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1、第六节离散型随机变量及其分布,2019考纲考题考情1.随机变量的有关概念,如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；若变量的所有值可以一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。2.离散型随机变量的分布列,(1)概念,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2,3，n)的概率P(Xxi)pi，则称表,Xx1x2xixnPp1p2pipn为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(Xxi)pi，i1,2，n表示X的分布列。(2)性质,pi0，i1,2,3，n；i1。,3.常见离散型随机变量的分布列,(1)两
2、点分布,X01P1pp若随机变量X的分布列具有上表的形式，就称X服从两点分布，并称pP(X1)为成功概率。(2)超几何分布,在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(Xk)(k0,1,2，m)，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*。,X01mP如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布。1.随机变量的线性关系,若X是随机变量，YaXb，a，b是常数，则Y也是随机变量。2.分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值。(2)随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率。 一、走进教材,
3、1.(选修23P49A组T4改编)设随机变量X的分布列如下：,X12345Pp则p为()A. B. C. D.解析由分布列的性质，p1，所以p1。故选C。答案C2.(选修23P47例2改编)在含有3件次品的10件产品中，任取4件，则取到次品数X的分布列为_。解析由题意，X服从超几何分布，其中N10，M3，n4，所以分布列为P(Xk)，k0,1,2,3。即X0123P答案X0123P二、走出误区微提醒：随机变量的概念不清；超几何分布类型掌握不准；分布列的性质不清致误。3.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是()A.至少取到1个白球 B至多取到1个白球C.取到白球的个数 D
4、取到的球的个数解析A，B两项表述的都是随机事件，D项是确定的值2，并不随机；C项是随机变量，可能取值为0,1,2。故选C。答案C4.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X4)的值为()A. B. C. D.解析X4表示从盒中取了2个旧球，1个新球，故P(X4)。故选C。答案C5.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X0)_。解析由已知得X的所有可能取值为0,1，且P(X1)2P(X0)，由P(X1)P(X0)1，得P(X0)。答案考点一 离散型随机变量分布列的性质【
5、例1】(1)离散型随机变量X的概率分布规律为P(Xn)(n1,2,3,4)，其中a是常数，则P的值为()A. B. C. D.(2)设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求2X1的分布列。(1)解析因为P(Xn)(n1,2,3,4)，所以1，所以a，所以PP(X1)P(X2)。故选D。答案D(2)解由分布列的性质知，020.10.10.3m1，得m0.3。列表为X012342X113579从而2X1的分布列为2X113579P0.20.10.10.30.31利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数。2求随机变量在某个范围内
6、的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式。 【变式训练】(1)若题(2)中条件不变，求随机变量|X1|的分布列；(2)若题(2)中条件不变，求随机变量X2的分布列。解(1)由题(2)知m0.3，列表为X01234|X1|10123所以P(1)P(X0)P(X2)0.20.10.3，P(0)P(X1)0.1，P(2)P(X3)0.3，P(3)P(X4)0.3。故|X1|的分布列为0123P0.10.30.30.3(2)依题意知的值为0,1,4,9,16。列表为X01234X2014916从而X2的分布列为014916P0.20.10.10.3
7、0.3考点二 离散型随机变量分布列的求法【例2】(2019河南安阳一模)某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在50,100)内，且销售量x的分布频率f(x)(1)求a的值并估计销售量的平均数；(2)若销售量大于或等于70，则称该日畅销，其余为滞销。在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，设这3天来自X个组，求随机变量X的分布列及数学期望(将频率视为概率)。解(1)由题意知解得5n9，n可取5,6,7,8,9，结合f(x)得1，则a0.15。可知销售量分别在50,60)，60,70)，70,
8、80)，80,90)，90,100)内的频率分别是0.1,0.1,0.2,0.3,0.3，所以销售量的平均数为550.1650.1750.2850.3950.381。(2)销售量分布在70,80)，80,90)，90,100)内的频率之比为233，所以在各组抽取的天数分别为2,3,3。X的所有可能取值为1,2,3，P(X1)，P(X3)，P(X2)1。X的分布列为X123P数学期望E(X)123。求离散型随机变量X的分布列的步骤1理解X的意义，写出X可能取的全部值；2求X取每个值的概率；3写出X的分布列。求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、
9、古典概型等知识。 【变式训练】(2019郑州预测)为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行。市政府为了了解民众低碳出行的情况，统计了该市甲、乙两个单位各200名员工12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如图所示：(1)若甲单位数据的平均数是122，求x；(2)现从图中的数据中任取4天的数据(甲、乙两个单位中各取2天)，记抽取的4天中甲、乙两个单位员工低碳出行的人数不低于130的天数分别为1，2，令12，求的分布列。解(1)由题意知122，解得x8。(2)由题得1的所有可能取值为0,1,2，2的所有
10、可能取值为0,1,2，因为12，所以随机变量的所有可能取值为0,1,2,3,4。因为甲单位低碳出行的人数不低于130的天数为3，乙单位低碳出行的人数不低于130的天数为4，所以P(0)；P(1)；P(2)；P(3)；P(4)。所以的分布列为01234P考点三 超几何分布【例3】(2018天津高考)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16。现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查。(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查。用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，
11、求随机变量X的分布列与数学期望；设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率。解(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人。(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3。P(Xk)(k0,1,2,3)。所以随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E(X)0123。设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则ABC，且B与C互斥。由知，
12、P(B)P(X2)，P(C)P(X1)，故P(A)P(BC)P(X2)P(X1)。所以，事件A发生的概率为。1超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数。2超几何分布的特征是：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布。3超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型。 【变式训练】(2018河南豫南九校二模)为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示。(1)求该出租车公司的司机进
13、行“爱心送考”的人均次数；(2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的分布列及数学期望。解(1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，所以该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为2.3。(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1次，另一人送考2次”为事件A，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次”为事件B，“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事件C，“这两人送考次数相同”为事件D，由题意知X的所有可能取值为0,1,2，P(X1)P(A)P(B)，P(X2)P(C)，P(X0)P(D)，所以X的分布列为X012PE(X)012。1(配合例2使用)某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过30站的地铁票价如下表：乘坐站数x0x1010x20203.841，所以有95%的把握认为恋家与国别有关。(2)依题意得，选取的5个人中有2人认为在家里感到最幸福，3人认为在其他场所感到最幸福，则X的可能取值为0,1,2，P(X0)，P(X1)，P(X2)，所以X的分布列为X012P所以E(X)012。