引出全排列数公式 后，将排列数公式变形后得到的公式对这个公式指出两点：（1）在一般情况下，要计算具体的排列数的值，常用前一个公式，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证，要用到这个公式，教材中第230页例2就是用这个公式证明的问题；（2）为使这个公式在 时也能成立，规定 ，如同 时 一样，是一种规定，因此，不能按阶乘数的原意作解释（5）排列应用问题一般分为两类，即无限制条件的排列问题和带限制条件的排列问题。常见题型有：排队

31、问题、数字问题、与几何有关的问题。解排列应用问题时应注意以下几点：认真审题，根据题意分析它属什么数学问题，题目中的事件是什么，有无限制条件，通过怎样的程序完成这个事件，用什么计算方法；弄清问题的限制条件，注意研究问题，确定特殊元素和特殊的位置。考虑问题的原则是特殊元素、特殊位置优先，必要时可通过试验、画图、小数字简化等手段帮助思考。恰当分类，合理分步。（6）解排列应用题的基本思路：基本思路：直接法：即从条件出发，直接考虑符合条件的排列数；间接法：即先不考虑限制条件，求出所有排列数，然后再从中减去不符合条件的排列数。常用方法：特殊元素、特殊位置分析法，排除法（也称去杂法），对称分析法，捆绑法，插

32、空挡法，构造法等。（7）关于排列的应用题，教材共有3个例题（例3、例4、例5）例3是一个最简单的没有限制条件的排列问题教学时应注意通过问题的分析，使学生确认它是一个排列问题这是因为问题的本质是“每一张车票对应着2个车站的一个排列”对于简单问题，应分析如下三个问题：（l）问题的结果是否与顺序有关，也就是能否归纳为排列问题来解；（2）在问题中，n个元素指的是什么，m个元素指的是什么；（3）从n个元素每次取出m个元素的一个排列对应着的事件是什么根据分析，作出正确的判断，然后直接运用排列数公式算出结果例4也是一个没有限制条件的排列问题，但比例3要复杂一点讲解时，先指出由于表示信号时可以挂一面，两面或三

33、面旗子，所以表示信号的方法能分为三类，接着分析每一类的方法数，然后根据加法原理解出本题对于信号兵用旗子表示信号的方法，学生如果感到生疏的话，也可以举一个类似的例题来说明：“由1，2，3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的自然数？”例5是一个有限制条件的排列问题，由于思路不同，可以有不同的解法用不同的方法去解同一个问题，可以开拓思路，提高分析问题的能力有时还能起到核对答数，避免差错的作用对于有限制条件的排列问题，大致有两种不同的计算方法：（1）直接计算法：把符合限制条件的排列数直接计算出来；（2）间接计算法：先不考虑限制条件，把所有排列种数算出，再从中减去全部不符合条件的排列种数，间接得出符合

34、条件的排列种数这两种方法都应要求学生领会、能运用例5的解法1与解法3都是直接计算法解法1是对排列方法进行分步，采用乘法原理这是基本的方法；解法3是对排列方法进行分类，采用加法原理对解法1，教材上是分成两个步骤的，教学中也可以让学生考虑分成三个步骤的解法，即先排百位数字，再排十位数字，后排个位数字，得排列法的种数是 ，然后比较一下两种分步骤的方法，说明它们都是合理的，但是分为两个步骤比较简洁对于解法3，教材上是分为三类的，它也可以分为两类，第一类是三位数中不含有数字0的，第二类是含有数字0的在第一类中，有 个三位数，在第二类中无论十位数字是0或者个位数字是0，都有 个，所以有2 个三位数，由此得

35、所求的三位数的个数是 例5的解法2是间接计算法一般地说，一个排列问题可以用直接计算法计算，也可以用间接计算法计算，比较两者的繁简，可采用较简洁的方法即可在分析应用题的解法时，教材上先画出框图，然后分析逐次填入时的种数，这样解释比较直观，教学上要充分利用，要求学生作题时也应尽量采用（二）教法建议（1）建议从实际生活中的排列问题引入，例如排队问题、数字问题和彩票问题等，让学生先有一定的感性认识后，在引入排列的概念，进入理性认识阶段，这样既提高学生的学习兴趣，又提高教学效果。（2）注意相近概念之间的区别和联系。这一节要注意向学生讲清排列和排列数这两个不同的概念。（3）要注意与旧有的知识（两个原理）相

36、联系，让学生明白，排列问题也可以用两个原理来解决，只不过有时可能复杂，让学生体会知识间的联系。（4）要借助形象思维来证明抽象问题。排列数的公式推导要注意紧扣乘法原理，可以借助框图的直视解释来讲解要重点分析好 的推导。课本上用的是不完全归纳法，先推导 ， ，再推广到 ，这样由特殊到一般，由具体到抽象的讲法，学生是不难理解的导出公式 后要分析这个公式的构成特点，以便帮助学生正确地记忆公式，防止学生在“n”、“m”比较复杂的时候把公式写错这个公式的特点可见课本第229页的一段话：“其中，公式右边第一个因数是n，后面每个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数是 ，共m个因数相乘”这实际是讲三个特点：

