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1、第3课时充分必要条件的综合应用基础达标(水平一 )1.“a=2”是“直线y=-ax+2与直线y=a4x-1垂直”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】因为两条直线垂直,所以(-a)a4=-1,解得a=2,所以答案是充分不必要条件.【答案】A 2.已知条件p:函数f(x)=x2+mx+1在区间12,+上单调递增,条件q:m-43,则p是q的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】因为函数f(x)=x2+mx+1在区间12,+上单调递增,所以-m212m-1,所以p是q的充分不必要条件,故选A.【答
2、案】A 3.已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】依题意有pr,r/ p,rs,sq,prsq.但由于r推不出p,因此q推不出p.故p是q的充分不必要条件.【答案】A 4.已知命题p:cos(+)=cos 2,命题q:,成等差数列,则p是q的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由,成等差数列得+=2,所以cos(+)=cos 2.而由cos(+)=cos 2不一定得出+=2,还可能是+=2+2等,所以p是q的必要不充分条件
3、.【答案】B5.函数f(x)=ax+3在-1,2上存在零点的充要条件是.【解析】函数f(x)=ax+3在-1,2上存在零点等价于f(-1)f(2)0,即(-a+3)(2a+3)0,解得a3或a-32.【答案】a3或a-326.已知m,n为两条不同的直线,为两个不同的平面,有下列四个条件:mn,n;mn,n;m,m,;m,.其中能使m成立的充分条件是.(填序号)【解析】mn,n,不能推得m,m可能在平面内;mn,n,不能推得m,m可能在平面内;m,m,能推得m;m,不能推得m,m可能在平面内.【答案】7.已知集合A为函数f(x)=lg(1+x)-lg(1-x)的定义域,集合B=x|1-a2-2a
4、x-x20,求证:“a2”是“AB=”的充分不必要条件.【解析】若函数f(x)=lg(1+x)-lg(1-x)有意义,则1+x0,1-x0,解得-1x1,故A=x|-1x1.由1-a2-2ax-x20,可得x2+2ax+a2-10,即(x+a-1)(x+a+1)0,解得-1-ax1-a,故B=x|-1-ax1-a. 当a2时,1-a-1,这时满足AB=,反之,若AB=,可取-1-a=2,则a=-32.因此“a2”是“AB=”的充分不必要条件.拓展提升(水平二)8.已知命题p:1x-10,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是().A.(-2,-1B.-2,-1 C.-3,-1D.-2,
5、+)【解析】1x-112-xx-10x2,记P=x|x2;x2+(a-1)x-a=(x+a)(x-1)0,记Q=x|(x+a)(x-1)0.因为p是q的充分不必要条件,所以P是Q的真子集.当a-1时,Q=x|x1,此时P不可能是Q的真子集;当a=-1时,Q=x|x1,符合题意;当a-1时,Q=x|x-a,只需-a-2.综上所述,a的取值范围是(-2,-1.【答案】A 9.已知“-1km”是“方程x2+y2+kx+3y+k2=0表示圆”的充分条件,则实数m的取值范围是.【解析】设p:-1k0,则q:-1k1.p是q的充分条件,pq,-1m1,即实数m的取值范围是(-1,1.【答案】(-1,110
6、.(1)“=6”是“tan =33”的条件;(2)“ab=-2”的条件是“直线ax+2y+3=0和直线x+by+2=0互相垂直”.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”)【解析】(1)由=6能够推出tan =33,反之不然,所以是充分不必要条件.(2)若直线ax+2y+3=0和直线x+by+2=0互相垂直,则a=b=0或-a2-1b=-1,即a=b=0或ab=-2,所以是必要不充分条件.【答案】(1)充分不必要(2)必要不充分11.已知数列an的前n项和Sn=pn+q(p0且p1),求证:数列an为等比数列的充要条件为q=-1.【解析】充分性:当q=-1时,a1=S1=p-1;当n2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1),且当n=1时也成立.于是an+1an=pn(p-1)pn-1(p-1)=p(p0且p1),即an为等比数列.必要性:当n=1时,a1=S1=p+q;当n2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).因为p0且p1,所以当n2时,an+1an=pn(p-1)pn-1(p-1)=p,可知等比数列an的公比为p.故a2a1=p(p-1)p+q=p,即p-1=p+q,解得q=-1.综上可知,q=-1是数列an为等比数列的充要条件.