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1、课时跟踪检测（四十四） 椭圆一抓基础，多练小题做到眼疾手快1已知椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且PF1，F1F2，PF2成等差数列，则椭圆的方程为_解析：椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，设椭圆方程为1(ab0)，P(2，)是椭圆上一点，且PF1，F1F2，PF2成等差数列，且a2b2c2，解得a2，b，椭圆的方程为1.答案：12已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则该椭圆方程为_解析：设椭圆的方程为1(ab0)，因为2a12，所以a6，c3，b227.所以椭圆的方程为1.答案：13椭圆y21的左、右两焦点分别为F1，F
2、2，椭圆上一点P满足F1PF260，则F1PF2的面积为_解析：由题意，椭圆y21的左、右两焦点分别为F1，F2，则PF1PF22，F1F22.由余弦定理，得F1FPFPF2PF1PF2cos 60(PF1PF2)23PF1PF2，解得PF1PF2.故F1PF2的面积SPF1PF2sin 60.答案：4(2019南京名校联考)若n是2和8的等比中项，则圆锥曲线x21的离心率是_解析：由n228，得n4，当n4时，曲线为椭圆，其离心率为e；当n4时，曲线为双曲线，其离心率为e.答案：或5(2018北京东城模拟)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(2,0)，且长轴长与短轴长的比是2，则椭圆C的方程
3、是_解析：设椭圆C的方程为1(ab0)由题意知解得a216，b212.所以椭圆C的方程为1.答案：16(2018启东中学检测)分别过椭圆C：1(ab0)的左右焦点F1，F2所作的两条互相垂直的直线l1，l2的交点在椭圆上，则此椭圆的离心率的取值范围是_解析：设两直线交点为M，令MF1m，MF2n.由椭圆的定义可得mn2a，因为MF1MF2，所以m2n24c2，因为(mn)2m2n22mn2(n2m2)，当且仅当mna时取等号，即4a22(4c2)，所以ac，所以，即e，因为e1，所以e1.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1(2019启东模拟)设点P在圆x2(y2)21上移动，点Q在椭圆y2
4、1上移动，则PQ的最大值是_解析：已知圆心C(0,2)，PQPCCQ1CQ，故只需求CQ的最大值即可设Q(x，y)，则 CQ . 1y1， 当y时，CQmax， PQmax1.答案：12(2019常州模拟)若椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，则C的离心率为_解析：不妨设椭圆C的方程为1(ab0)，则2a2b3，即a3b.所以a29b29(a2c2)即，所以e.答案：3(2018镇江期末)已知椭圆1(mn0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则_.解析：法一：()()()()|2|2n(mn)2nm.法二：设F1(c,0)，F2(c,0)，P(x，y)，则x2y2n，
5、(xc)(xc)y2x2y2c2n(mn)2nm.答案：2nm 4(2018苏北四市一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B1，B2分别为椭圆C：1(ab0)的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点若B2FAB1，则椭圆C的离心率是_解析：因为F(c,0)，B2(0，b)，B1(0，b)，A(a,0)，所以(c，b)，(a，b)因为B2FAB1，所以acb20，即c2aca20，故e2e10，解得e(负值舍去)答案：5如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足OPOF，且PF4，则椭圆C的方程为_解析：设椭圆的标准方程为1(ab0)，焦距为2c，右焦点为
6、F，连结PF，如图所示因为F(2，0)为C的左焦点，所以c2.由OPOFOF知，FPF90，即FPPF.在RtPFF中，由勾股定理，得PF8.由椭圆定义，得PFPF2a4812，所以a6，a236，于是b2a2c236(2)216，所以椭圆C的方程为1.答案：16.(2019启东月考)如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且OF，若MFOA，则椭圆的方程为_解析：F为椭圆的右焦点，OF，c.设椭圆方程为1(b0)，A，B是椭圆的两个顶点，A，B(0，b)又C是AB的中点，C.由OC的延长线交椭圆于点M，MFOA，得M.kOMkOC，b，故
