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1、第四节随机事件的概率2019考纲考题考情1事件(1)在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件。(2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件。(3)在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件。2概率和频率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否发生，称n次试验中事件A发生的次数nA为事件A发生的频数，称事件A发生的比例fn(A)为事件A发生的频率。(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)。3事件的关系与运算定义符号表示包含关
2、系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)BA(或AB)相等关系若BA，且AB，那么称事件A与事件B相等AB并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)AB(或AB)续表定义符号表示交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)AB(或AB)互斥事件若AB为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥AB对立事件若AB为不可能事件，AB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件AB且ABU4.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0P1
3、。(2)必然事件的概率P(E)1。(3)不可能事件的概率P(F)0。(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(AB)P(A)P(B)。(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则AB为必然事件，P(AB)1，P(A)1P(B)。1频率与概率频率是随机的，不同的试验，得到频率也可能不同，概率是频率的稳定值，反映了随机事件发生的可能性的大小。2互斥与对立对立事件一定互斥，但互斥事件不一定对立。3概率加法公式的注意点(1)要确定A，B互斥方可运用公式。(2)A，B为对立事件时并不一定A与B发生的可能性相同，即P(A)P(B)可能不成立。 一、走进教材1(必修3P121练习T4)一
4、个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A至多有一次中靶 B两次都中靶C只有一次中靶 D两次都不中靶解析射击两次的结果有：一次中靶；两次中靶；两次都不中靶，故至少有一次中靶的互斥事件是两次都不中靶。故选D。答案D2(必修3P123A组T3改编)李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：成绩人数90分以上428089分1727079分2406069分865059分5250分以下8经济学院一年级的学生王小明下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的信息估计他得以下分数的概率：(1)90分以上的概率：_。(2)不及格(60分及以上为及格
5、)的概率：_。解析(1)0.07。(2)0.1。答案(1)0.07(2)0.1二、走近高考3(2018江苏高考)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为_。解析记2名男生分别为A，B,3名女生分别为a，b，c，则从中任选2名学生有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10种情况，其中恰好选中2名女生有ab，ac，bc，共3种情况，故所求概率为。答案4(2016江苏高考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是_。解析本题为古典概型，
6、基本事件共有36个，点数之和大于等于10的有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,6)，(6,5)，(6,4)，共计6个基本事件，故点数之和小于10的有30个基本事件，所求概率为。答案三、走出误区微提醒：求基本事件时出错；确定对立事件时出错；互斥事件判定出错。5甲、乙两人做出拳(锤子、剪刀、布)游戏，则平局的概率为_；甲赢的概率为_。解析设平局(用表示)为事件A，甲赢(用表示)为事件B，乙赢(用表示)为事件C。容易得到如图。平局含3个基本事件(图中的)，P(A)。甲赢含3个基本事件(图中的)，P(B)。答案6从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A抽到一等品，事件B抽到二等品，事件C抽到三等品
7、，且P(A)0.65，P(B)0.2，P(C)0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为_。解析因为“抽到的不是一等品”的对立事件是“抽到的是一等品”，且P(A)0.65，所以“抽到的不是一等品”的概率为10.650.35。答案0.357已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8。现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率。先由计算器算出09之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，因为射击4次，所以以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果。经随机模拟产生了20组随机数：57270293714098570347437386
8、369647141746980371623326168045601136619597742467104281据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为_。解析该射击运动员射击4次至少击中3次，考虑该事件的对立事件，故看这20组数据中每组数据含有0和1的个数多少，含有2个或2个以上的有5组数据，故所求概率为0.75。答案0.75考点一 随机事件关系的判断 【例1】(1)把语文、数学、英语三本学习书随机地分给甲、乙、丙三位同学，每人一本，则事件A：“甲分得语文书”，事件B：“乙分得数学书”，事件C：“丙分得英语书”，则下列说法正确的是()AA与B是不可能事件BABC是必然事件CA与B不是互
9、斥事件DB与C既是互斥事件也是对立事件(2)一袋中装有5个大小形状完全相同的小球，其中红球3个，白球2个，从中任取2个小球，若事件“2个小球全是红球”的概率为，则概率是的事件是()A恰有一个红球 B两个小球都是白球C至多有一个红球 D至少有一个红球解析(1)“A，B，C”都是随机事件，可能发生，也可能不发生，故A、B两项错误；“A，B”可能同时发生，故“A”与“B”不互斥，C项正确；“B”与“C”既不互斥，也不对立，D项错误。故选C。(2)因为1，所以概率是的事件是“2个小球全是红球”的对立事件，应为：“一个红球一个白球”与“两个都是白球”的和事件，即为“至多有一个红球”。 答案(1)C(2)
10、C互斥、对立事件的判别方法1在一次试验中，不可能同时发生的两个事件为互斥事件。2两个互斥事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件。提醒：对立事件一定是互斥事件。 【变式训练】从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。上述事件中，是对立事件的是()A BC D解析从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数。其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件。又中的事件可以同时发生，
11、不是对立事件。答案C考点二 随机事件的频率与概率【例2】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值。(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化。假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，
12、哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)解(1)由题意知，样本中电影的总部数是140503002008005102 000，第四类电影中获得好评的电影部数是2000.2550。故所求概率为0.025。(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是1400.4500.23000.152000.258000.25100.15610455016051372。故所求概率估计为10.814。(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率。频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生
13、的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值。 【变式训练】(2017全国卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完。根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关。如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶。为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40天数216362574以最高气温位于各区间
14、的频率估计最高气温位于该区间的概率。(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)。当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率。解(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6。(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y64504450900；若最高气温位于区间20,25)，则Y63002(450300)4450300；若最高气温低于20，
15、则Y62002(450200)4450100。所以，Y的所有可能值为900,300，100。Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8。考点三 互斥事件与对立事件【例3】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示。一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数/人x3025y10结算时间/(分/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%。(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(
16、2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率。(将频率视为概率)解(1)由已知得x3045,25y1055，所以x15，y20。该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1.9(分)。(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，将频率视为概率得P(A1)，P(A2)，P(A3)。因为AA1
17、A2A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以P(A)P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)。故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为。解：记A表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，则A的对立事件为“一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟”，由题表，知P()。所以P(A)1P()1。故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为。1求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来。2求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由
18、P(A)1P()求解。当题目涉及“至多”、“至少”型问题，多考虑间接法。 【变式训练】 公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是3.141 592 63.141 592 7。为纪念祖冲之在圆周率上的成就，把3.141 592 6称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就。某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们从小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6中随机选取2位数字，整数部分3不变，那么得到的数大于3.14的概率为()A. B. C. D.解析选择数字的总的方法有56131(种)，其中得到的数不大于3.14的数为3.11,3.12,3.14，所以得到的数大于3.14的概率为P1。故选A。答案A