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1、第六节直接证明与间接证明、数学归纳法2019考纲考题考情1直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止实质由因导果执果索因框图表示文字语言因为所以或由得要证只需证即证2.间接证明反证法：假设命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。3数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进
2、行：(1)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立，这一步是归纳奠基。(2)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立，这一步是归纳递推。完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。1分析法与综合法的应用特点：对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明；或两种方法交叉使用。2利用反证法证明的特点，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的。3数学归纳法两个步骤的联系：相互依存，缺一不可。 一、走进教材1(选修22P89练习T1改编)对于任意角，化简c
3、os4sin4()A2sin B2cosCsin2 Dcos2解析因为cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos2。故选D。答案D2(选修22P89练习T2改编)若P，Q(a0)，则P，Q的大小关系是()APQ BPQCPQ，只需P2Q2，即2a1322a132，只需a213a42a213a40。因为4240成立，所以PQ成立。故选A。答案A二、走出误区微提醒：“至少”否定出错；应用分析法寻找的条件不充分；不会用反证法解题。3利用反证法证明“已知a0，b0，且ab2，证明，中至少有一个小于2”时的反设是_。解析假设，都不小于2，则2且2。答案2且24若用分析
4、法证明“设abc且abc0，求证0；ac0；(ab)(ac)0；(ab)(ac)bc且abc0，可得bac，a0，c0，要证a，只需证(ac)2ac0，即证a(ac)(ac)(ac)0，即证(ac)(ab)0。答案5设a，b，c都是正数，则a，b，c三个数()A都大于2 B都小于2C至少有一个不大于2 D至少有一个不小于2解析因为6，当且仅当abc1时取等号，所以三个数中至少有一个不小于2。故选D。答案D考点一 分析法【例1】已知a，bR，abe(其中e是自然对数的底数)，用分析法求证：baab。证明因为abe，ba0，ab0，所以要证baab，只需证alnbblna，只需证。取函数f(x)，
5、因为f(x)，所以当xe时，f(x)be时，有f(b)f(a)，即。得证。分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证。 【变式训练】已知a0，求证： a2。证明要证 a2，只要证 2a。因为a0，故只要证22，即a24 4a2222，从而只要证2 ，只要证42，即a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立。考点二 综合法【例2】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinBsinBsinCcos2B1。(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若C，求
6、证：5a3b。证明(1)由已知得sinAsinBsinBsinC2sin2B，因为sinB0，所以sinAsinC2sinB，由正弦定理，有ac2b，即a，b，c成等差数列。(2)由C，c2ba及余弦定理得(2ba)2a2b2ab，即有5ab3b20，即5a3b。综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立。因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法。其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性。 【变式训练】已知函数f(x)ln(1x)，g(x)abxx2x3，函数yf(x)与函数yg(x)的图象在交点(0,0)
7、处有公共切线。(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)g(x)。解(1)f(x)，g(x)bxx2，由题意得解得a0，b1。(2)证明：令h(x)f(x)g(x)ln(x1)x3x2x(x1)。h(x)x2x1。h(x)在(1,0)上为增函数，在(0，)上为减函数。h(x)maxh(0)0，h(x)h(0)0，即f(x)g(x)。考点三 反证法【例3】设a0，b0，且a2b2。证明：a2a2与b2b2不可能同时成立。证明假设a2a2与b2b2同时成立，则有a2ab2b0，b0，所以ab1。因为a2b22ab2(当且仅当ab1时等号成立)，ab22(当且仅当ab1时等号成立)，所以a2ab2b2
8、ab24(当且仅当ab1时等号成立)，这与假设矛盾，故假设错误。所以a2a2与b2b1。求证：a，b，c，d中至少有一个是负数。证明假设a，b，c，d都是非负数，因为abcd1，所以(ab)(cd)1，即acbdadbc1，又acbdadbcacbd，所以acbd1，与题设矛盾，故假设不成立，故a，b，c，d中至少有一个是负数。考点四 数学归纳法【例4】设a0，f(x)，令a11，an1f(an)，nN*。(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论。解(1)因为a11，所以a2f(a1)f(1)；a3f(a2)；a4f(a3)。猜想an(nN*)。
9、(2)证明：易知，n1时，猜想正确。假设nk(kN*)时猜想正确，即ak，则ak1f(ak)。这说明，nk1时猜想正确。由知，对于任何nN*，都有an。 “归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式。其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明。这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用。其关键是归纳、猜想出公式。 【变式训练】将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，分别计算各组包含的正整数的和如下，
10、试猜测S1S3S5S2n1的结果，并用数学归纳法证明。S11，S2235，S345615，S47891034，S5111213141565，S6161718192021111，解由题意知，当n1时，S1114；当n2时，S1S31624；当n3时，S1S3S58134；当n4时，S1S3S5S725644；猜想：S1S3S5S2n1n4。下面用数学归纳法证明：当n1时，S1114，等式成立。假设当nk(kN*)时等式成立，即S1S3S5S2k1k4，那么，当nk1时，S1S3S5S2k1S2k1k4(2k2k1)(2k2k2)(2k2k2k1)k4(2k1)(2k22k1)k44k36k24k1(k1)4，这就是说，当nk1时，等式也成立。根据和，可知对于任意的nN*，S1S3S5S2n1n4都成立。