7、所求椭圆的方程为1.答案：17在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为_解析：设椭圆C的方程为1(ab0)，因为AB过F1且A，B在椭圆C上，所以ABF2的周长ABAF2BF2AF1AF2BF1BF24a16，所以a4.又离心率e，所以c2，所以b2a2c28，所以椭圆C的方程为1.答案：18(2019句容月考)离心率e，焦距为4的椭圆的标准方程为_解析：椭圆的离心率e，焦距为4，c2，a6，b232，椭圆的标准方程为1或1.答案：1或19已知椭圆1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左
8、、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB90，求椭圆的离心率(2)若2，求椭圆的方程解：(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形，所以有OAOF2，即bc.所以ac，e.(2)由题知A(0，b)，F1(c,0)，F2(c,0)，其中c，设B(x，y)由2，得(c，b)2(xc，y)，解得x，y，即B.将B点坐标代入1，得1，即1，解得a23c2.又由(c，b)，得b2c21，即有a22c21.由解得c21，a23，从而有b22.所以椭圆的方程为1.10(2018南京学情调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2
9、，P为椭圆上一点(在x轴上方)，连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设.(1)若点P的坐标为，且PQF2的周长为8，求椭圆C的方程；(2)若PF2x轴，且椭圆C的离心率e，求实数的取值范围解：(1)因为F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，所以PF1PF2QF1QF22a，从而PQF2的周长为4a，由题意得4a8，解得a2.因为点P的坐标为，且在椭圆上，所以1，解得b23.所以椭圆C的方程为1.(2)因为PF2x轴，且P在x轴上方，所以可设P(c，y0)，且y00，Q(x1，y1)因为点P在椭圆上，所以1，解得y0，即P.因为F1(c,0)，所以，(x1c，y1)由，得2c(x1c)
10、，y1，解得x1c，y1，所以Q.因为点Q在椭圆上，所以2e21，即(2)2e2(1e2)2，即(243)e221.因为10，所以(3)e21，从而3.因为e，所以e2，即5.所以的取值范围为.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2019宿迁调研)已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，下顶点为A.若平行于AF且在y轴上截距为3 的直线与圆x2(y3)21相切，则该椭圆的离心率为_解析：由椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，下顶点为A，可得AF的斜率为，则平行于AF且在y轴上截距为3的直线方程为yx3.由该直线与圆x2(y3)21相切，可得1，解得bc，所以e.答案：2(2018连云港质检)已知两定
11、点A(2,0)和B(2,0)，动点P(x，y)在直线l：yx3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为_解析：设点A关于直线l的对称点为A1(x1，y1)，则有解得x13，y11，易知PAPB的最小值等于A1B，因此椭圆C的离心率e的最大值为.答案：3.已知椭圆M：1(ab0)的右焦点F的坐标为(1,0)，P，Q为椭圆上位于y轴右侧的两个动点，使PFQF，C为PQ中点，线段PQ的垂直平分线交x轴，y轴于点A，B(线段PQ不垂直x轴)，当Q运动到椭圆的右顶点时，PF.(1)求椭圆M的方程；(2)若SABOSBCF35，求直线PQ的方程解：(1)当Q运动到椭圆的右顶点时，PFx轴，所以PF，又c1，a2b2c2，所以a，b1.所以椭圆M的方程为y21.(2)设直线PQ的方程为ykxb，显然k0，联立椭圆方程得：(2k21)x24kbx2(b21)0，设点P(x1，y1)，Q(x2，y2), 则由0，得(x11)(x21)y1y20，即(k21)x1x2(kb1)(x1x2)b210，代入化简得3b214kb0.由y1y2k(x1x2)2b，得C，所以线段PQ的中垂线AB的方程为y.令y0，x0，可得A，B，则A为BC中点，故2.由式得，k，则xA，所以2，解得b23.所以b，k或b，k.经检验，满足条件， 故直线PQ的方程为yx或yx.