37、第一个因数是什么？最后一个因数是什么？一共有多少个连续的自然数相乘（5）讲解有关排列的应用问题时，教学时要注意选择例题要进行分类，题目难度要有层次。在例题讲解过程中，不断地总结排列应用题的类型和解题的基本思路，最后，教师和学生一块总结。（6）在教学排列应用题时，开始应要求学生写解法要有简要的文字说明，防止单纯的只写一个排列数，这样可以培养学生的分析问题的能力，在基本掌握之后，可以逐渐地不作这方面的要求建议应充分利用树形图对问题进行分析，这样比较直观，便于理解教学设计方案一10.2 排列 第一课时教学目标：使学生理解排列的意义，并且能在理解题意的基础上，识别出排列问题，并能用“树形 图”写出一个

38、排列中所有的排列教具准备：投影胶片或多媒体的幻灯片教学过程：【设置情境】看下面的问题：问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？这个问题，就是从甲、乙、丙3名同学中选出2名，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，求一共有多少种不同排法的问题【探索研究】解决这个问题需分2个步骤第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人有3种方法；第2步，确定参加下午活动的同学，只能从余下的2人中选，有2种方法，根据分步计数原理，共有326种不同的方法如图所示为所有的排列（出示投影）我们把上面问题中被取的

39、对象叫做元素于是所提出的问题就是从3个不同的元素中任取2个，按照一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法我们再看下面的问题：问题2 从a、b、c、d这四个字母中，取出3个按照顺序排成一列，共有多少种不同的挑法？解决这个问题，需分3个步骤：第1步，先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法；第2步，确定中间的字母，从余下的3个字母中去取，有3种方法；第3步，确定右边的字母，只能从余下的2个字母中去取，有2种方法根据分步计数原理，共有43224种不同的排法，如图所示（出示投影）由此可以写出所有的排列（出示投影）：abc abd acb acdadb adc bac badbca bcd

40、 bda bdccab cad cba cbdcda cdb dab dacdba dbc dca dcb一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列教师指出：我们所研究的排列问题，是不同元素的排列，这里既没有重复元素，也没有重复抽取相同的元素排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同也就是说，如果两个排列所含的元素不完全一样，那么就可以

41、肯定是不同的排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但摆的顺序不同，那么也是不同的排列上面定义的排列里，如果mn，这样的排列（也就是只选一部分元素作排列），叫做选排列；如果mn，这样的排列（也就是取出所有元素作排列），叫做全排列例题 写出从a、b、c三个元素中取出两个元素的全部排列为了使写出的排列既不重复又不遗漏，教师应介绍一般的方法解：所有排列是ab ac bc ba ca cb教师指出：在问题2中，先画“图”，再写出所有排列的方法“树形图”法，可以保证有条不紊、不重不漏地写出一个排列问题中所有的排列【演练反馈】1下列问题中哪些是排列问题？如果是在题后括号内打“”，否则打“”（1）20位同学互

42、通一封信，问共通多少封信？（ ）（2）20位同学互通一次电话，问共通多少次？（ ）（3）20位同学互相握一次手，问共握手多少次？（ ）（4）从e，5，7，10五个数中任意取出2个数作为对数的底数与真数，问共有几种不同的对数值？（ ）（5）以圆上的10个点为端点，共可作多少条弦？（ ）（6）以圆上的10个点为起点，且过其中另一个点的射线共可作多少条？（ ）2在A、B、C、D四位候选人中，选举正、副班长各一人，共有几种不同的选法？写出所有可能的选举结果【参考答案】1略2解：选举过程可以分为两个步骤第1步选正班长，4人中任何一人可以当选，有4种选法；第2步选副班长，余下的3人中任一人都可以当选，有3

43、种选法根据分步计数原理，不同的选法有4 312（种）其选举结果是：AB AC AD BC BD CDBA CA DA CB DB DC 【总结提炼】 排列问题，是取出m个元素后，还要按一定的顺序排成一列，取出同样的m个元素，只要排列顺序不同，就视为完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）由排列的定义可知，排列与元素的顺序有关，也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题当元素较少时，可以根据排列的意义写出所有的排列布置作业：课本P94 1板书设计：102 排列（一）（一）设置情境问题1问题2（二）排列的概念（三）例题分析 例题（四）练习（五）小结教学设计方案二10.2 排列 第二课时教学目标：进一步理解排列的意义，掌握排列数的概念及其计算公式与推导过程，并能应用教具准备：直尺与投影胶片教学过程：【设置情境】上节课我们做了这样一道作业题：写出从5个元素a，b，c，d，e中任取2个元素的所有排列解决办法是先画“树形图”，再由此写出所有的排列，共20个若把这题改为：写出从5个元素a，b，c，d，e中任取4个元素的所有排列，结果如何呢？方法同上，共120个，数字较大，排列写起来挺“烦”，若再把这题改为：写出从8个元素a，b，c，d，e，f，